金融數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程線上線下混合式教學(xué)模式探索

謝富生 李克典

（上海師范大學(xué)天華學(xué)院 上海 201815）

0 引言

“數(shù)學(xué)分析”課程是金融數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課，在金融數(shù)學(xué)專業(yè)的人才培養(yǎng)過程中具有舉足輕重的作用。通過“數(shù)學(xué)分析”課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析經(jīng)濟(jì)、金融問題及解決經(jīng)濟(jì)、金融問題的思想和方法，為學(xué)習(xí)后繼課程提供必要的基礎(chǔ)知識、基本技能及思想方法。

2019年10月，教育部正式發(fā)布關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見，目標(biāo)經(jīng)過三年左右時間，建成萬門左右國家級和萬門左右省級一流本科課程（“雙萬計劃”），其中線上線下混合式課程6000門左右。近年來，圍繞“雙萬計劃”網(wǎng)絡(luò)課程平臺的大量涌現(xiàn)，混合式教學(xué)模式越來越得到各級教育部門和高校的高度重視，教學(xué)效果明顯，也越來越受到師生的普遍歡迎。混合式教學(xué)模式是傳統(tǒng)線下教育的一種優(yōu)化，通過利用豐富的互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)資源，將線上自主學(xué)習(xí)與線下實(shí)體教學(xué)有機(jī)結(jié)合。目前，基于學(xué)生的異質(zhì)性來探討數(shù)學(xué)分析混合式教學(xué)較多，但基于專業(yè)銜接視角探討數(shù)學(xué)分析混合式教學(xué)是空缺的，本文結(jié)合了以上兩方面的分析，以金融數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)為基礎(chǔ)，優(yōu)化運(yùn)用線上線下兩個課堂，以學(xué)生為中心，探索具有創(chuàng)新性、高階性和挑戰(zhàn)度的數(shù)學(xué)分析線上線下混合式精品課程建設(shè)。在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代背景的大力推進(jìn)下，針對當(dāng)前金融數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課堂進(jìn)行“線上+線下”核心教學(xué)體系的優(yōu)化升級，發(fā)揮線上和線下兩種教學(xué)的優(yōu)勢，拓展教與學(xué)的時間和空間，關(guān)注學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)和多樣化發(fā)展，為金融數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)分析在金融數(shù)學(xué)專業(yè)的作用

1.1 奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)分析課程的主要任務(wù)是讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高分析問題和解決問題的能力。數(shù)學(xué)分析課程是金融數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其內(nèi)容包括極限論，一元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)微積分學(xué)與無窮級數(shù)等。數(shù)學(xué)分析中極限、導(dǎo)數(shù)、積分運(yùn)算以及連續(xù)性和級數(shù)等問題的解決方法，可以直接用來處理經(jīng)濟(jì)、金融中的邊際分析、消費(fèi)者或生產(chǎn)者選擇、一般均衡、金融計算與投資等問題。數(shù)學(xué)分析課程也是該專業(yè)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)實(shí)驗、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、微分方程、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)模型與實(shí)驗、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、投資學(xué)、金融衍生品定價、金融計量學(xué)、數(shù)據(jù)分析、時間序列分析、機(jī)器學(xué)習(xí)等后繼課程的階梯。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)分析的基本概念，掌握必要的論證方法和演算技能。

1.2 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識。包括數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、歸納推理思想、整體思想、化歸思想、類比思想、極限思想、建模思想、函數(shù)方程思想等。數(shù)學(xué)思想方法在課程學(xué)習(xí)及科學(xué)研究中都具有非常重要的作用，具體體現(xiàn)在：一是提供數(shù)量分析及計算的方法；二是提供簡潔精確的形式化語言；三是提供邏輯推理的工具。[1]數(shù)學(xué)分析教學(xué)的目的不僅要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識與技能，更要注重提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想素養(yǎng)。蘇芳和覃學(xué)文（2012）[2]探究了數(shù)學(xué)分析課程中的化歸與轉(zhuǎn)化思想。譚偉明、李連芬和蘇芳（2009）[3]從數(shù)學(xué)分析課程中的概念、問題解決、命題教學(xué)等教學(xué)環(huán)節(jié)探討蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)分析教學(xué)有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)思想在形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識轉(zhuǎn)化為能力中發(fā)揮紐帶和橋梁作用。

