中職藝術設計類專業數學教學策略研究
——以“直線和圓的位置關系”為例

■陳麗萍

（山西省貿易學校，山西 太原 030012）

新時代中職數學課程改革強調提升數學邏輯思維能力、數學與現實生活的聯系、數學為專業學習服務的能力，以及數學學習情感、態度培育，對數學美的欣賞等多元的學習目標，注重跨學科之間的融合，注重信息技術教育資源的合理利用。

一、中職藝術設計類專業學生現狀

中職藝術設計類專業主要有計算機平面設計、工藝美術、藝術設計與制作等專業，該專業學生從知識角度來說已具備直觀判斷直線與圓位置關系的基礎能力，但難以理解通過計算定量分析兩者位置關系。從能力方面而言，雖然擁有美術設計中較強的圖形繪畫和抽象分析能力，但由于數學中要求一定的邏輯思維，他們迫切需要提高數形結合分析問題能力。目前中職學生生源質量嚴重下滑，懶散、缺乏自信，自控能力差，對數學“敬而遠之、抓耳撓腮、望而卻步”，尤其是藝術設計類專業學生，數學基礎相當薄弱，以美學為基礎，融數學以專業，創新教學方法，推進課堂革命勢在必行。

二、以“直線和圓的位置關系”為例探索高效課堂

“直線與圓的位置關系”是中職數學基礎模塊解析幾何研究的一個重要問題，上承直線方程、圓方程，下接直線與圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的位置關系，貫穿于解析幾何學習的始終。問題是探究學習的核心，而探究則是數學教學的生命線，因此學生的學習就是將生活情境數學化，讓學生在探究知識的過程中學會學習，在學習中學會創造，將數學知識內化的一個過程。

（一）情景交融，精心設計

情境一：觀看煙花燃放視頻。從現實生活背景中讓同學們體會燃放煙花必需站在一個安全的位置，再通過視頻播放煙花燃放引發的血淋淋的實事，分析何謂煙花燃放的安全范圍。結合這兩點，引入生活中為什么燃放煙花拉置安全警戒線，由具體到抽象，抽象出直線與圓的各種位置關系，在情境中分析體會直線與圓的位置關系有幾種。用“引、導、議”三步法帶同學們身臨其境。

引:同學們我們上課前聽到的這首歌是《煙花易冷》，煙花的美雖然稍縱即逝，但它卻是古往今來人們慶祝節日重要的一種方式。現在我們就一起來看一場煙花。（播放視頻）

導：從這個視頻中大家看到了什么？如果說天空中絢爛的煙火向我們印證了距離產生美，那么人群中爆炸的煙花則在向我們闡釋距離產生悲。只有在了解了此次煙花爆炸的原因之后，我們才能夠避免類似的事故發生。接下來就讓我們通過視頻來分析一下此次事故的真實原因。（播放事故分析視頻）

議:從視頻中我們可以知道，煙花的燃放都有一個范圍，如果人在觀看煙花時踏入這個范圍就會存在安全隱患。那么問題來了：在觀看煙花時，安全范圍我們是看不到的，觀看太近了不安全，太遠了不過癮不刺激，所以一般在燃放煙花時都需要拉置警戒線，同學們判斷一下圖中所示警戒線是否合理，顯而易見是不合理的。

設計目的：學生通過自己的觀察初步感受直線和圓的位置關系，體會到生活中處處存在著數學，在整個過程引導學生自己發現直線與圓的位置關系，激發學生探究欲望。

情境二：抽象分析出各條警戒線與煙花燃放安全范圍這個圓的位置關系。以問題為導向，提前讓同學們欣賞夕陽西下的美景，同樣用下面“引、導、議”三步法漸入佳境。

引：哪幾條警戒線設置是安全的？你是怎樣理解的？從數學角度來講，警戒線與煙花燃放的安全范圍存在哪幾種位置關系呢？有沒有同學能夠歸納一下？

導:這是以前學的直線與圓三種位置關系，以往大家只需要根據圖像就可以直接看出來，那么通過今天這堂課的學習，大家就可以通過計算來判斷它們的位置關系，到底怎么算呢？我們先一起來探究一下。

