弱Ding-投射模及相關維數

何東林，張金戰

（隴南師范高等專科學校數信學院，甘肅 隴南 742500）

引 言

Gorenstein同調理論是相對同調代數的重要研究課題之一.Auslander和Bridger[1]介紹了雙邊Noether環上有限生成模的G-維數.Enochs和Jenda[2]給出了一般環上Gorenstein內射模和Gorenstein投射模的定義.隨后，許多學者先后對其進行了研究和推廣.特別地，Holm和J?rgensen[3]在交換Noether環上引入了C-Gorenstein內射模和C-Gorenstein投射模，并研究了與它們相關的投射維數.White[4]進一步討論了一般Noether環上C-Gorenstein內射模和C-Gorenstein投射模，并稱之為GC-內射模和GC-投射模.Gillespie[5]介紹了Ding-投射模和Ding-內射模的概念.Ding-投射模與強Gorenstein平坦模[6]是一致的，而Ding-內射模與Gorenstein FP-內射模[7]是一致的.為了研究Ding-投射模和Ding-內射模的可數部分及相關模類，Zhang等[8]介紹了關于半對偶模的Ding-投射模，其概念與C-平坦模緊密相連.C-f-投射模[9]是介于C-投射模與C-平坦模之間的一類模.何東林等[10]引入關于半對偶模的弱Ding-投射模，它與C-f-投射模緊密相連，是關于半對偶模的Ding-投射模的一個重要推廣.本文將進一步討論關于半對偶模的弱Ding-投射模的若干性質，及與其相關的弱Ding-投射維數，研究模M的弱Ding-投射維數小于等于n的若干等價刻畫.

文中的環R均指有單位元的交換環，模均指酉R-模.如果R-模C滿足條件（1）C具有有限生成投射分解，（2）R?Hom（C，C）且則稱 C 是半對偶模.如果對R-模M的任意有限生成子模K，都存在有限生成自由模Rn及R-模同態α:Rn→M和β:K→Rn，使得i＝αβ，其中i:K→M是標準的包含同態，則稱M是f-投射模[11].記是投射模是平坦模是f-投射模}，分別稱其中的模為C-投射模、C-平坦模[12]和C-f-投射模[9].易知C-f-投射模類關于擴張、滿同態的核、直和及直和因子封閉，且有稱模M是C-Gorenstein投射模[3]，如果存在HomR（-，PC（R））-正合的正合列…→P1→P0→其中Pi（i∈Z）是投射模，使得M?Coker（P1→P0）.用GPC（R）表示所有C-Gorenstein投射R-模組成的類.稱模U是DC-投射模[8]（即關于半對偶模C的Ding-投射模），如果存在HomR（-，FC（R））-正合的正合列其中P（ii∈Z）是投射模，使得U?Coke（rP1→P0）.用DPC（R）表示所有DC-投射模組成的類.設x是一個R-模類，稱x是投射可解的[13]，如果x包含所有投射模且關于擴張和滿同態的核封閉.分別記對任意 X∈x有對任意X∈x有下文中的C均指固定的半對偶雙模RCR，其余未涉及的概念和記號參見[14-15].

1 定義和引理

先介紹一些概念和已知結論.

定義1[10]稱模U是弱DC-投射模，如果存在正合的正合列

其中Pi（i∈Z）是投射模，使得U?Coker（P1→P0）.用wDPC（R）表示所有弱DC-投射模組成的類，且稱正合列（*）為弱Ding PPC-分解.

引理1[8]設P是投射模，則P∈DP（CR）且

例1因為每個R-模都具有投射分解，由引理1易知，每個R-模都具有DC-投射分解，即存在正合列…→D1→D0→M→0，其中Di（i≥0）是DC-投射模.又因為DC-投射模一定是弱DC-投射模，所以每個R-模都具有弱DC-投射分解.

引理2[10]弱DC-投射模類wDPC（R）是投射可解的，且關于任意直和因子均封閉.

引理3[10]設M是R-模，則以下條件等價：

（1）M是弱DC-投射模；

定義2設M是R-模，稱M的弱DC-投射維數小于等于n，如果存在正合列

其中Wi（0≤i≤n）是弱DC-投射模，并記為wDPC-pd（M）≤n.稱wDPC-pd（M）＝inf{n wDPC-pd（M）≤n}為模M的弱DC-投射維數.

2 主要結果

下面給出關于半對偶模C的弱Ding-投射模的若干性質.

命題1弱Ding PPC-分解的每個核都是弱DC-投射模.

下證Ki（i≤－2）是弱DC-投射模.根據引理3可知，只需證對任意由且知，用函子作用于正合列后可得如下長正合列又因為正合的，所以由的任意性可知，再考慮短正合列依次類推可得Ki（i≤－2）是弱DC-投射模.

綜上所述，弱Ding PPC-分解的每個核都是弱DC-投射模.

命題2設M是R-模，則以下條件等價：

（1）M是弱DC-投射模；

證明 （1）?（2）由命題1易證.

（2）?（1）由M1是弱DC-投射模及引理3可得，且存在正合的正合列

命題3設0→L→M→N→0是R-模正合列，如果L和M都是弱DC-投射模，那么以下條件等價：

（1）M是弱DC-投射模；

證明 由文獻[8]中推論1.5的證明過程易證.

