例談高考復(fù)習(xí)中的函數(shù)圖象問(wèn)題

陸容花

函數(shù)的圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀(guān)性。而函數(shù)貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，所以能夠熟練解決關(guān)于函數(shù)圖象問(wèn)題顯得尤為重要。下面通過(guò)對(duì)在高考復(fù)習(xí)中遇到的相關(guān)題目提出幾點(diǎn)見(jiàn)解，希望能給廣大高中學(xué)生解決函數(shù)圖象問(wèn)題提供幫助，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、夯實(shí)基礎(chǔ)是關(guān)鍵

大部分學(xué)生對(duì)函數(shù)題望而卻步，看到函數(shù)圖象更加無(wú)所適從，其實(shí)最重要的一個(gè)原因是基礎(chǔ)不牢固。所以要想解決這個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵還是要夯實(shí)基礎(chǔ)，對(duì)常用的幾種初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)熟練掌握。除了初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)與二次函數(shù)外，在新高考的數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)，還包含了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)。所以學(xué)生在高一學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候一定要打好基礎(chǔ)，對(duì)于上述提到的幾種基本初等函數(shù)的圖象會(huì)熟練準(zhǔn)確地畫(huà)出來(lái)，才能在高三復(fù)習(xí)的時(shí)候靈活運(yùn)用。

例1.已知函數(shù)f（x）=ax-4+1（a>0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，若定點(diǎn)P在冪函數(shù)g（x）的圖象上，則冪函數(shù)g（x）的圖象是（? ? ）

【分析】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題。先確定P點(diǎn)，再求冪函數(shù)解析式，最后確定選項(xiàng)A.

二、靈活應(yīng)用是保障

1.圖象的識(shí)別

函數(shù)中圖象的識(shí)別是當(dāng)前高考的熱點(diǎn)，一般是給出函數(shù)的解析式，然后從選項(xiàng)中選出哪個(gè)圖象符合給出的解析式。這種題方法比較靈活，對(duì)學(xué)生的解題能力要求比較高。但是如果掌握了方法，其實(shí)也不難。

例2.函數(shù)f（x）=log2|2x-1|的圖象大致是（? ? ?）

【分析】將函數(shù)y=f（x）表示為分段函數(shù)，判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與該函數(shù)在（-∞，0）上的函數(shù)值符號(hào)，利用排除法可得出正確選項(xiàng)。

例3.函數(shù)f（x）=? ? ? ? ? ?的圖象大致為（? ? ）

【分析】確定奇偶性，再利用函數(shù)值的正負(fù)，與變化趨勢(shì)，排除三個(gè)選項(xiàng)，得出正確答案B。

方法總結(jié)：識(shí)別函數(shù)圖象問(wèn)題時(shí)首先關(guān)注定義域，然后從以下幾個(gè)方面去研究函數(shù)圖象：

（1）從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值;（2）從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性;（3）從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性。（4）從函數(shù)的特殊點(diǎn)，代入驗(yàn)證數(shù)值。

一般利用以上幾個(gè)方面，再根據(jù)排除法，則很容易選出正確選項(xiàng)。

2.畫(huà)出具體函數(shù)的圖象

在解決有些函數(shù)的題目中，需要作出根據(jù)題目給出的函數(shù)的圖象，主要是利用基本初等函數(shù)圖象或函數(shù)圖象變換作出所需圖象，然后根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)生除了對(duì)基本初等函數(shù)的圖象要熟悉外，還要掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律如左右平移，上下平移，對(duì)稱(chēng)變換，翻折變換等等。

|x|+2，x<2

例4.已知函數(shù)f（x）=

2x2-12x+19，x≥2，

若方程f（x）-a=0的實(shí)根之和為6，則a的取值范圍為（? ? ）

A.（1，3]? ? ? B.[1，3] C.（1，4] ? ? D.（3，4）

【分析】作出f（x）圖象，求方程f（x）-a=0的實(shí)根之和為6，即求y=f（x）與y=a圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6，分別討論a=1、1<a<2、a=2、2<a≤3、3<a<4和a=4時(shí)y=a圖象與y=f（x）圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