議：直觀的觀察后，同學們對自己發現的印象比較深，再通過教師層層設問，把生活問題抽象成數學問題，使學生思維自然發展，教學有序進入實質部分，接著分析出夕陽西下中太陽與地平線的關系，隱含著直線與圓的位置關系。

設計目的：學生再一次體會到數學與日常生活緊密聯系，讓學生很輕松地理解圓與直線的三種位置關系——相交、相切、相離，并指出學習本堂課的意義所在。

（二）雙邊活動，探究新知

教師活動：用幾何畫板作圖，先固定一個圓，再作一條直線，通過平移直線觀察這條直線與圓的位置關系，同時描出圓心到直線的距離d和半徑r以及直線與圓的交點個數。請學生從幾何畫板運動中判斷直線與圓相交、相切、相離時d與r的長短關系以及交點的個數。

學生活動：通過小組交流，在觀察幾何畫板的基礎上完成表1。

表1 直線與圓的位置關系

直線與圓有哪些位置關系？請大家完成表1。通過觀察討論，我們可以發現直線與圓在產生相交、相切、相離時，交點個數是會改變的，同時圓心到直線的距離d與半徑r也會隨之改變，位置不同數據也不同。因此，從直線與圓的交點個數可判斷他們的位置關系，也能通過圓心到直線的距離d與r的比較來判斷。

設計目的：通過幾何畫板動態演示這一方法，直觀展示直線與圓在相交、相離、相切時圓心到直線的距離d與半徑r的長短關系及交點個數，學生通過小組交流合作、教師指導，繪制出表格，并探索得出可以通過直線與圓交點個數和圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數量關系來判斷直線與圓的位置關系，得出結論，同時培養實驗-觀察-歸納這一科學思維方法和動手能力。

（三）小試牛刀，拓寬思路

藝術設計類專業學生有較強的動手能力，改變傳統講授，創新教學方法，用“做中教、做中學、做中評”三步法幫助學生拓寬思路、提升自信。

做中教：判斷下列直線與圓的位置關系，并再次利用幾何畫板在直角坐標系中作出直線與圓的函數圖像。現在我們已經知道了判斷直線與圓位置關系的方法了，讓同學們一展身手。

首先我們用幾何畫板把這個圓和直線畫出來，大家發現什么了？如果沒有幾何畫板的幫助我們可以怎么準確判斷呢？直線與圓的位置不同會造成哪些因素不同呢？位置不同，相關因素必然不同，

做中學：觀察圖形位置，得出相交的結論。交點個數的改變，d與r大小的改變。

現在脫離圖形用代數方法去判斷他們的位置關系：第一種，根據直線與圓的交點個數去判斷（交點個數體現在方程中其實就是要我們求△）；第二種，根據d與r的大小去判斷，我們可以直觀感知。

其實第一種方法是比較常用的方法，根據交點個數判斷直線與圓的位置關系，這種方法還可以判斷直線與橢圓、直線與拋物線間的位置。而根據d與r的大小只適用于判斷直線與圓的位置關系，是判斷直線與圓位置關系時特有的一種判斷方法。當知道了直線與圓的方程之后，圓心坐標和半徑r易得到，問題的關鍵是如何得到圓心到直線的距離d，它的本質是點到直線的距離，那么我們可以直接利用點到直線的距離公式求d。通過d與r的大小判斷他們的位置關系是本節重點。

做中評：學生明確兩種解題思路后，教師讓學生對比兩種解法哪種更簡捷，明確本節課主要用比較d與r的關系來解決這類問題，對用方程組解的個數的判斷方法，要求學生課外做進一步的探究，從而得到本堂課解決直線與圓的位置關系的方法就是通過判斷半徑與d的大小。

