基于學科核心素養的“全等三角形”復習課設計

■楊文，陳開文

核心素養在全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務中具有重要作用和突出的地位，近年來，核心素養的培養已成為中小學課堂教學的指導思想和基本方向，如何在具體教育實踐中讓學科核心素養落地落實，這是廣大教育工作者必須厘清的關鍵問題。筆者以一堂青年教師賽課——北師大版初中數學教材七年級下冊第四章 “全等三角形的復習”為例，結合自身教學實踐，談談怎樣在初中數學復習課中將數學的核心知識、基本思想方法、數學精神等教育滲透到復習中[1]，從而真正做到有效提升學生的核心素養，為教師在數學復習課中落實核心素養培養提供一些借鑒。

一、教學過程

（一）課前準備，積累活動經驗

落實學科核心素養的培養就是要組織、實施好學科活動。教者以活動為引領，在課前準備中為學生布置了一個前置活動：1.用硬紙片剪出兩個等腰直角三角形；2.用兩個等腰直角三角形，拼成自己喜歡的圖形；3.上課時，請同學們來分享拼好的圖形。

教學分析：由于活動要求并沒有規定兩個等腰直角三角形的大小，故應分類討論：可以是兩個一樣大小的等腰直角三角形，也可以是一大一小的等腰直角三角形。通過“前置活動”的形式，不僅可以讓同學們回顧等腰直角三角形的基本性質，還可以讓學生動手裁剪、設計，最后拼接成一個美麗的圖形，從中感受到數學的美。在課堂上，讓同學們上講臺來展示自己的“作品”，并分享自己的設計方案和想法，還引出了本節復習課研究的所有基本圖形。整節課同學們都在研究自己設計出的圖形的性質，這大大激發了學生學習的積極性和主動性。以下是部分同學的拼圖：

圖1

圖2

圖3

圖4

（二）知識回顧，熟悉基本性質

落實學科核心素養就是要有過硬的學科基礎知識。好的教學設計要著眼于學生的最近發展區，從學生已有的知識和經驗出發，因此，教者在新課伊始，設計了兩個與本節課相關的數學基礎知識的問題：（1）如圖5，已知ΔACE為等腰直角三角形，∠CAE=90°，AC=AE,請找出相等的角和線段。（2）如圖6，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，請找出相等的角和線段；線段BD與CE有什么位置關系？

圖5

圖6

教學分析：問題（1）根據等腰直角三角形的基本性質，可以知道底角相等、腰相等，有一個角是直角。這不僅可以幫助學生回顧等腰直角三角形的基本性質，還為后面的問題做鋪墊。教者由一個簡單的等腰直角三角形入手，讓每個學生都可以參與進來，提高了學生學習的積極性。問題（2）中相等的線段有AB=AD，AE=AC，通過線段的比較可以得到BE=CD。其中相等的角有∠A=∠A=90°，∠E=∠C=∠ABD=∠ADB=45°,∠EBD=∠CDB=135°，根據平行線的判定可以知道線段BD與CE的位置關系為互相平行。隨著圖形變得復雜，不僅考查了學生運用等腰直角三角形的性質解決問題的能力，還考查了學生對基本模型的識別能力，進一步為后面的教學環節埋下伏筆。

（三）求同存異，回歸圖形本質

落實學科核心素養的關鍵是要抓住事物的本質。三角形全等的重點在于圖形的變化較多，但究其本質就是兩個三角形平移、旋轉、對稱等變換，因此，教者以旋轉為抓手，引導學生從他們自己拼接成的圖形入手研究問題（3）：如圖7，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，試找出圖形中的全等三角形；試探究BE與CD有什么關系。問題（4）：如圖8，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，試找出圖形中的全等三角形；試探究BE與CD有什么關系。問題（5）：如圖9，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，試找出圖形中的全等三角形；試探究BE與CD有什么關系。

圖7

圖8

圖9

教學分析：教者以旋轉變換為切口，用三角形全等來研究旋轉變換中的不變關系。根據旋轉型全等這個基本模型，不難發現圖7中全等的三角形為ΔABE和ΔADC。在全等的條件下，自然有BE=CD，本題的難點在于探究BE與CD的位置關系，值得注意的是在探究兩線段之間的關系時，應分類討論，其關系不僅包括位置關系，如平行、垂直等，還包括數量關系，即兩線段相等的情況。在問題（3）和問題（4）中需要延長CD交BE于點F，根據轉移角的基本模型“蝴蝶型”，以問題（4）為例，如圖10，因為ΔABE?ADC（SAS），所以∠FED=∠ACD,又因為對頂角，所以∠FDE=∠ADC,在ΔFDE與ΔADC中，三角形內角和均為180°，所以∠EFD=∠CAD=90°，所以BE⊥CD。本環節三個問題的已知條件基本一致，圖形具有變化的連續性，揭示出了本節課研究的主題：在等腰三角形的問題中，通常涉及全等、旋轉等元素，由于圖形均由學生自己拼接而成，大大地激發了學生研究的興趣。復習課的重點不僅是要教會學生識別復雜圖形中的基本模型，更為關鍵的是教會學生研究基本模型變換的規律，抓住變換的本質，從而做到舉一反三，知一通百。

