“一元二次方程”備考集錦

文／陳敏婕

“方程與不等式”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與解決實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的常用工具。“一元二次方程”作為“方程與不等式”板塊的代表性內(nèi)容，歷來是中考關(guān)注的焦點(diǎn)。下面就以一元二次方程為例，談?wù)勊诮曛锌荚嚲碇械牡湫涂挤ǎ云趯ν瑢W(xué)們的中考備考有所幫助。

一、關(guān)注基本解法和算理

通過對近年中考有關(guān)方程部分考題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，其主要考查方程的基本解法以及解答過程中每個環(huán)節(jié)的運(yùn)算依據(jù)，厘清算理。

例1（2021·浙江麗水）用配方法解方程x2+4x+1=0時，配方結(jié)果正確的是（ ）。

A.（x-2）2=5 B.（x-2）2=3

C.（x+2）2=5 D.（x+2）2=3

【解析】整理，得x2+4x=-1，

配方，得x2+4x+4=-1+4，

從而（x+2）2=3。

故選D。

【點(diǎn)評】對一元二次方程的解法考查，我們應(yīng)關(guān)注其基本解法，如開平方法、配方法、公式法等。本題明確要用配方法解決問題，則應(yīng)重點(diǎn)注意運(yùn)用配方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時，配的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

例2（2021·浙江嘉興）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x-3）=（x-3）2的過程如下框：

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確，請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯誤，請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程。

【解析】小敏：×；小霞：×。

正確解答：移項(xiàng)，得3（x-3）-（x-3）2=0，

提取公因式，得（x-3）（3-x+3）=0，

則x-3=0或3-x+3=0，

解得x1=3，x2=6。

【點(diǎn)評】解方程過程中，要關(guān)注每一步等價(jià)變形的合理性，做到有理有據(jù)。小敏在變形過程中，“兩邊同除以（x-3）”，利用了“等式的基本性質(zhì)”，即“在等式兩邊同時除以一個不為0的數(shù)，等式仍然成立”。但此處的代數(shù)式（x-3）可能為0，小敏未考慮到這種情況。彌補(bǔ)方法，可以針對（x-3）是否為0展開分類討論。小霞的解法，整體“提公因式”法，這種方法是可取的，但在細(xì)節(jié)處理上，去括號時未將（x-3）看成整體，導(dǎo)致運(yùn)算錯誤。

二、注重基本概念的辨析

在方程概念的辨析中，要理解“方程的解”的含義，即“滿足方程的未知數(shù)的值，叫作方程的解”。此外，對于特定的方程，如“一元二次方程”，要滿足二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件。對于“一元二次方程的根的情況”，我們還需要借助“根的判別式”加以判斷。

例3（2021·甘肅白銀）已知x=1是一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0的一個根，則m的值為（ ）。

A.-1或2 B.-1

C.2 D.0

【解析】把x=1代入方程（m-2）x2+4x-m2=0，得m-2+4-m2=0，整理，得m2-m-2=0，

解得m1=-1，m2=2。

∵（m-2）x2+4x-m2=0是一元二次方程，

∴m-2≠0，∴m≠2。

∴m=-1。

故選B。

【點(diǎn)評】本題考查“一元二次方程”以及“一元二次方程的根”的概念。將方程的解直接代入原方程，求得m的值。需要特別注意的是，該方程的身份是“一元二次方程”，意味著二次項(xiàng)系數(shù)不為0，還需對求得的值進(jìn)行取舍。對于隱藏的條件，同學(xué)們需要格外留意。

三、強(qiáng)化基本關(guān)系的梳理

對于一元二次方程來說，“根與系數(shù)的關(guān)系”（即韋達(dá)定理）有著非常重要的地位。雖然現(xiàn)行教材將其列為“閱讀”材料，但由于它對同學(xué)們后續(xù)學(xué)習(xí)有著重要影響，因此，也成為中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，需要引起足夠重視。

例4（2021·江蘇南京）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2-3x+k=0的兩個根，且x1=2x2，則k=____。

【解析】方法一：根據(jù)題意，知x1+x2=3x2=3，則x2=1。

將其代入關(guān)于x的方程x2-3x+k=0，得12-3+k=0，解得k=2。

方法二：由韋達(dá)定理知，x1+x2=3，x1x2=k。

∴x1+x2=3x2=3，解得x2=1，

∴x1=2x2=2，∴k=x1x2=2。

【點(diǎn)評】由韋達(dá)定理可知“兩根之和”與“兩根之積”。方法一是求出一個根后直接代入原方程求得k，方法二是將韋達(dá)定理一用到底，此時的k就是兩根之積。

例5（2021·北京）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0。

（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若m＞0，且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值。

【解析】（1）∵a=1，b=-4m，c=3m2，

∴Δ=（-4m）2-4×1×3m2=4m2。

∵不論m取何值時，4m2≥0，即Δ≥0，

∴原方程總有兩個實(shí)數(shù)根。

（2）∵x2-4mx+3m2=0，

即（x-m）（x-3m）=0，∴x1=m，x2=3m。

∵m＞0，且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為2，∴3m-m=2，∴m=1。

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式、偶次方的非負(fù)性以及因式分解法解一元二次方程。第（1）問，對根的判別式的使用，我們只要通過計(jì)算，必要時借助配方法判斷正負(fù)性即可。第（2）問的要求較高，熟悉因式分解法方可快速解出一元二次方程的兩個根。此問還可借助“韋達(dá)定理”求解，留給同學(xué)們自己思考。