設計目的：這樣設計教學程序，能使學生在探究過程中產生認知沖突，激發探究新知的欲望和沖動，通過不同方法解決相同的問題，殊途同歸。讓學生意識到情景教學法和實驗觀察法對問題解決的優越性，學經歷知識和方法產生和發現過程，進而得出解決同類問題的一般方法，從特殊到一般，從抽象到具體，理清判斷直線與圓的位置關系的方法，將學習數學的過程轉變為學生對數學知識的“再創造”過程，體驗數學發現和創造的歷程，積極發現、探究新知，提高創新意識和創新能力的培養。

（四）融入專業，探索規律

數學是自然科學的基礎，數學要為專業學習服務，引導同學們從美學的角度將數學與專業學習、日常生活聯系起來，用下面“展演、模仿、拓展”三步法升華課堂教學效果。

展演：通過例題的學習，對判斷直線與圓位置關系的解法都有了一定的了解，現在有這樣三道題目請大家來判斷一下（請學生上臺板演）。

（1）直線5x+12y-8=0與圓(x-1)2+(y+3)2=8

（2）直線y=3x與圓x2+y2=2

（3）直線x+y-2=0與圓x2+4x+y2=8

老師歸納小結，然后對比學生板演答案，每一題都用多媒體顯示圖形，畫出d與r。讓學生充分體會成功的喜悅，直觀體會從形到數又回到形，使整個教學過程更加直觀。

模仿：依樣畫葫蘆，通過一定量的模仿練習，加深學生對解題過程的印象。學會如何判斷直線與圓之間的位置關系后，思考困惑、解決問題：

兩個同學觀看煙花表演（安全范圍為150米），A同學距煙花正南方向200米，B同學距煙花正東方向180米處，當A同學沿直線跑向B同學時，請問安全嗎？這個問題呢不要求大家現在回答，我們作為今天的作業請大家去課后思考，我會將這個問題的提綱和解答過程放在學校的MOOC平臺上，大家可以邊看邊交流。

拓展：請大家拿出iPad，掃對應的二維碼觀看視頻，供同學們課后學習，發現視頻中呈現得并不完美，那么作為美術設計類專業的學生，已經具備了一定的計算機技術和美術設計水平，要充分利用專業知識，兼具藝術美學欣賞特點，舉辦一個體現時代特色的數學微視頻大賽，大家一起學習，上傳到班級微攝影天地中，發現驚喜，提升喜悅。

設計目的：讓同學們體會到數學源于生活而用于生活，起到了前后呼應的效果。通過問題的牽引將學生從生活情境引入到數學問題的學習中去。在數形結合思想中讓學生體會到幾何問題代數化，學會研究問題，挖掘問題，體會生活中蘊含的數學思想。

（五）評價反思，總結提高

1.通過電腦程序設置，學生每做一題，自動生成評分以及教師的評語，并在課堂自動統計該生的總分，真實顯示了每個學生的知識掌握情況，快捷便利，直觀了當。

2.填寫《合作學習評價表》，進行學生自評、生生互評、學生評價之后，通過教師黑板表彰優秀小組進行教師評價，形成了完整的合作學習評價體系。

3.幾何畫板的應用，一方面可以引導繼續深入理解判定方法，更主要的是為學生探索理解“圓心到直線的距離d與半徑r的大小”提供了有效手段，提高了學習興趣和學習效率；另一方面是畫板作圖，合作手繪，既讓學生體會到數形結合的重要性，又讓學生自主得到直線與圓的位置關系判定方法，將專業與數學相結合，激發學生興趣。

4.數學建模的融入，教師引導學生建立直線與圓位置關系的模型，分析模型、解決模型，將模型直觀化。大大培養學生的自主學習能力，弱化傳統的知識傳授。“觀察-分析-歸納-表達”提升數學綜合能力，增強教學針對性，提升教學效益。

通過認真研讀中共中央、國務院《關于國家職業教育改革實施方案》《中國教育現代化2035》等文件，充分體會到職業教育前途廣闊、大有作為，新時代職業教育課程改革的號角已吹響，數學作為一門受眾面廣的公共專業基礎課，應該走在教學改革的前列，面對新機遇新挑戰，中職數學教師需要抓住機會，認真分析學情，研究教學策略，讓數學美植根于每個學生心中，為終身學習奠定基礎。