圖10

（四）小組合作，培養創新能力

本節課的難點在于同學們能否在教師的引導下，通過小組合作在原來的基本模型中探究出其他結論。先獨立思考，再小組討論，最后請小組分享成果。問題（6）：如圖11，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接CD，BE，連接AF，試說明∠BFA=∠CFA。問題（7）：如圖12，已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接DE，BC，過點A作BC的垂線交BC于點M，延長MA交DE于點N.試說明DN=EN。問題（8）：請同學們根據自己拼接的圖形，類比本節課探究的模式，命制一道題并給出解答。

圖11

圖12

教學分析：問題（6）要證明∠BFA=∠CFA，即證明AF平分∠BFC，根據角平分線的判定，過點A作AM⊥BE，AN⊥CD分別交BE，CD于點M，N，只要能夠證明AN=AM即可，根據問題（5）可知ΔABE?ADC（SAS），所以SΔABE=SΔADC且BE=CD，由等面積法可知三角形的高相等即AN=AM，所以AF 平分∠BFC，故∠BFA=∠CFA得證，本題涉及了全等的運用，角平分線的判定以及遇到角平分線應過角平分線上的點作角兩邊的垂線的基本模型。問題（7）考查了學生對“K”型全等的識別和運用，如圖13，過點E，D，作EG⊥MN，DH⊥MN分別交MN于點G,H，因為∠EAC=90°，所以∠EAG+∠CAM=90°，又因為EG⊥MN，所以∠EAG+∠GEA=90°,所以∠GEA=∠CAM,又因為AE=AC,所以ΔAGE?CMA （AAS），所以GE=AM；同理可得DH=AM，所以ΔDHN?EGN（A AS ）,所以DN=EN。教者為了進一步深入挖掘題目中的價值，繼續引導學生探究圖形的本質，設置如下追問：若將DN=EN當作條件，其他條件不變，能否證明AM⊥BC？問題（8）是一個開放性問題，充分利用課前活動中拼接的圖形，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。本環節均是通過小組合作探究，圍繞同學們拼接而成的圖形，利用全等的基本模型繼續深入探究圖形的性質，挖掘圖形的本質，讓學生經歷研究圖形性質的過程，提升獨立研究的能力。

圖13

二、教學反思

復習課是學生學習數學的重要組成部分,通過對所學內容的復習，可讓學生進一步理解知識[2]，鞏固已學過的知識、方法、思想，使其建立起系統的知識體系，發展學生的核心素養，也為新的學習內容做鋪墊。

（一）在學科活動中培養核心素養

學科知識與學科活動是學科核心素養形成的兩翼，學科知識是學科核心素養形成的主要載體，學科活動是學科核心素養形成的主要路徑[3]。也就是說，核心素養的培養應該堅持杜威提倡的“做中學”，在學校學習過程中，則需要依托學科教育實踐活動來實現。在平時的教學活動中，教師應合理設計活動，注重融入核心素養，以活動來引導學生動手操作，激發學生的探究興趣，從而實現核心素養的有效培養。由此，提出兩點建議：一是活動設計應具有明確、簡潔、可操作性等特點；二是活動設計應緊貼復習課主題或生活情景。

（二）在問題探究中培養核心素養

無論我們采取何種方式方法設計落實核心素養的復習課，核心素養的落地都高度依賴問題情景，正是高質量的問題串設計[4]，才能有效溝通知識和素養之間的聯系，借助于問題串可以幫助學生更好地鞏固基礎知識，提升學生使用數學方法分析問題和解決問題的能力，而且通過問題串的設計豐富了學生學習的進程，有助于學生核心素養的提升[5]。通俗地講，復習課就是基于一個能夠體現核心素養的核心問題，并將其分解為一個個問題串，引導學生在探究實踐中一步步靠近復習課的最終問題的解決。由此，提出兩點建議：一是問題串的設計要重視生活情景和知識情景的創設；二是問題串的設計要設置梯度，層層深入，把看似零散的概念、規律有機滲透在問題探究的全過程[6]，更要有意識地重視開放性問題的設計。

（三）在創新實踐中培養核心素養

創新不是憑空臆造的，而是建立在知識的傳播、轉化和應用的基礎之上的，無論是知識的創新還是技術的創新，都離不開教育[7]。教者在最后設置的問題（8）中，利用學生活動成果，模仿課堂圖形探究流程，充分發揮他們的想象，讓學生自己提出問題、分析問題，并解決問題，積累創新活動的經驗，進而提升學生創新的意識。由此，提出三點建議：一是重視學科活動的設計； 二是發揮小組合作優勢；三是精心設計問題串。

三、結語

促進學生數學核心素養的發展是初中數學復習課的重要方向，因此，復習不是簡單的對新課期間所學的知識“炒冷飯”，也不是針對新課期間的難點反復地“機械刷題”，而是借助具有結構性的問題從更高的視角讓學生聯系地、整合地、本質地看待所學習過的內容[8]。基于核心素養的復習課教學需要教師更好地理解數學，創造性地設置活動，巧妙地設置問題串，堅持培養創新能力，切實將培養學生核心素養融入復習課的每一個教學環節中，實現學生的全面發展[9]。