2 數(shù)學(xué)分析課程與高中課程銜接

2.1 教學(xué)內(nèi)容的銜接

數(shù)學(xué)分析課程是用極限的方法研究實(shí)變量的函數(shù)，這與高中課程學(xué)習(xí)的內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，大學(xué)一年級學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析課程與高中課程內(nèi)容有效銜接是一個意義的研究課題。龔小兵（2015）[4]認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教學(xué)銜接困難源于中國教育模式轉(zhuǎn)型。高校《數(shù)學(xué)分析》教材按照蘇聯(lián)教育模式編寫，強(qiáng)調(diào)知識的系統(tǒng)性；基礎(chǔ)教育教材按照歐美教育模式編寫，強(qiáng)調(diào)知識的發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用過程，不再強(qiáng)調(diào)知識的系統(tǒng)性，而是強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的循序漸進(jìn)性及有用性。這兩者之間不一致性導(dǎo)致知識脫節(jié)和重復(fù)問題。 在呂琳琳（2019）[5]對知識點(diǎn)銜接問題現(xiàn)狀進(jìn)行了歸納整理的基礎(chǔ)上，認(rèn)為知識點(diǎn)銜接問題主要表現(xiàn)在：一是三角函數(shù)知識點(diǎn)銜接，缺少余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)定義、性質(zhì)及圖像內(nèi)容。但在數(shù)學(xué)分析課程中卻直接出現(xiàn)了這三個三角函數(shù)的極限、微分和積分等運(yùn)算，給學(xué)生學(xué)習(xí)后面知識造成了障礙。二是反三角函數(shù)知識點(diǎn)銜接，反函數(shù)概念在高中數(shù)學(xué)教材中僅有提到，數(shù)學(xué)分析教材中介紹了反函數(shù)的概念，但太過簡單粗略，學(xué)生未能很好的理解與消化，對反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系理解一知半解。由于學(xué)生反函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的缺失，數(shù)學(xué)分析中涉及的反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)等性質(zhì)講述較少，基本上就是以比較生硬的方式塞給學(xué)生。而在后續(xù)課程學(xué)習(xí)中，與這四個反三角函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容又占據(jù)了不少篇幅。三是極限概念、導(dǎo)數(shù)定義及相關(guān)知識點(diǎn)銜接。高中已簡略介紹了極限與導(dǎo)數(shù)，但對于其概念是描述性的，并未用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言闡述，大學(xué)里將極限與導(dǎo)數(shù)重新學(xué)習(xí)，學(xué)生總認(rèn)為自己已學(xué)習(xí)過，學(xué)習(xí)態(tài)度及重視度不夠，導(dǎo)致對其理解不夠，學(xué)習(xí)效果不理想。四是極坐標(biāo)的相關(guān)知識點(diǎn)銜接。在新課標(biāo)下，高中數(shù)學(xué)已刪除極坐標(biāo)內(nèi)容，數(shù)學(xué)分析中平面圖形面積的計算、二重積分的計算等都與極坐標(biāo)有關(guān)。

由于大學(xué)學(xué)生來自全國的不同省市，高中數(shù)學(xué)教材有差異，高考對知識要求有些地方不一致。同時金融數(shù)學(xué)專業(yè)在高考招生中的專業(yè)是文理兼收，而文科與理科在知識的深度與要求也存在較大差異，進(jìn)一步加大了教學(xué)內(nèi)容的銜接的難度。

