問題情境驅動下的高中數學建模教學研究與實踐

■廣東省五華縣教師發展中心 宋淮南

《普通高中數學課程標準（2017版》中，必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。將數學文化融入課程內容，其中，數學建模活動是重點之一，也是學生掌握數學學科核心素養的關鍵所在。

數學建模是一種具體解決問題的思路與方法，是學生創新思維能力培養的重點。知識經濟時代，社會對人才提出了更高的要求，因此高中數學教學也要及時做出改變，將建模教學作為數學教學的重點，讓學生建立起建模思想，解決具體問題。思維的起點是問題，問題的解決關鍵在于提出問題，在高中數學教學實踐中教師要通過問題情境的創設，引導學生發現問題、解決問題，提升學生對“建模”的興趣，為其可持續發展奠定堅實的基礎。

一、問題情境驅動下的高中數學建模教學價值

高中數學建模教學實踐中，問題情境驅動的應用具有價值，主要表現為以下幾點：1.培養學生創新意識與能力。問題情境驅動下的高中數學建模教學，能培養學生發現問題與解決問題的能力，加強學生創新思維與能力的培養，充分激發學生的學習興趣；2.彌補傳統教學的不足。問題情境驅動教學法在高中數學建模教學中的應用，能轉變傳統的教學模式，讓學生在解決問題過程中發現問題，提升實踐動手能力。相比于傳統教學模式，更注重學生的思維過程，讓學生在實踐中解決問題；3.落實素質教育的基本要求。高中數學教育過程中，要以培養全能型人才為出發點，加強學生實踐能力、創新能力等綜合能力的培養，確保學生的可持續發展。

二、問題情境驅動下的高中數學建模教學設計的基本原則

（一）保持民主

創設民主和諧的課堂氛圍，能確保問題情境創設的重要性與價值，讓學生在良好的環境中發現問題與解決問題。學生在民主課堂下敢于質疑，主動思考，在主動提問下，通過教師的合理引導有效解決問題，提升自身對數學建模學習的興趣。

（二）符合學生實際

教師在創設問題情境期間，一定要符合學生的實際情況，從實際出發，能夠與學生興趣、生活經驗等緊密相連，創設貼合學生實際情況的問題情境。問題情境能有效吸引學生的注意力，并能讓學生主動投入問題的解決中。

（三）具有探究性

好的問題情境能激發學生的探究欲，啟迪思維，對學生的思維能力進行有效培養。所以，在高中建模教學實踐中，問題情境的創設要具有探究性，讓學生通過已經掌握的知識及技巧的運用，有效解決問題，同時在問題的延展下，讓其得到思考與探究的空間，主動探究與思考，展現思維過程。

（四）具備開放性

相比于傳統教學模式，新時期高中數學教學需更加開放與自由，要能通過問題情境的有效創設，在數學建模教學實踐中通過開放性問題的設置，激發學生的創造性思維，確保學生的可持續發展。

三、問題情境驅動下的高中數學建模教學的實踐策略

（一）合理設計問題情境

教師要合理設計問題情境，在教學實踐中讓學生有效解決問題。在培養學生創新思維能力過程中，問題情境的創設十分重要，能有效吸引學生注意力，激發學生探究與求知欲。問題情境要貼合學生實際情況，讓學生能主動投入教學實踐中，體驗數學建模的樂趣，通過探究最終解決問題。問題情境要以生活中的常見情形為背景，這樣可以快速吸引學生，讓學生投入問題情境中。這樣，學生在學習建模相關知識的過程中，可以通過建模步驟的掌握與實踐，走進數學建模世界。教師還要利用數學建模思想，使學生能有效理解數學定理、公式等內容，能對實際問題進行深入認識與理解。

以“均值不等式定理”為例，教師在具體講授時就可以設計這類問題：超市開展降價活動，分兩次進行，降價方案有三種：第一種，第一次打m折銷售，第二次打n折銷售；第二種，第一次打n折銷售，第二次打m折銷售；第三種，兩次均打折銷售，請大家思考哪種方案降價最多。結合現有知識經驗討論之后，學生可以提煉出該題目的問題就是：比較ab與(a+b)的大小。而這樣的設計，能夠讓原本抽象、復雜的知識以更生動、形象的形式呈現出來。因此，不論是為了激活學生的學習熱情，還是拓展數學思維，都要重視問題情境的合理創設，為學生的學以致用奠定良好的基礎。

