數學畫：搭建抽象與直觀的橋梁
——小學第一學段數學課堂運用“數學畫”教學的實踐研究

陳曉瑾

(浙江省杭州錢塘新區觀瀾小學 浙江 杭州 310000)

1.緣起：一次“畫”圖，明理十分

筆者在一年級教學《20以內加減法》后，從作業檢測中發現，90%孩子掌握了加減法的計算方法，能快速準確地寫出答案，但《口算估算速算》中一道口算卻錯誤率極高，題目為“9+( )=13”。當時反饋的時候也沒靜下心來細想，只覺得是孩子們數感不好，對20以內加減法不熟練。幾天后對孩子們進行計算檢測，檢測結果整理列表，數據如下表所示：

檢測班級人數規定時間完成人數兩數直接相加減題目正確率連加連減或加減混合正確率類似9+( )=13正確率1013432100%91.18%67.81%1023534100%94.29%68.57%

為什么類似“9+( )=13”正確率這么低？是時間不夠？計算方法不熟練？還是……？回到課堂對該類型題目進行了認真分析講解，發現仍有幾位孩子云里霧里不知所云。了解原因，一男孩膽怯地問：“為什么用減法算？”一時間，我愣住了……剛剛反復講解了方法為什么還不明白？為了留給自己思考緩沖的時間，讓班上的孩子自由討論。一會聽到一男生說：“老師，我有好辦法！”只見他跑到黑板前，拿起粉筆一邊畫一邊講解：“左邊這個圓代表9，右邊這個圓多少不知道，但它們合起來是17，所以用減法”。那些云里霧里的孩子眼前一亮，豁然開朗，紛紛向他豎起大拇指：“明白了，你太厲害啦！”

教師再三講無效，學生一次“畫”明理。畫一畫，將枯燥抽象的算式化為直觀具體的動態思考過程，輕而易舉地理解為什么用“和減一個加數”的道理。

第一學段的學生，思維處于從具體形象向抽象過渡的階段，但仍以具體形象思維為主，他們在數學學習的過程中需要具體事物的支撐。如何讓他們親近數學，尋找這塊抽象與直觀的中間地帶？筆者在數學課堂引導學生畫“數學畫”，運用直觀之“形”表征抽象之“數”，借助“畫圖”，讓學生將抽象的數學概念顯現成自己可以接受和理解的形式，在畫“數學”中做到手腦并用、發展思維、形成技能，感悟數學思想。

2.篤行：“數學畫”的教學策略

2.1 運用“兩變”，理數學概念由復雜為簡單。數學概念是數學基礎知識的起點，是邏輯推理的依據。因此，數學概念教學是基礎知識和基本技能教學的核心，是學生學好數學的關鍵環節。但由于數學概念往往是一種思維語言，比較抽象，而第一學段學生的思維水平以具象為主，這就造成了概念學習成為數學學習的難點之一。而“數學畫”以其形象具體，簡單明了，能直觀形象地呈現學生思考過程，將抽象的數學知識轉換成自己可以接受理解的形式，便于學生理解概念，掌握概念的本質所在。

2.1.1 變“主題圖”為“數學畫”，由繁到簡。低段孩子識字量少，教材中安排了大量主題圖來幫助孩子理解知識，形成數學概念。但其圖畫的復雜或意思表述過程的隱澀，有些難以讓低段孩子清晰理解，不便于模仿與創作。如一年級上冊《加法》中，呈現了以下主題圖：

主題圖的設計，讓學生通過思維加工，直觀呈現動態過程，從而明白“把兩部分合在一起”就是加法。不過書本的圖畫比較復雜，學生難以操作。在此基礎上筆者設計以下引導：

師：你能創造出更簡單的圖畫表示加法嗎？

生1：有4個女孩站在草地上，一個小男孩看到了，也走到她們一起?，F在一共有4+1=5(人)。

生2：媽媽昨天買了4個蘋果，今天又買來2個?，F在一共有4+2=6(個)。

生3：有3位男生，2位女生，因為人太難畫了，所以我用○表示男生，△表示女生，一共有3+2=5(人)。

生4：人比較難畫，所以我就用數字圓圈3表示3個男生，圓圈2表示2個女生，這樣會畫得很快。

這些是孩子們從自己的角度，思考繪畫出的作品。從“數學畫”中不難發現：孩子們有了自己創作的符號(箭頭，圓圈)，作品也比原來簡單(由具體實物到符號)。在這由最初的模仿到自己的創造過程中，理解了“加法”概念，創作出一幅幅“數學畫”，展示了多種類型的加法。在創造的過程中理解了“加法”概念本質。

2.1.2 變“文字”為“數學畫”，由抽象到具體。教材中很多概念都是以純文字的形式出現，這種抽象的文字描述，不便于低年級學生理解，因為低年級學生理解、閱讀等能力都比較弱，把一個個單個文字串聯起來理解對他們來說太難了。但是如果借助“數學畫”，以形象直觀的形式呈現，能收到事半功倍的效果。例如《分數的初步認識》在二下教學中的設計，在初步感知“二分之一”這個分數的基礎上，筆者設計了讓學生通過畫一畫，創造出一個自己喜歡的分數。