2.2 學(xué)習(xí)方式的銜接

進(jìn)入大學(xué)，由于生活學(xué)習(xí)環(huán)境的改變，學(xué)生學(xué)習(xí)方式的銜接有待調(diào)整。由于高考選拔機(jī)制的存在，高中授課方式多以知識灌輸形式，學(xué)生習(xí)慣被動接受教師傳授知識，無形中消磨了學(xué)生求知欲望與探索精神。其表現(xiàn)在通過重復(fù)訓(xùn)練，題海戰(zhàn)術(shù)對知識進(jìn)行鞏固，很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。并且學(xué)習(xí)一直在教師和家長的監(jiān)督下進(jìn)行，自我管理意識完全被家長和老師的監(jiān)督管理所取代。而一旦進(jìn)了大學(xué)，生活方式自理、學(xué)習(xí)方式自主，家長的放手與遠(yuǎn)離，教師也不再像高中老師那樣盯著學(xué)生學(xué)習(xí)，基本上只有上課時才能與老師接觸，除了課堂練習(xí)和少量課后練習(xí)外，更多的是需要學(xué)生課前的預(yù)習(xí)與課后的鞏固、深化。這需要學(xué)生能夠進(jìn)行自我管理、自我監(jiān)督和自我學(xué)習(xí)，很多學(xué)生十分不適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，如果不能及時進(jìn)行學(xué)習(xí)方式的調(diào)整，跟上節(jié)奏，一旦數(shù)學(xué)分析課程落下，由于知識銜接緊湊，想要補(bǔ)上就比較困難。[6][7]

3 數(shù)學(xué)分析課程與專業(yè)學(xué)習(xí)的銜接

數(shù)學(xué)分析是金融數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課，它是后續(xù)課程學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，與專業(yè)學(xué)習(xí)有效的銜接是非常必要的，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力和熱情。數(shù)學(xué)分析教學(xué)質(zhì)量的好壞直接影響到學(xué)生在概率統(tǒng)計、經(jīng)濟(jì)學(xué)、資產(chǎn)定價等后續(xù)經(jīng)濟(jì)理論課程的學(xué)習(xí)進(jìn)度和掌握程度。數(shù)學(xué)分析課程中的基本理論和基本技能、思想方法為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程和解決具體問題提供了思維的方法與工具。其系統(tǒng)嚴(yán)密的論證方法也對學(xué)習(xí)理論知識及解決經(jīng)濟(jì)金融問題具有借鑒意義。數(shù)學(xué)對于經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)來說，是一個透過現(xiàn)象看本質(zhì)的必不可少的工具。只有結(jié)合數(shù)學(xué)方法進(jìn)行數(shù)理分析，才能更好地探究隱藏在表象下的深層次經(jīng)濟(jì)學(xué)規(guī)律。所以，我們在教學(xué)過程中，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)情境、啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生知其然、更知所以然，認(rèn)識到有用的價值且做到運(yùn)用自如，從而激發(fā)學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)效果。

數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中融入現(xiàn)實(shí)生活中與金融經(jīng)濟(jì)有關(guān)實(shí)例，既可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，又能夠使學(xué)生明確金融與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的聯(lián)系，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生建立金融數(shù)學(xué)模型的思維方式。如在第二重要極限公式教學(xué)中，可以結(jié)合生活中的案例引入，假如你獲得國家獎學(xué)金8000元，按以下方式進(jìn)行投資（年利率為a），請計算本金與利息收入總和。（1）按年計算利息，現(xiàn)在存起來，試計算一年之后本利和多少？（2）利息按月結(jié)算，本利和是多少？（3）利息按天結(jié)算，本利和是多少？（4）當(dāng)利息結(jié)算次數(shù)趨于無限大，本利和是多少？然后引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行歸結(jié)為連續(xù)的復(fù)利問題，進(jìn)而讓學(xué)生了解資金的時間價值和利息理論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)分析課程對后續(xù)專業(yè)課的服務(wù)功能。

學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分的內(nèi)容時，可以加入邊際函數(shù)的實(shí)例講解，例如邊際成本、邊際收益，邊際利潤和邊際效用等。為加深對邊際效用遞減的理解，早上饑餓的人吃包子是很好的例子，第一個包子比第二個包子帶來更多的滿足感。在導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上引入彈性概念，并結(jié)合相關(guān)例子進(jìn)行彈性分析，彈性分析中應(yīng)強(qiáng)調(diào)其經(jīng)濟(jì)含義。