（二）組織開展數學建模興趣小組活動

高中數學教學的重要目的之一就是讓學生能利用所學知識解決生活中的問題，以此得到學以致用的目的。教師在數學建模教學實踐中，要積極拓寬學生的知識面，加強學生學習數學建模的興趣，并能通過小組任務發現問題與解決問題，在具體問題情境中通過小組合作解決問題。在小組合作過程中，教師要合理引導學生，讓學生能在民主合作學習中享受學習的快樂，體驗學習的樂趣。趣味數學的引入，要求教師給小組設置一些趣味性任務，讓小組主動探索。比如，小組可參觀工廠，了解工廠的成本、產量等相關內容及常識。通過了解可以為學生布置這樣的任務：某行業第二季度應聘前五的行業分別為計算機、機械、營銷、物流與貿易，招聘前五的行業分別為計算機、營銷、機械、建筑與化工，并給出相應的人數，然后讓學生分析行業的就業情況，在分析時使用應聘人數與招聘人數的比值大小進行衡量。通過貼近生活的趣味性任務與問題設置，讓學生能有效地投入趣味活動，并在小組合作下共同解決問題。

另外，通過強化學生實踐應用能力培養，也能從某一層面來幫助學生減輕學習負擔與壓力，將學生各方面學習潛能全面挖掘出來。通過聯系實際生活來進行多元化數學教學模式的構建，再恰當地提出一些問題，既有助于學生主觀能動性的激發，也能讓學生準確地把握模型特點、核心，為其建模能力、核心素養的進一步發展奠定良好的基礎。比如，可以為小組設計一道較為新穎的題目：有個窮人想要購買富人家的一塊土地，但是貪婪的富人想要敲詐窮人，因此為窮人出了一道難題，可以以一張公牛皮圍住的地方就是窮人可以購買的地方。聰明的窮人想了想便答應了，很快便圍出了一塊面積很大，且讓富人十分懊悔的土地，請大家思考窮人用了怎樣的方法？

這一問題的解析屬于幾何模型，涉及圖形周長、面積方面的知識。教師可以先讓學生以小組形式來進行思考和討論，交流該怎樣建模，在學生遇到困難時，可以提示學生，周長是固定的基礎上，面積最大的圖形是怎樣的是解析的關鍵。基于這一提示，各小組再討論便可以快速得出結論，周長相同的三角形中，面積最大的是正三角形，周長相等的四邊形當中，面積最大的是正方形，基于此可以明確周長相等的多邊形（n），正（n）邊形的面積最大，所以邊數（n）的不斷增大，正（n）邊形也越來越接近于圓形，因此，可以明確周長相等的面積中，圓的面積最大。而通過這一問題情境的創設，既有助于學生學習熱情的激發與保持，也能增加生生之間的互動交流，進一步拓展學生的數學思維，為學生數學建模能力的不斷提升帶來積極影響。且在小組討論解決中，教師也能確保每個學生都擁有參與、發言的機會，促進學生的共同進步，促進課堂教學有效性的顯著提升。

（三）從生活原型中構建模型

一部分學生認為常識就是數學，但實際上，數學是有方法與規律的，是對常識通過提煉與組織從而形成一定的法則。教師在數學教學實踐中，要合理引導，讓學生將“常識”提煉為“模型”，實現有效的建模過程。實際生活中蘊涵著大量的數學關系、數學模型等，教師在教學實踐中可以讓學生從人口增加值、追及問題、投資決策等實際問題中找到數量之間的關系。引導學生在生活原型中構建數學模型，提升學生發現問題、解決問題的能力，確保學生能提升數學應用意識與能力，并能提升建模能力。針對學生實際情況，教師可以布置這樣的問題情境：讓學生深入了解某個行業或者領域，對生活中的常識或者規律進行總結，挖掘實際生活中的數學問題，并讓學生能將自己的數學建模過程進行總結與歸納，形成書面報告。教師需針對學生的報告，提出適當的問題，考查學生是否了解問題，是否通過實踐進行建模。

