“矩陣理論”案例庫建設的探索與實踐

李 敏，嚴志國，紀 鵬，朱禮營，郭俊美

（齊魯工業大學(山東省科學院)信息與自動化學院 山東 濟南 250353）

控制工程專業研究生的培養目標是培養控制專業領域的高層次應用型專門人才，使他們具備堅實的基礎理論和寬廣的專業知識，有較強的解決實際問題的能力，能從事專業技術或管理工作的能力，擁有良好的職業素養等[1]。因此，控制工程專業學位研究生的課程教學內容強調課程的理論性與應用性的有機結合，尤其突出案例分析和實踐研究。

為了促進專業學位培養的高效性，輔助工科學科前沿領域解決基礎理論問題，加大研究生必修課程的應用實踐內容勢在必行。必修課程的案例庫建設可以提高研究生運用基礎理論知識進行應用研究的能力，拓寬研究生的專業視野，促進交叉學科的研究，提升研究生的應用創新能力。為推動控制專業研究生的培養模式改革，齊魯工業大學控制專業已經建設了一批案例庫，例如，智能控制系統與應用，智能電網控制技術，系統仿真，數字圖像處理與應用和工業系統故障診斷與預測等。自20世紀80年代以來，為了滿足各學科領域計算的需要，“矩陣理論”逐步成為高校控制、電子、電氣等工學類專業學位研究生的基礎理論課程之一。本文以控制工程專業“矩陣理論”案例庫的建設為例，進一步探究專業學位研究生的教育教學改革。

1 案例庫建設的國內外現狀

案例教學是以案例為基礎，通過呈現案例解決過程的現實情境，將基礎理論知識與實際問題緊密結合，引導學生發現、分析和解決實際問題，從而掌握理論、形成觀點、提高能力的一種教學方式[2]。故案例教學對解決專業學位教育的理論實踐結合問題具有重要意義。

19世紀70年代，美國哈佛法學院和哈佛醫學院依次開展案例教學法。20世紀20年代哈佛商學院也開始運用案例教學法。此工作奠定了哈佛商學院基于案例教學法進行商業教育的主要引領者地位。從20世紀40年代中期開始，哈佛大學的案例教學法對外界的影響不斷擴大。目前美國哈佛商學院雖然也采用課堂講授、模擬、實地調查或者其他教學形式，但80%以上的課程仍然采用案例法。其他國家大學的法學、醫學、工商管理教育等爭相效仿美國哈佛商學院的案例教學法。

我國專業學位教育引入案例教學法是在20世紀90年代。由于對案例教學法的認知不夠，案例教學法的推廣比較緩慢。我國研究生案例教學的整體水平還比較低，雖有一部分大學和研究所在某些專業已經施行案例教學，但缺乏公開的案例庫平臺，許多專業的課程案例庫還處于空白階段[3-5]。從哈佛商學院案例教學的發展歷程可以看出，案例庫建設是開展案例教學的前提。案例教學法已經成為教學方法改革的重要措施之一，與之相對應的案例庫建設也作為案例教學法的一個必要環節納入研究生課程建設的范疇。教育部關于加強專業學位研究生案例教學的意見指出“加強案例教學，是強化專業學位研究生實踐能力培養，推進教學改革，促進教學與實踐有機融合的重要途徑，是推動專業學位研究生培養模式改革的重要手段。”[1]

2 案例庫建設內容

控制工程專業研究生應掌握本學科的基礎理論，并能夠靈活運用其創造性地解決控制專業工程問題；把握本學科的前沿動態，在跟蹤本學科領域前沿的基礎上開展原創性的研究工作；掌握與數學方法、網絡與通信技術、計算機科學、圖像信息獲取與處理等相結合的跨學科領域的知識結構，開展新興交叉學科的研究。為此，“矩陣理論”案例庫采用三級建設方案。

