基于相互無偏基和擬合優度檢驗的頻譜感知方法

吳皓 張濤 陳躍 王海泉 潘鵬

（1. 中國電子科技集團公司第七研究所，廣州 510310；2. 中國人民解放軍91977部隊，北京 100036；3. 杭州電子科技大學，杭州 310018）

引 言

隨著無線通信技術的發展，大量的無線通信需求需要大量的無線頻譜，頻譜資源緊張的問題日益嚴重. 而另一方面，國際通用的靜態頻譜分配機制，即為特定的通信業務劃定固定的頻率范圍，造成無線頻譜的平均利用率很低. 這種分配機制盡管使得不同業務間的干擾得到有效避免，但也造成頻段資源空閑時間的增加，這就使得有限的頻譜資源非但得不到良好的利用反而遭到了浪費. 為使以上問題能夠得到有效解決，近年來，認知無線電(cognitive radio, CR)技術作為一種頻譜共享技術，得到了快速發展. 各種頻譜感知技術已被提出[1-9]，比較經典的主要有以下方法. 文獻[4]介紹了基于信號能量的能量檢測法，其可以在不知道用戶信號任何信息的條件下完成對目標頻段的頻譜感知. 因此，能量檢測法在CR領域中的應用很廣. 但它也存在著一些不足之處，如當系統的信噪比較低時，算法的效果并不是很好，并且算法無法分辨已調信號和干擾信號，而干擾信號會使能量檢測器做出錯誤判決. 文獻[5]研究了在噪聲不確定的情形下，能量檢測所需的樣本數量和檢測概率的關系，分析了噪聲不確定性對能量檢測的影響. 文獻[6]介紹了匹配濾波器感知法，該方法是基于最大化信噪比準則的方法，其準確性高且檢測速度快. 但該方法在檢測時必須依賴主用戶信號的先驗信息，這限制了它在實際中的應用. 此外，當主用戶信號類型不同時，該方法需設計出與信號類型相應的匹配濾波器，這增加了設備的成本和復雜度. 文獻[7]介紹了循環平穩特征檢測法，信號在送入無線信道之前，一般都要經過調制、調頻、添加循環前綴等處理，因此信號的某些特性會體現出一定的周期性，這些特性被稱為循環平穩特性. 基于這些特性，循環平穩特征檢測法用來區分用戶信號和噪聲. 該方法在環境較差的場景下可以保持較好的檢測性能，而且它還能夠分辨不同的主用戶信號類型，但是該方法需對接收信號進行長時間的觀測，在進行判決時也需用到主用戶信號的先驗信息，計算復雜度較大.

以上方法都是基于信號的某種特征或信號的某個參數進行檢驗的方法. 文獻[8]在2009年首次將頻譜檢測表述為非參數的擬合優度檢驗，而后，此方法得到了廣泛的研究[9-13]. 文獻[9]將神經網絡應用于擬合優度檢驗當中，通過降低用戶信號的相關性從而提高系統檢測概率. 文獻[10]將接收信號樣本協方差矩陣的最大特征值與跡的均值的比值作為擬合優度檢驗的對象，從而有效地避免了噪聲不確定性的影響. 本文的研究內容主要集中在基于擬合優度檢驗的頻譜感知方法. 擬合優度檢驗算法通過統計分布函數挖掘數據信息，從而做出判決. 擬合優度檢驗的基本思路是：當僅有噪聲時，樣本服從于噪聲分布，當用戶信號存在時，則樣本不會服從噪聲分布，因此便可將信號存在的問題轉換成其樣本是否滿足服從噪聲分布這一條件. 由此可知，擬合優度檢驗是考慮信號整體特征，而非信號的某個參數特征，并且，它不需要任何信號的先驗信息.

對于一個統計實驗，一般來說，樣本數越多，擬合優度檢驗的檢測結果更加準確. 基于這一思想，為了提高擬合優度檢驗的準確性，在本文中我們首先利用相互無偏基(mutually unbiased bases, MUB)矩陣對接收信號樣本做信號變換使得樣本數增加，然后采用KS(Kolmogorov-Smirnov)檢驗方法進行擬合優度檢驗. MUB由一組正交矩陣或正交基組成，且相互之間的相關性很弱，因而經這些正交矩陣變換后的數據也保持了弱相關性. 這一性質能夠使得由變換而增加的數據具有相對的獨立性，從而提高頻譜檢測的效果. 事實上，本文的分析和仿真結果均表明，利用MUB矩陣對接收樣本做數據處理再進行KS檢驗的效果要優于常規的KS檢驗.