另外，基于生活原型的尋找也能夠進一步強化學生數學建模思想的培養。數學知識不僅來源于實際生活，在分析、解決實際問題中也發揮著重要作用，通過尋找生活原型來構建數學模型，能夠逐漸培養學生形成引用數學知識的好習慣。比如，可以基于購房貸款、細胞分裂等導入函數知識，進行函數模型的構建。這不僅有助于學生學習興趣的激發，也能夠讓其對所學知識產生透徹的理解與深刻的印象。所以，在日常教學中，教師一定要聯系實際，引導學生正確認識、理解、掌握數學知識的價值，優化數學建模教學內容，指導學生靈活引用數學模型來分析、解答習題。比如，某礦今年產煤10萬噸，若每年產量都要比上年增加10%，請思考從今年開始，幾年內可以讓煤礦總產量達到50 萬噸？在解答這一題目時，就可以先不提供等比數列，讓學生結合現有知識經驗來試著計算，之后再進行規律總結，完善等比數列模型的構建，這樣既可以順利完成教學內容，也能夠從整體上激發、增強學生的學習探究興趣，促進其數學建模能力的進一步提升。

（四）分階段進行數學建模

第一階段：初級建模階段。這個階段學生剛上初一，很多學生對數學建模了解較少，所以為讓學生了解建模的相關理論與方法，可以選擇一些建模實例，讓學生學習其他人的成功經驗。在初級數學建模階段，要求學生具備自學能力、表達能力，通過主動收集資料與提升數學鑒賞能力，讓學生在這個階段能不斷提升自我綜合能力。教師在數學教學實踐中，可以與學生一起建立數學模型，通過一些簡單的模型讓學生理解與掌握數學建模的一般含義及方法等。

第二階段：典型案例建模階段。在這個階段，學生對數學建模有了初步認識與思考，數學建模能力得到一定提升，問題與任務設置過程中，也更符合學生的實際情況，教師可以讓學生在鍛煉過程中進行問題的假設、抽象簡化、建模求解等工作，并讓學生在數學建模的應用下有效解決問題。在這個階段，學生已經初步掌握建模理念，建模能力也得到了一定的提升，教師可以選擇與設置一些更貼合學生實際的題目，引導學生開展建模活動，使其在解決問題中不斷提升建模能力。

第三階段：綜合建模階段，在這個階段學生的建模思維已經形成，建模能力相比于第二階段已得到極大的提升。在綜合訓練過程中，能讓學生有效提出問題、分析問題與解決問題，并強化學生數學應用能力。教師在教學實踐中，可以使用多種手段，讓學生主動投入建模活動中，并在信息采集基礎上提出模型建設，并對問題進行有效解決。同時，教師也要與其他學科進行結合，綜合鍛煉學生的建模能力，比如與化學、物理等學科進行融合，提升學生的綜合能力。三個階段的培養，能有效提升學生的建模能力，促進學生的全面發展，滿足學生的學習與發展需求。

（五）重視數學建模實踐活動組織

在新課改不斷推行的背景下，實踐教學也獲得了廣大數學教育工作者的高度重視，對各階段的實踐教學也提出了一些新要求。就目前的數學課程來講，教師很少會為學生布置實踐作業，這也是一些學生的綜合學習、應用能力一直難以得到顯著提升的主要原因之一。對此，不論是為了學生學習興趣的保持，還是為了及時有效地鞏固和應用所學知識，教師都要重視實踐作業的設計。例如，對函數、等比數列等方面的知識，都可以適當地設計一些實踐作業來讓學生完成。在實踐教學層面，教師可以結合授課內容、學生具體認知發展情況來自主選材，但一定要做到與學生實際相符，能將數學概念、思想等知識內容體現出來。首先，要先對適合的課程、素材進行選擇；其次，讓學生帶著問題來進行相關數據的收集；最后，分析整理獲得的各類數據，完善數學模型的構建，并引用數學模型來解答問題。但一定要注意，數學模型具有多樣性、復雜性以及廣泛性等特征，僅僅讓學生理解模型特點與本質是不夠的，還要重視應用環境的創設，要促使學生應用現有知識經驗去解決一些實際問題，也只有這樣，才能讓學生在實踐應用中對所學知識產生透徹的理解，才能促進學生建模能力的不斷提升。

四、結語

新時期，高中數學教學實踐中問題情境的創設，能有效激發學生的探究欲，讓學生在問題情境中發現問題、解決問題。高中數學建模教學有助于培養學生的創新思維能力，確保學生的全面發展。問題情境的創設能有效激發學生的學習興趣，提升學生的學習積極性，讓學生主動投入數學建模中，為學生的可持續發展提供可靠支持。問題情境創設需合理設計問題情境、組織開展數學建模興趣小組活動、從生活原型中構建模型，確保數學建模教學的有效性，提升學生的數學核心素養。