矩陣理論可分為矩陣方程、矩陣范數、矩陣分解、矩陣函數和廣義逆矩陣等現代理論組成部分。“矩陣理論”案例庫所涉及的基礎理論應用主要分為三類：一是矩陣理論在各個專業學科領域的基礎應用；二是矩陣理論作為基礎工具課程在相關課程中的關鍵作用，特別是控制理論學科方向的應用案例，涉及的課程有“線性系統、隨機過程、最優化方法、最優控制、數字圖像處理與應用和機器人控制技術”等；三是交叉學科領域運用矩陣理論的復雜應用案例。所建設案例要具備完整性、可讀性和規范性。案例庫根據應用領域、適用場合和難度程度分為三個等級進行建設。

第一級案例庫舉例：重點突出矩陣理論在各個專業領域的基礎應用。①矩陣基本運算在圖像基本處理過程中的應用：圖像可以用矩陣描述，給出了矩陣加減法及矩陣轉置與圖像相加、圖像求反及圖像轉置之間的關系，并利用MATLAB對經典圖像進行實驗。②矩陣在電路分析中的應用：首先構造電網絡的關聯矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣，然后基于矩陣知識運用KVL和KCL定律分析電路，并求解復雜的電路問題。③矩陣在分析機器人運動學中的應用：引入齊次變換矩陣和旋轉矩陣在機器人位姿描述中的作用。④矩陣在計算機視覺中的應用：建立世界坐標系與相機坐標系的關系。⑤矩陣在幾何光學中的應用：將光學系統看成一個2×2的ABCD矩陣，導出光的反射和折射定律的線性系統矩陣形式。⑥矩陣在網頁排序中的作用：借助鄰接矩陣的非負特征向量求得反映網頁重要性的權重。

第二級案例庫：重點突出矩陣理論作為基礎工具課程在相關課程中的關鍵作用，特別是控制學科方向的專業課程。①向量、矩陣函數的導數和積分在研究線性時滯系統穩定性判定條件中的應用。②向量、矩陣函數的導數和積分在研究線性系統二次型性能指標的最優控制中的應用。③線性空間基的思想和初等變換等在研究線性規劃最優解的單純形算法中的應用。④矩陣的范數和無窮級數在研究離散系統的李雅普諾夫穩定性中的應用。⑤基于矩陣的哈密爾頓凱萊定理研究離散系統的李雅普諾夫方程的解的表達式。⑥基于矩陣運算研究連續系統的李雅普諾夫方程的解的表達式。⑦矩陣冪級數和約旦標準型在求解線性定常系統狀態解的過程中所起的作用。⑧非奇異變換不改變狀態空間模型的能控性，借助系統矩陣的相似矩陣形式—約旦標準型來判定線性系統的能控性。⑨以線性定常系統為研究對象，運用矩陣函數的相關知識和方法討論線性定常系統的穩定性。⑩以矩陣冪級數的收斂性判別系統矩陣的譜半徑大小，以粗略估計特征值的大小或者分布范圍，從而判定線性系統的穩定性。