1 基于擬合優度檢驗的頻譜感知技術

1.1 二元假設檢驗模型

頻譜感知的問題一般用二元假設模型表示，假設H1和H0分別代表主用戶存在和主用戶不存在，即H1表 示頻段被占用，不能被次用戶使用；H0表示頻段空閑，可以被次用戶使用. 頻譜感知有如下表現形式：

式中：r(t)表 示接收信號；s(t)表 示發送信號；n(t)表示高斯白噪聲. 基于此檢驗模型，即可選擇檢測算法對r(t)進 行處理得到判決統計量T，最后對比判決統計量和門限值 γ的大小從而判斷頻譜的占用情況[5-6]：

對于檢測結果，頻譜感知的指標一般有檢測概率Pd、 虛警概率Pfa和漏檢概率Pm. 用D0表示認知用戶認為主用戶不存在的情況，用D1表示認知用戶認為主用戶存在的情況.

檢測概率Pd表示主用戶占用某頻段時，被次用戶檢測出該頻段被占用的概率，表達式為

檢測概率越高，認知用戶就可以更好地感知頻譜空穴，從而提高頻譜的利用率.

虛警概率Pfa表示頻段未被占用時，次用戶誤判該頻段被占用的概率，表達式為

若虛警概率過高，會使認知用戶無法正確識別頻譜空穴，使得頻譜利用率無法增加.

漏檢概率Pm表示當某頻段被占用時，認知用戶判定主用戶不存在的概率，表達式為

若漏檢概率過高，會使認知用戶把已使用的頻譜當作頻譜空穴，從而干擾主用戶的通信.

1.2 基于擬合優度檢驗的頻譜感知

文獻[8]首次從擬合優度檢驗的角度去考慮頻譜感知問題：當沒有信號傳輸時，樣本服從噪聲分布，而信號的出現會改變樣本的分布，因此可通過判斷樣本的分布情況來判斷信號是否存在.

記觀測樣本為X，當沒有傳輸信號時，樣本服從于噪聲的分布，分布函數記為F?(x). 當信號出現時，樣本便不會服從于分布F?(x). 因此，檢測信號出現就等價于檢驗觀測樣本X是否服從零假設給出的噪聲分布F?(x)，若樣本服從噪聲的分布則判定信號不存在，否則就判定信號存在，有

擬合優度檢驗可以不是針對直接的觀測信號，主要針對的是實數樣本集，由于通信系統中的信號一般都是復數的形式，所以在進行擬合優度之前要對初始的樣本值進行取模操作. 對于變換樣本時首先確定其在零假設下的理論分布. 以基于經驗累積分布函數(empirical cumulative distribution function，ECDF)型擬合優度檢驗為例，信號檢測的通用流程如下：

首先確定檢驗算法，即樣本的ECDF和理論分布函數的差值度量函數；再根據確定的檢驗算法和虛警概率Pfa以及樣本長度n， 確定門限γ；接著根據觀測樣本(或變換樣本)的形式確定零假設H0下樣本理論分布F?(x)；然后根據選用的檢驗算法計算檢驗統計量；最后檢驗判決.

在介紹具體的檢驗方法之前，我們先給出ECDF的定義，若Fn(x)是 樣本X的 經驗概率分布，X={x1,x2,···,xn}，則

式中，1 (·)為 示性函數，若xi≤x， 則1 (xi≤x)為1，否則為0. 在計算經驗概率分布時，可以先對樣本值按照升序進行排序，這樣就可以通過簡單的計算得到所有樣本的ECDF值，計算公式如下：

判決統計量的值取決于樣本理論分布和經驗概率分布的差異程度，判決統計量越大說明其差異程度越大，當判決統計量大于門限時，判斷為信號存在，否則就只存在噪聲. 不同的擬合優度檢驗方法對其差異程度的計算也就是判決統計量的計算不同，以KS檢驗為例，當樣本為X時其判決統計量Dn的計算如下：

2 MUB矩陣介紹

2.1 MUB矩陣的定義

若B1,B2,···,Bd是M×M階的d個酉陣，即

記Bj=[bj1,bj2,···,bjM]， 對于任何的i≠j，有

2.2 MUB矩陣的構造

2.2.1 M=p(p為素數)

當M為素數時，可直接構造MUB矩陣，構造方法如下：

式中： ωp=ej2π/p,Fp={0,1,···,p?1}. 當a,b都取定而x遍 歷數域 Fp即x依 次取從0到p?1的數時，便得到一個p維 的向量va,b； 當a取 定而b、x遍 歷數域 Fp便得到p個向量，將這p個向量稱作一組基Ba； 當a,b,x遍歷數域 Fp便 得到p個 基，最終生成一個維度為M×M2的矩陣.