定理1設0→H→W1→W0→M→0是R-模正合列，其中W0和W1是弱DC-投射模，則存在正合列0→H→W→Q→M→0和其中Q和Q′是投射模，且W和W′是弱DC-投射模.

證明 由W0是弱DC-投射模及定義1知，存在正合列其中Q是投射模且是弱DC-投射模.令K＝Ke（rW0→M）.考慮正合交換圖，如圖1和圖2.

圖1 K→W0與Q→W0的拉回圖

圖2 W1→K與U→K的拉回圖

由W1是弱DC-投射模及定義1知，存在正合列其中Q′是投射模且是弱DC-投射模.考慮推出圖，如圖3和圖4.

圖3 的推出圖

圖4 K→W0與K→V的推出圖

定理 2 設 0→H→Wn－1→Wn－2→…→W1→W0→M→0是 R-模正合列，其中Wi（0≤i≤n－1）是弱DC-投射模，則以下結論成立：

（2）存在正合列 0→V→Pn－1→Pn－2→…→P1→P0→M→0和 0→X→V→H→0，其中Pi（0≤i≤n－1）是投射模且X是弱DC-投射模.

證明（1）對n用數學歸納法.當n＝1時，0→H→W0→M→0正合，其中W0是弱DC-投射模.由命題2和引理3可知，存在正合的正合列0→W0→其中Q0是投射模且W是弱DC-投射模.考慮推出圖，如圖5.

圖5 的推出圖

圖5中間行和第三列就是滿足要求的正合列.

假設結論對于n－1（n≥2）成立，下面討論對于n的情形.在正合列0→H→Wn－1→Wn－2→…→W1→W0→M→0中，Wi（0≤i≤n－1）是弱DC-投射模，不妨令I＝Im（Wn－2→Wn－3），則該正合列可分為如下兩個正合列

和

根據定理1及正合列（5）可得，存在正合列

其中Qn－1是投射模且是弱DC-投射模.取將正合列0→K→與序列（6）拼接可得正合列

由歸納假設可知，存在正合列

和

其中Qi（0≤i≤n－2）是投射模且W是弱DC-投射模.將序列與（9）拼接可得正合列

易知正合列（10）和（11）就是滿足要求的正合列.從而結論對于n也成立.

綜上所述，結論成立.

（2）證明過程與（1）對偶.

命題4設M是R-模，如果存在正合列

和

證明 由引理2和文獻[1]中引理3.12易證.

基于以上結論，下面給出模M的弱Ding-投射維數wDPC-pd（M）小于等于n的若干等價刻畫.

定理3設M是R-模，n為非負整數且wDPC-pd（M）＜＋∞，則以下條件等價：

（1）wDPC-pd（M）≤n；

（2）存在 R-模正合列 0 → Kn→ Wn－1→ Wn－2→…→ W1→ W0→ M → 0，其中 Wi（0≤i≤n－1）是弱DC-投射模且Kn也是弱DC-投射模；

證明（1）?（2）顯然成立.

（2）?（3）設N是任意C-f-投射模R-模，根據引理3得，對任意0≤i≤n－1有等式成立.用函子HomR（-，N）作用于正合列0→Kn→Wn－1→Wn－2→…→W1→W0→M→0，由維數轉移公式可得，對任意j≥n＋1有

其中Qi（0≤i≤m）是C-f-投射模.由（2）知，對任意0≤i≤m有用函子HomR（M，-）作用于序列0→Qm→Qm－1→Im－1→0，其中Im－1＝Im（Qm－1→Qm－2），得長正合列

（4）?（1）因為 wDPC-pd（M）＜＋∞，不妨令 wDPC-pd（M）＝k＜＋∞.若 k≤n，則結論顯然成立.若k≥n＋1，則存在正合列

其中Wi（0≤i≤k）是弱DC-投射模.取Ii＝Im（Wi→Wi－1），由（4）和維數轉移公式知，對任意 C-f-投射模 N 和整數 j≥n＋1，有從而有等式成立.又由維數轉移公式可知，對任意整數 n≤i≤k，有根據命題3可得，Ii（n≤i≤k）是弱DC-投射模.因此結論wDPC-pd（M）≤n成立.

定理4設0→X′→X→X″→0是R-模正合列，n為非負整數，則以下結論成立：

（1）若 wDPC-pd（X′）≤n 且 wDPC-pd（X″）≤n，則 wDPC-pd（X）≤n.

（2）若 wDPC-pd（X″）≤n 且 wDPC-pd（X）≤n，則 wDPC-pd（X′）≤n.

（3）若 wDPC-pd（X′）≤n 且 wDPC-pd（X）≤n，則 wDPC-pd（X″）≤n＋1.

證明對任意C-f-投射模N，用函子HomR（-，N）作用于序列0→X′→X→X″→0可得長正合列.

（1）若 wDPC-pd（X′）≤n 且 wDPC-pd（X″）≤n，則由引理 2 知，

（2）若 wDPC-pd（X″）≤n 且 wDPC-pd（X）≤n，則由引理 2 知，

（3）若 wDPC-pd（X′）≤n 且 wDPC-pd（X）≤n，則由引理 2 知，