第三級案例庫：重點突出交叉學科領域運用矩陣理論的復雜應用案例。①奇異值分解和矩陣范數在圖像降噪中的應用：將奇異值分解和能量最小法則聯系起來，在代數空間中建立了一種圖像降噪的自適應算法。②正交對角化和奇異值分解在圖像處理和統計學中的應用：運用主成分分析方法，針對衛星圖像問題分析多維數據，只需要一兩幅合成圖像就可以提供大部分信息的有效方法。③基于矩陣奇異值分解的人臉識別方法：提出一種矩陣的秩逼近法，基于矩陣奇異值分解得出人臉識別新方法。借助ORL人臉數據庫進行實驗，并使用最近鄰決策規則進行分類識別。④廣義逆矩陣方法在陶瓷坯料配方設計中的應用：將陶瓷坯料配方問題轉化為求解廣義逆矩陣的問題，通過求解廣義逆矩陣，得到陶瓷坯料的最佳配方。⑤在通信信號數據融合算法中的應用：鑒于試驗中針對微弱通信信號的檢測難度比較大的問題，基于矩陣理論提出一種通信信號數據的融合算法。⑥矩陣奇異值分解在分析配電網電壓諧波中的應用：基于矩陣的奇異值分解法，選擇靈敏度矩陣對角元素的最大值為有源電力濾波器的最優安裝方法。⑦在隨機過程隨馬爾可夫鏈中的應用：以預測某一固定地區美國國會選舉的投票結果為案例，馬爾科夫鏈可以預測遙遠的未來，初始狀態對馬爾科夫鏈的長期行為沒有影響。⑧在多輸入多輸出技術（MIMO）信道容量中的應用：建立MIMO無線信道模型，基于相關矩陣理論分析MIMO信道的相關性。利用奇異值分解計算MIMO信道容量。

3 案例庫建設的特色

①案例分級建設，難易結合，適應不同層次學生的需求。第一級案例庫考慮課上學生的接受能力，選擇一些典型的不需較深專業背景的應用案例，具有普遍的適用性；第二級案例庫考慮矩陣理論的計算工具功能，反映矩陣論在其他專業課程中的理論應用，主要以控制專業的相關必修課程為主；第三級案例庫具有一定的深度和廣度，案例資源從學科前沿研究領域中搜集整理，既有相關工科專業的應用背景案例，增加案例庫的普適性，也有深入地反映控制工程主要研究方向的應用案例。

②案例的教學策略有兩個。一是對于前兩級案例以課內應用教學為主，配合其他研究生課程的教學，部分精講，部分粗講；二是對第三級的經典案例采用專題形式進行課內精讀研究，與學生一起研究案例背景、問題的描述，分析矩陣理論在案例中的功能，總結矩陣理論作為工具在這個研究方向的價值；大部分第三級案例以課外拓展為主，另外由學生自主選擇部分案例以小組報告的形式錄制視頻，進行線下討論和交流。

③視頻案例庫的建設。課時是有限的，有些難度較大的案例很難在正常教學時進行交流和討論，另外案例庫的資源很豐富，也不可能一一在課內展示，所以建設在線視頻案例庫，供教師和學生在課下交流是非常有必要的。

④案例研究與教學研究并舉。案例庫的建設有助于提升研究生教育質量，但對于課程建設而言，僅有案例庫是遠遠不夠的。本項目把課程理論與案例實踐教學緊密結合，引導學生分析案例背景，運用概念、性質和定理結論解決工程背景問題。

⑤價值觀專業塑造。將思政教學融入典型教學案例，既有利于促進學生掌握知識，又有利于提高學生個體的思想品德和素養，同時還有利于研究生將來的專業科研工作，促進學生的智育、德育和科研能力的提高。

⑥案例庫資源涉及領域是多樣的。控制工程專業是為所有自動控制行業服務的，與各類工科應用領域相關。寬領域的案例庫增大了矩陣理論課程的信息量，促進了學科交叉，拓寬了學生的應用研究視野，啟迪了創新意識。

4 結語

案例教學不是簡單的例子教學，一個成功的案例教學離不開案例教學過程的合理設計[6]。在案例教學的過程中，首先明確案例的教學目標，其次針對案例情境設計科學的思考問題，再次啟發學生聯系案例情境所匹配的知識工具，逐步提供啟發性的分析路徑及邏輯，然后訓練學生知識情境化應用的過程，最終實現該案例教學的教學目標。

“矩陣理論”案例庫的建設團隊，既有控制工程專業各任課教師，又有各研究方向的碩士生導師。本案例庫經過建設和實踐階段之后，矩陣理論的思想方法有效傳遞給了后續控制工程專業領域的應用研究教學和學習，也有利于“矩陣理論”的案例教學與研究生培養目標有效結合。