2.2.2 M=ps(p 為 奇素數， s>1)

當維度為素數冪時，構造MUB矩陣需要用到有限域的知識. 關于有限域理論的知識由于篇幅原因在此不做贅述，讀者可參考文獻[14]. 在這一節中假設p>2，為了介紹MUB矩陣的構造，有必要先介紹有限域中跡(trace)的定義，如下所示：

定義 假設α ∈F=Fpm，K =Fp，t raceF/K(α)定義如下：

利用trace的概念，則可以構造出MUB矩陣. 具體的構造方法如下：

設M=q=ps， 其中p為 大于2的素數，s為正整數. 令

則當x取 遍 Fp中的所有元素時，va,b形 成一個q維的向量. 令

則Ba形 成一個酉陣，維度為q×q， 而 {Ba1,Ba2,···,Baq}形成一個維度為M×M2的MUB.

2.2.3 M=2n(n >1)[15]

當M為2的冪時，設q=M. MUB矩陣的構造如下：

當x取 遍 Fq中 的所有元素時，va,b形 成一個q維的向量.令

則Ba形 成一個酉陣，維度為q×q， 而 {Ba1,Ba2,···,Baq}形成一個維度為M×M2的MUB.

3 基于MUB的KS檢驗

MUB中的每個酉矩陣都表示了空間中的一個座標架，并且不同座標架之間的相關系數都很小，僅為(M為空間的維度，即樣本的長度)，這樣樣本經過MUB矩陣變換后，就可以產生幾乎獨立的新的樣本. 基于這些新樣本，可以做出更加準確的判決.基于MUB的擬合優度檢驗過程如圖1所示，具體的數學推導過程如下所示，應用場景為加性高斯白噪聲信道.

圖1 基于MUB的擬合優度檢驗過程Fig. 1 Process of goodness fit test based on MUB

設{y1,y2,···,yM}為樣本集，當樣本未經MUB矩陣轉換，KS檢驗的判決統計量

設矩陣Bi(i=1,2,···,M)為MUB中的任一矩陣，令

這樣就得到M2個數據

基于這M2個數據，進行擬合優度檢驗. 具體的檢測方案如下：

該方法是將樣本數擴大到M2，所以首先對新的樣本集Z進行升序處理. 當 {y1,y2,···,yM}是均值為零、方差為 δ2的復高斯噪聲，并且其實部和虛部都是獨立同分布時，由于處理之后的樣本集的分布并沒有大的改變，因此對每個樣本值取模以后，其模值的概率分布函數仍為瑞利分布. 其分布函數和經驗函數如下所示：

其判決統計量

4 仿真實驗

仿真基于高斯信道模型，假設噪聲已知且是高斯信道，發送信號為16QAM調制信號. 檢測模型如下所示：

式中：xi表示接收樣本的第i個分量； ωi表示噪聲的第i個分量；ρ表示信噪比；h表示信道；si表示發送信號的第i個分量；M表示發送端的天線數，即信號的長度.

由于檢驗的門限值會隨著樣本數和虛警概率的改變而改變，因此我們在仿真前必須確定好相應的門限值. 本次仿真的虛警概率統一定為5%，通過10 000次蒙特卡洛確定檢驗門限值，如表1所示.

表1 兩種檢驗方式的門限值Tab. 1 Threshold values of two inspection methods

基于高斯信道環境，采用基于MUB的KS檢驗算法針對發送天線數M分別為16、32和64時進行仿真，并同傳統的KS算法做比較，具體的仿真結果見圖2.

圖2 KS檢驗仿真對比結果Fig. 2 KS test simulation comparison results

從圖2仿真結果可知，采用基于MUB的KS檢驗對信號進行判決，其檢測概率有一定程度的提高，提高的幅度分別為2 dB、1.5 dB、1 dB以上.

5 結 論

本文介紹了將擬合優度檢驗作為頻譜感知的方法以及MUB矩陣的構造方法，相比于傳統的擬合優度檢驗方法，本文在此基礎上通過MUB矩陣對信號樣本進行預處理從而提高了信號的檢測概率，并且該方法的計算復雜度主要體現在數字的乘法，在現有的技術條件下很容易實現. 除了KS檢驗之外，還有多種擬合優度檢驗的方法，皆可嘗試用MUB矩陣對樣本做預處理以達到提高信號檢測概率的目的，這也是我們后續的研究方向.