學(xué)習(xí)了定積分，可以利用定積分求總量函數(shù)問題。一般情況是已知邊際成本、邊際收益，邊際利潤函數(shù)，求總成本、總收益、總利潤。還有經(jīng)濟(jì)學(xué)中利用定積分求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余，金融學(xué)中利用定積分計算資本現(xiàn)值和投資問題。在課程講授中可以配以一定例題及練習(xí)題，并給予一定的課外閱讀材料，既可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣也能夠提高教學(xué)效果。

在學(xué)習(xí)泰勒級數(shù)后，可以將債券定價作為例子引入到數(shù)學(xué)分析的課程中。學(xué)習(xí)拉格朗日乘數(shù)后，可以用消費(fèi)決策為例，例如：消費(fèi)兩種產(chǎn)品，其效用函數(shù)為凹函數(shù)，假定兩者產(chǎn)品的價格給定，收入給定，問如何選擇兩種產(chǎn)品使效用最大化？

做好數(shù)學(xué)分析課程與專業(yè)學(xué)習(xí)的銜接，創(chuàng)設(shè)一個應(yīng)用環(huán)境，讓學(xué)生了解到知識的有用性，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，提升教學(xué)質(zhì)量。

4 數(shù)學(xué)分析線上線下混合式教學(xué)

現(xiàn)階段如何克服數(shù)學(xué)分析課程與高中課程銜接問題？怎樣將數(shù)學(xué)分析課程與專業(yè)學(xué)習(xí)的更好地銜接？如何解決內(nèi)容多、學(xué)時少問題？線上教學(xué)優(yōu)勢與線下傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢有機(jī)結(jié)合的混合式教學(xué)模式，由于其包容性和拓展性，將是一個很好的解決方案。混合式教學(xué)模式充分承認(rèn)個體在學(xué)生基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)速度的差異性，注重教學(xué)的異步性，使得個性化教學(xué)成為可能。[8]同時利用互聯(lián)網(wǎng)豐富的現(xiàn)有教學(xué)資源，進(jìn)一步拓展數(shù)學(xué)分析知識在經(jīng)濟(jì)、金融的應(yīng)用，以此拓展課堂形式，營造沉浸式學(xué)習(xí)氛圍，從而收到數(shù)學(xué)分析內(nèi)容與應(yīng)用相呼應(yīng)的良好效果。

依據(jù)“數(shù)學(xué)分析”課程的特點(diǎn)，采取線下課堂教學(xué)為主，線上網(wǎng)絡(luò)教學(xué)為輔的基本思路。線下課堂教學(xué)著重講解基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能，線上網(wǎng)絡(luò)教學(xué)做好數(shù)學(xué)分析課程與高中課程及專業(yè)學(xué)習(xí)的銜接。具體可歸納為“課前補(bǔ)齊知識，課中講授主題，課后拓展專業(yè)”。

4.1 課前補(bǔ)齊知識

課前網(wǎng)上教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)齊知識，做好預(yù)習(xí)。孫露和方輝平（2016）[9]基于翻轉(zhuǎn)課堂的視角探討了混合式教學(xué)在銜接重疊內(nèi)容教學(xué)中的必要性。由于教改與歷史原因，數(shù)學(xué)分析課程與高中課程銜接出現(xiàn)不少問題，例如內(nèi)容銜接不上，同時由于招生中學(xué)生來自五湖四海，文理兼招等原因，致使銜接問題更加嚴(yán)重。但由于大學(xué)課程課內(nèi)課時有限，無法在課堂上補(bǔ)齊大學(xué)所需知識，線上網(wǎng)絡(luò)教學(xué)就成了很好的補(bǔ)充。可以利用網(wǎng)絡(luò)視頻資源、教師錄制視頻講解相關(guān)知識，學(xué)生也可以依據(jù)各自需求，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。與此同時，選定線上數(shù)學(xué)分析優(yōu)質(zhì)課程（如中國大學(xué)MOOC平臺課程），結(jié)合數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)內(nèi)容，課前網(wǎng)上教學(xué)安排相關(guān)預(yù)習(xí)，采取學(xué)習(xí)任務(wù)單確定課前學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)要求，指導(dǎo)學(xué)生課前線上學(xué)習(xí)，教師做好網(wǎng)絡(luò)監(jiān)控及檢查學(xué)生線上學(xué)預(yù)習(xí)完成情況。

