剖析中考中冪的運(yùn)算

文／高靈敏

中考中對(duì)冪的運(yùn)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查主要出現(xiàn)在選擇題和解答題中。2021年江蘇省13個(gè)設(shè)區(qū)市有11個(gè)市涉及冪的運(yùn)算，其中常州、徐州、鹽城、淮安、宿遷5個(gè)市將冪的運(yùn)算相關(guān)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)在兩道題目中。

下面我們先來(lái)具體回顧一下冪的運(yùn)算性質(zhì)：

1.同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n（m、n是正整數(shù)）；

2.冪的乘方：（am）n=amn（m、n是正整數(shù)）；

3.積的乘方：（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）；

4.同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n（a≠0，m、n是正整數(shù)，m＞n）。

在規(guī)定了零指數(shù)冪a0=1（a≠0）和負(fù)指數(shù)冪（a≠0，n是正整數(shù)）的意義后，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算性質(zhì)擴(kuò)展為：am÷an=am-n（a≠0，m、n是整數(shù)）。

基本知識(shí)點(diǎn)不多，而且簡(jiǎn)短，可為什么作為必考點(diǎn)，同學(xué)們的得分率卻不高呢？其一，公式過(guò)于相似，對(duì)于死記硬背的同學(xué)來(lái)說(shuō)容易混淆；其二，命題人混入了其他外形相近的式子，在下面的例題中老師會(huì)具體闡述。

先解決第一個(gè)問(wèn)題，am是冪的形式，表示m個(gè)a相乘，同理an表示n個(gè)a相乘，那么am·an就表示m+n個(gè)a連乘，故寫(xiě)成冪的形式是am+n；am÷an表示m個(gè)a相乘的結(jié)果除以n個(gè)a相乘的結(jié)果，得m-n個(gè)a相乘，故寫(xiě)成冪的形式是am-n；（am）n表示n個(gè)am相乘，利用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，n個(gè)m相加得mn，故結(jié)果為amn；（ab）n的底數(shù)是ab，該式表示n個(gè)ab相乘，利用乘法的交換律和結(jié)合律可以得到n個(gè)a的乘積再乘n個(gè)b的乘積，寫(xiě)成冪的形式就是anbn。這樣我們把4個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)又推導(dǎo)了一遍，在理解的基礎(chǔ)上記憶，就能避免混淆。同時(shí)，再觀察這4個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，等號(hào)右邊的運(yùn)算級(jí)別總比左邊低一級(jí)，這也是這幾個(gè)公式的特征點(diǎn)。

例1（2021·江蘇南京）計(jì)算（a2）3·a-3的結(jié)果是（ ）。

A.a2B.a3C.a5D.a9

【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出答案。

解：原式=a6·a-3=a3。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法，掌握這兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵。

例2（2021·江蘇宿遷）下列運(yùn)算正確的是（ ）。

A.2a-a=2 B.（a2）3=a6

C.a2·a3=a6D.（ab）2=ab2

【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)和冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出答案。

解：A選項(xiàng)，原式=a，考查合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)相加（減），字母及指數(shù)不變；B選項(xiàng)，原式=a2×3=a6，考查冪的乘方；C選項(xiàng)，原式=a2+3=a5，考查同底數(shù)冪相乘；D選項(xiàng)，原式=a2b2，考查積的乘方。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查合并同類(lèi)項(xiàng)和冪的運(yùn)算性質(zhì)，熟練并準(zhǔn)確掌握合并同類(lèi)項(xiàng)和4個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵。當(dāng)多種計(jì)算法則聚于一題，如此題的冪的乘法、乘方、合并同類(lèi)項(xiàng)等，就要求同學(xué)們對(duì)相關(guān)知識(shí)要理解透徹并準(zhǔn)確記憶。

例3（2021·江蘇徐州）計(jì)算： ||-2-

【分析】根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、開(kāi)立方的概念即可求出答案。

解：原式=2-1+2-2=1。

【點(diǎn)評(píng)】本題作為解答題的第一道題，綜合考查絕對(duì)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、開(kāi)立方等4個(gè)知識(shí)點(diǎn)，熟練并準(zhǔn)確掌握這4個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。解題的難點(diǎn)在于負(fù)指數(shù)冪的應(yīng)用。當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，利用底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)“底倒指反”），無(wú)論在書(shū)寫(xiě)時(shí)還是在計(jì)算時(shí)都會(huì)更簡(jiǎn)單。

冪的運(yùn)算性質(zhì)和兩個(gè)規(guī)定，一定要深刻理解，準(zhǔn)確記憶，這樣才能把相關(guān)的分?jǐn)?shù)收入囊中。

小試牛刀

1.計(jì)算a2·a的結(jié)果是（ ）。

A.a3B.a2C.aD.2a2

2.計(jì)算（m2）3的結(jié)果是（ ）。

A.m5B.m6C.m8D.m9

3.下列計(jì)算正確的是（ ）。

A.（a3）3=a9B.a3·a4=a12

C.a2+a3=a5D.a6÷a2=a3

4.下列計(jì)算正確的是（ ）。

A.a3+a3=a6B.a3·a3=a6

C.（a2）3=a5D.（ab）3=ab3

5.下列計(jì)算正確的是（ ）。

A.a2+a=a3B.（a2）3=a5

C.a8÷a2=a4D.a2·a3=a5

6.（-3）0等于（ ）。

A.0 B.1 C.3 D.-3