“數(shù)”之嚴(yán)謹(jǐn)“形”之直觀

文／康葉紅

方程是研究已知量和未知量關(guān)系的模型。求方程的解，就是利用等式的基本性質(zhì)和代數(shù)式的運(yùn)算，將方程化成最簡形式“x=a”。此外，我們還可以從“形”的角度來求方程的解，下面從圖形解法和函數(shù)圖像解法兩個(gè)方面來談?wù)劮匠痰慕夥ā?/p>

一、圖形解法與方程

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第12頁“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”中有這樣一個(gè)問題：

例1用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0，配方法的過程可以用拼圖直觀地表示。

【分析】求一元二次方程的解常用的方法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。此外，我們還可以用拼圖的方法（如圖1）直觀地描述配方法的過程，在操作中感受數(shù)與形的結(jié)合。

圖1

變式請用圖形求解一元二次方程x2+2x-24=0的正根。

【分析】求解一元二次方程x2+2x-24=0的正根的過程，可以這樣來思考：①變形，得x（x+2）=24；②畫4個(gè)長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造一個(gè)邊長為（x+x+2）2的正方形（如圖2）；③圖2中的大正方形面積可以表示為（x+x+2）2，或4個(gè)長為（x+2）、寬為x的矩形的面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積，即4x（x+2）+22。

圖2

解：（x+x+2）2=4x（x+2）+22，

因?yàn)閤（x+2）=24，

所以（x+x+2）2=4×24+22，（2x+2）2=100，

因?yàn)閤＞0，所以x=4。

【總結(jié)】利用圖形直觀表示配方法求解過程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。借助于形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面求解問題，拓寬了解題思路。

我們還可以將這個(gè)過程一般化，求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（b＞0，c＞0）的正根的過程，就是利用4個(gè)長為x+b、寬為x的矩形，構(gòu)造邊長是x+x+b的正方形（如圖3），則圖中的大正方形面積可以表示為（x+x+b）2，或4個(gè)長（x+b）、寬x的矩形的面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積，即4x（x+b）+b2。由此可得方程的正根是

圖3

二、圖像解法與方程

蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第161頁向大家介紹了利用一次函數(shù)的圖像可以求二元一次方程組的解，具體如下：

例2利用一次函數(shù)的圖像解二元一次方程組

【分析】我們可以借助代入消元法或者加減消元法來求二元一次方程組的解，得我們還可以用一次函數(shù)的圖像來求二元一次方程組的解，即一次函數(shù)和y=2x-3的圖像交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），那么二元一次方程組的解是

變式解方程x3-2x2-9x+18=0。

解法1：x2（x-2）-9（x-2）=0，

（x-2）（x2-9）=0，

（x-2）（x+3）（x-3）=0，

所以x1=2，x2=-3，x3=3。

【總結(jié)】類比之前已學(xué)過的各類方程的解法，應(yīng)把一元三次方程通過降次轉(zhuǎn)化為一次方程來進(jìn)行求解。

解法2：由x3-2x2-9x+18=0，

得x3=2x2+9x-18。

在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=x3和函數(shù)y=2x2+9x-18的圖像（如圖4），它們 的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為A（2，8），B（-3，-27），C（3，27），所以x1=2，x2=-3，x3=3。

圖4

【總結(jié)】利用兩個(gè)函數(shù)的圖像可以求解方程，將方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，這里可以看成函數(shù)y=x3和y=2x2+9x-18的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)。

數(shù)形結(jié)合思想是研究數(shù)學(xué)問題的有效方法之一，利用數(shù)量與圖形、數(shù)量與圖像之間的關(guān)系，“以形助數(shù)”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，強(qiáng)化代數(shù)推理意識，無疑也是求解問題的良策。