4.2 課中講授主題

線下的課堂講授應(yīng)突出主題，提高授課效率。課中講授要基于課前知識補(bǔ)齊及預(yù)習(xí)情況展開，由于學(xué)生已經(jīng)具備了一定的知識基礎(chǔ)，教師引圍繞課程主題進(jìn)行，合理設(shè)計課程教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容，針對性的講解核心概念、主要方法。課程以研討式教學(xué)為主，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，交流線上學(xué)習(xí)遇到的問題，幫助學(xué)生梳理知識點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生歸納課程中用到的基本思想方法。借助多媒體教學(xué)技術(shù)，創(chuàng)設(shè)有趣的教學(xué)情境，闡明課程講解內(nèi)容核心思想的重要起源以及內(nèi)容在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的主要應(yīng)用場景。例如導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的作用，無窮級數(shù)在計算銀行復(fù)利存款及債券定價的應(yīng)用原理等。積極引導(dǎo)學(xué)生主動提出問題，討論問題和解決問題，形成良好的師生互動，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，提高課堂教學(xué)效率。

4.3 課后拓展專業(yè)

針對數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)，通過線下作業(yè)進(jìn)行學(xué)習(xí)鞏固，對教師課堂內(nèi)容進(jìn)行必要的框架性提煉，達(dá)到復(fù)習(xí)、總結(jié)、提升目的。課后網(wǎng)上教學(xué)還應(yīng)將課程內(nèi)容與專業(yè)應(yīng)用相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。數(shù)學(xué)分析混合式教學(xué)能夠充分貼近專業(yè)需求，積極創(chuàng)設(shè)典型、案例化的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滿足專業(yè)學(xué)習(xí)需求。因課時原因，數(shù)學(xué)分析課堂內(nèi)容的應(yīng)用無法全部在課堂上進(jìn)行講授，而且由于部分專業(yè)課程還未開設(shè)，其應(yīng)用環(huán)境需要用到專業(yè)的經(jīng)濟(jì)或金融術(shù)語，并不是每個學(xué)生都有興趣，或者可以做到無障礙的學(xué)習(xí)，可以將相關(guān)的應(yīng)用素材放到線上，能更好地滿足學(xué)生個性化學(xué)習(xí)需要，按照個人優(yōu)勢與偏好選擇合適的學(xué)習(xí)內(nèi)容和節(jié)奏進(jìn)度。網(wǎng)上資源建設(shè)，力求保證每個知識點(diǎn)都配備相應(yīng)教學(xué)微視頻和微課件，建立完善的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)系統(tǒng)的練習(xí)題庫和在線測試題庫，用來查缺補(bǔ)漏，鞏固課堂所學(xué)。當(dāng)學(xué)生完成在線作業(yè)與測試后，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)能自動給出正確答案和具體解析。同時老師可以要通過網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計分析學(xué)生短、中、長期的學(xué)習(xí)情況，以便給學(xué)生提供合理的學(xué)習(xí)建議，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。

5 小結(jié)

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，教育模式改革也勢在必行。混合式教學(xué)作為教學(xué)模式創(chuàng)新的新趨勢，它能夠持續(xù)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，完善教學(xué)設(shè)計，提高教學(xué)質(zhì)量。本文基于學(xué)習(xí)金融數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程的意義，在分析了數(shù)學(xué)分析課程的前后銜接問題的基礎(chǔ)上，采用混合式教學(xué)模式能夠很好地解決以上問題。通過以上分析我們知道，可以將混合式教學(xué)模式直接遷移到經(jīng)管類專業(yè)微積分的教學(xué)中。只需做好相應(yīng)專業(yè)銜接，也可將其推廣到高等數(shù)學(xué)等課程的教學(xué)中。