自主探究：

(1)畫一畫，用你喜歡的方式把這個數表示出來？

(2)說一說，和同桌交流一下想法？

展示交流，

(1)有把1米長的線段平均分成4份，其中的一份就是四分之一米，有把一個圓圓的月餅平均分成8份，其中的一份就是八分之一個月餅，有把一個長方形蛋糕平均分成16份的，其中的一份就是十六分之一個蛋糕。

(2)再把創造出四分之一的幾幅不同作品展示在一起，再次討論“為什么這些作品都可以用四分之一來表示呢？”對照“數學畫”，學生各抒己見，總結出只要把1個物體平均分成4份，其中的1份就是四分之一。

教學從二分之一到幾分之一又聚焦到四分之一，通過畫一畫，觀察比較“數學畫”、經歷小組、集體交流等方式，使學生深刻理解分數作為“量”的含義。“數學畫”能將抽象的文字轉變為形象直觀的圖式，在低段數學概念課教學中起到舉足輕重的作用。

2.2 畫出過程，變計算法理由抽象為直觀。計算能力是《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出的十大核心概念之一，既是學生在小學階段必須掌握的一項基本技能，也是以后向更高層次學習的基礎。小學低年段更是提高計算能力的關鍵時期，培養一個孩子的計算能力不是“會算”就好，更重要的是引發孩子對“怎樣算？為什么這樣算？”等一系列問題的思考，這是由法則到算理的思考，理解算理算法是學生數學學習的重難點之一。利用“數學畫”可以將枯燥抽象的算式化為直觀具體的動態思考過程，在具體直觀形象中掌握算理。

2.2.1 畫一畫，知算法。所謂算法，指的就是計算方法，就是把復雜的思維過程進行簡單化，然后添加一些后天人為規定的固定操作步驟，即計算法則。文章前面所遇到的“9+( )=17”的題型，很多孩子不明白為什么是用減法計算，這時候我們只要借助“數學畫”就把方法直觀具體地呈現，讓學生輕而易舉地知道解決該類型問題要用減法計算。例如一年級教學《9加幾》一課教學中，筆者作了如下設計:

師：小朋友，9+4=？不借助小棒，你能用畫一畫的方式算出結果嗎？

生1：:左邊畫9根小棒，右邊畫4根，從9開始往后數4個數，結果是13。

生2：左邊畫9個○，右邊畫4個○，先從右邊4個○中拿一個○給左邊，湊成10個，10個再加右邊的3個，一共13個。

生3：我的方法更簡單，左邊寫9，右邊寫4，把4分成1和3，1給9湊成10，10再加3等于13。

低年級的孩子都喜愛畫畫，孩子們用自己的畫把9+4的計算方法一一展示出來，通過作品的交流進行了思維碰撞，在對比中總結出9加幾的計算方法。不斷激發孩子們的數學潛能。

2.2.2 畫一畫，明算理。算理指的就是在計算過程中存在的道理，即在計算過程中的思維方式，也即對問題的思考與分析。例如筆者在面批二年級下冊《有余數的除法》中的一道練習題時，出現了如下插曲：

師：某某同學，6道題目錯3題，好好訂正。

只見這位孩子皺著眉頭回到座位，幾秒鐘耳邊響起“老師，你批錯了，我是正確的”。我笑了笑，把這位孩子的作業放在展示臺上，讓其他小老師評一評。

出乎我的意料，全班五分之二的學生認為這樣寫是正確的，理由和上面同學一致。還有五分之三的孩子認為錯誤。雙方爭執不下。不知誰冒出一句“用數學畫來檢驗一下”。教室里瞬間鴉雀無聲。幾秒鐘，只聽到“啊，我明白了！的聲音”幾筆一畫就找到了原因，這是孩子們驗證的作品：

生1：我畫了9根小棒，1根圈起來為一份，正好圈了9份，沒有剩余，不可能是6份還余3根，因為余下的3根還可以分成3份。

生2：我畫了15個○，每2個○為一份圈起來，可以圈7次，還余下1個○，不是6余3，這余下的3個○里面還可以圈一份。

生3：我畫了21根小棒，拿來擺三角形，畫一個三角形要3根小棒，21根正好可以畫7個三角形。也沒有余數。因為余下的3根小棒正好可以畫一個三角形，所以是沒有剩余的?！?/p>

生4：我找到這幾道錯題的原因了，它們的余數>除數，我們學習的有余數除法中，應該余數<除數。

不需要老師多言語，從一幅幅直觀的“數學畫”中，解釋了有余數除法中余數必須要小于除數的算理?！盁o聲勝有聲”在這里得到了很好的詮釋。運用“數學畫”學生不僅能全身心地投入，還能結合生活實際查找錯誤的原因，將抽象的計算深入直觀形象地呈現，促進算法算理的掌握，促進思維的發展。