【詳解】作出f（x）圖象，如圖所示

求方程f（x）-a=0的實(shí)根之和為6，即求y=f（x）與y=a圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為6，當(dāng)a=1時(shí)，y=a圖象與y=f（x）圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（3，1），不滿(mǎn)足題意;當(dāng)1<a<2時(shí)，y=a圖象與y=f（x）圖象有2個(gè)交點(diǎn)，且從左至右設(shè)為x1，x2，由圖象可得x1，x2關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，所以

=3，即x1+x2=6，滿(mǎn)足題意;當(dāng)a=2時(shí)，y=a圖象與y=f（x）圖象有3個(gè)交點(diǎn)，且（0，2）為最左側(cè)交點(diǎn)，設(shè)y=a與y=f（x）圖象另外兩個(gè)交點(diǎn)為x1，x2，由圖象可得x1，x2關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，所以? ? ? ?=3，即x1+x2=6，滿(mǎn)足題意;當(dāng)2<a≤3時(shí)，y=a圖象與y=f（x）圖象有4個(gè)交點(diǎn)，從左至右設(shè)為x1，x2，x3，x4，由圖象可得x1，x2關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，所以x1+x2=0，x3，x4關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，所以? ? ? ? ?=3，即x3+x4=6，滿(mǎn)足題意;當(dāng)3<a<4時(shí)，y=a圖象與y=f（x）有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿(mǎn)足題意;當(dāng)a=4時(shí)，y=a圖象與y=f（x）有2個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得不滿(mǎn)足題意.綜上：a的取值范圍為1<a≤3.故選A。

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)圖象的作法，并靈活應(yīng)用，處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合求解，即可得答案。

3.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題作函數(shù)圖象

有些函數(shù)的題目會(huì)給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，然后讓我們根據(jù)實(shí)際問(wèn)題作出相應(yīng)的圖象。要解決這種題，學(xué)生需要有一定的函數(shù)基礎(chǔ)，其次，一定要認(rèn)真審題，根據(jù)題意作出或選出正確的圖象。

例5.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從A點(diǎn)出發(fā)，沿花壇外側(cè)的小路順時(shí)針?lè)较騽蛩僮吡艘蝗Γ肪€(xiàn)為AB→BO→OA），則小明到點(diǎn)O的直線(xiàn)距離y與他從A點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)圖象大致是（? ? ）

【分析】根據(jù)距離隨與時(shí)間的增長(zhǎng)的變化增減情況即可判定。

【詳解】小明沿AB走時(shí)，與O點(diǎn)的直線(xiàn)距離保持不變，沿BO走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)O的距離越來(lái)越小，沿OA走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)O的距離越來(lái)越大.故選：D.

4.圖象的應(yīng)用

圖象的應(yīng)用主要是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)對(duì)圖形的分析和相關(guān)的運(yùn)算，得出正確的結(jié)論。

例6.（多選題）f（x）是定義在區(qū)間[-c，c]上的奇函數(shù)，其圖像如圖所示。令g（x）=af（x）+b，則下列關(guān)于函數(shù)g（x）的敘述正確的是（? ? ）

A.若a<0，則g（x）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

B.若a=-1，-2<b<0，則方程g（x）=0有大于2的實(shí)根

C.若a≠0，b=2，則方程g（x）=0有兩個(gè)實(shí)根

D.若a≥1，-2<b<2，則方程g（x）=0有三個(gè)實(shí)根

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像及函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，對(duì)選項(xiàng)一一分析即可得到答案BD.

5.根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式

根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式的方法也是從特殊值，從圖象的對(duì)稱(chēng)性選擇函數(shù)的奇偶性，圖象的趨勢(shì)等幾方面去判斷選擇。

例7.已知某函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則下列函數(shù)中最合適的函數(shù)是（? ? ）

A.f（x）=sin（ex+e-x）

B.f（x）=sin（ex-e-x）

C.f（x）=cos（ex-e-x） D.f（x）=cos（ex+e-x）

【分析】根據(jù)特殊值排除A、C，再根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性判斷函數(shù)的奇偶性即可排除B;故選D.

總之，想要更好地解決函數(shù)的圖象的問(wèn)題，不僅要熟悉基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還要懂得圖象的變換，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。面對(duì)函數(shù)的圖象問(wèn)題，我們要會(huì)畫(huà)圖，會(huì)識(shí)別圖象，綜合應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，就能比較容易準(zhǔn)確地解決。

（責(zé)任編輯：張曉東）

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