2.3 借助畫圖，求問題解決由枯燥為生動?！读x務教育數學課程標準(2011年)》提出的課程目標中，把解決問題作為重要的課程目標，在小學數學教材中，基本上每一單元后面都安排有解決問題，可見解決問題在小學數學學習中的重要性。解決問題一般都是以純文字呈現，比較枯燥乏味，低年級學生理解、閱讀、提取信息等能力都比較弱，因此借助畫圖，可以幫助學生把抽象問題形象直觀化，使他們能從圖中理解題意和分析數量關系，尋找到解決問題的突破口，提高解決問題的能力。更重要的是學生學會“數學地思考”，感受數學與生活之間的密切聯系,體驗成功的快樂。

2.3.1 善用“數學畫”，正確理解題意。低年級孩子由于識字量少，理解能力比較弱，光靠讀文字，理解不了題目的含義，這時候我們可以借助“數學畫”幫助理解題目的意思。例如在一年級下冊練習課上有這樣的兩道題：

小朋友排隊唱歌，小明的前面有9人，小明的后面有6人。一共有多少人？

小朋友排隊唱歌，從前往后數，小明是第9個，從后往前數，小明是第6個。一共有幾人？

先讓孩子們試著自己做一做，兩道題都做對的寥寥無幾。

師：那我們用“演一演”來幫助。

一群學生上來，根據題目的意思排好隊，然后，討論列式計算，并把列出的算式與小演員一一對應，理解算理。

師：還有什么好辦法幫助我們理解題目的意思？

生1：老師，我我覺得還可以用“畫一畫”的方法，這個方法比“演一演”簡單多了。

這一提醒，立刻激發了孩子們的探究欲望。學生展示的圖如下：

通過這樣的“數學畫”學生立即理解了兩道題目的含義以及它們之間的區別，第一題應該列式為：9+6+1=16，第二題列式為：9+6-1=14。并且知道小明排第9個說明他的前面有8個，后面有5個。這樣的數學問題如果讓學生憑空想象，恐怕很難，而通過畫圖，學生自己就能夠理解題意，明白其中的道理，從而列出算式，深刻體會到“數學畫”在解決問題中的作用。

2.3.2 妙用“數學畫”，準確表達想法。讓學生講述解題思路是高效學習的好方法。但是小學生受知識與能力所限，并不能很好地表達自己的想法，因此借助于“數學畫”表達自己的想法便成為一種行而有效的方法。例如二年級《角的初步認識》作業中的一道解決問題，筆者如下教學：

題目：把長方形剪去一個角，還剩幾個角?你是怎樣想的？

生1:3個。生2:4個。生3:5個

學生意見紛紛，都覺得自己的答案很有道理，但是無法用數學語言準確地表達自己的想法。

師：請大家把自己的想法畫在紙上。

在老師的引導下，學生在一筆一畫中輕松地找到了答案，學生的圖示集中如下：

生4：可以沿著邊對邊剪，這樣就剩下5個角。

生5：沿著邊對角剪，這樣剩下4個角。

生6：沿著角對角剪，剩下3個角。

學生借助圖說出自己的剪法，具體形象，思路清晰。

低段的學生有很強的表達愿望，很愿意表達自己的觀點和看法，但由于受詞匯積累少，語言比較單一等原因，經常會出現這樣的現象：學生知道自己是用什么思路解決，但是卻表達不清楚。在實踐中，老師能適當地引導學生借助“數學畫”進行表達，學生的講述往往會變得較為流暢、清晰。

2.3.3 巧用“數學畫”，精確分析數量關系。低段學生思維處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡時期。“畫圖”實際上是對現實中數學問題不斷形象的過程，它能夠摒除非數學因素而直觀呈現數量關系。在運用畫圖幫助分析的過程中，將文字轉化成直觀圖示，呈現出清晰數量關系。這一系列的畫圖與分析完整地搭建了從“形象”到“抽象”演變橋梁，使學生學會分析與思考，真正推動他們思維不斷提升。例如二年級的《鋸木頭》一課教學，筆者設計如下：

題目：爸爸把一根木頭鋸成了9段，每鋸一次要用7分鐘，爸爸鋸完這根木頭要用多少分鐘？

全班90%的學生都用了畫圖的方法，這是學生的作品：

生1：畫一個細細長長的長方形表示木頭，鋸一次木頭變成2段，所以鋸9段，只需要鋸8次就好。

生2：畫一條線段表示木頭，我也鋸8次就有9段了。

師：通過剛才的畫一畫，你們都有什么發現？

生4：：鋸的段數比鋸的次數要多1(鋸的段數=鋸的次數+1)。

生5：鋸的次數比段數少1(鋸的次數=鋸的段數-1)

純粹讀題對孩子們而言發現不了它們之間的數學關系，通過畫一畫，使問題中涉及的數量關系變得直觀，將思維外顯化，有助于學生快速找到解題方法。

3.結束語

德國數學家希爾伯特曾說過：“圖形可以幫助我們刻畫描述數學問題，圖形可以幫助我們找到解決數學問題的思路，圖形能幫助我們理解和記憶所得到的數學結果?！薄皵祵W畫”，抽象與直觀的中間地帶，我們要善于利用、合理引導，幫助學生形成良好的思維習慣，培養學生的幾何直觀能力，從而提高解決問題的能力，提升學生的數學素養。