圍繞“三個堅持”開展有效教學
——高中數學函數解題思路多元化的方法舉例分析

陳 鴻 福建省晉江市陳埭民族中學

教學時有的放矢，方能彰顯成效。教學活動是聯系外在因素、涵蓋諸多教學理念、構建內在豐富關系的工程。面對新課標的深入實施，在高中數學教學中，應明確組織開展有效的知識教育活動，這已經成為學科教育及學校教育的重要目標，不僅需注重學生成績，也要關注學生思維創新、思維品質、動手實踐能力等。以高中數學函數解題思路為例，將能力培養、以生為本貫徹始終，開展多樣化教學，從而提高教學質量。

一、函數解題思路多元化的重要性

函數是描述客觀世界變化規律的數學模型，稱為數學的靈魂，其揭示了客觀世界中各量的互相制約、互相依存關系，是初等數學銜接高等數學的樞紐，也是考查學生能力和知識的工具。《普通高中數學課程標準》中提出，函數思想方法貫穿高中數學始終。歷年高考中，函數均占據較大比例，通常和不等式、數列等知識交匯，以壓軸題模式考查學生的綜合應用能力，這促使教師加強對函數解題教學的重視，把握函數的性質與概念，拓寬學生的函數解題思路，提升數學能力。在函數解題教學中，應確保學生邏輯清晰，能夠從客觀層面出發，解決函數問題，同時，能夠了解計算方法，采取多元化解題方式，多角度解析函數知識，鍛煉解題能力，激發創新思維，掌握問題多元化處理措施，結合函數和其他知識點內容，共同建構知識的聯系性，跳出原本題目信息，更為全面地看待函數問題，加強學生分析、解題能力的培養，養成數學思維，推動學生發展數學核心素養。

二、基于“三個堅持”的高中數學函數習題選擇標準

康托爾曾說：數學領域中提問的藝術相比回答更為重要。可見，數學習題的好壞會影響多元化解題思路的教學，選題標準如下。

（一）符合教學目標

這里的目標是指數學課堂的教學目標。教師應按照考試大綱及《普通高中數學課程標準》的要求確定教學目標，包含知識與技能、情感與態度、過程與方法等，并按照目標選擇相應的習題。函數解題思路多元化教學中，以培養學生的多元思維、鞏固函數知識為主要目標。但是，實際教學中，存在學生盲目做題、無目標情況下求解題目的情況，難以提高學習效率，特別是不同階段的習題其目標不同。新課的目標在于鞏固知識，習題挑選時，以單個知識點為主；在復習階段，題目需圍繞章節重點，鞏固章節重要知識。確定目標后，教師挑選習題時，需注意學生暴露的問題及學習水平，保證學生對知識點有初步認知。若班級梯度較大，則需選擇難度適中的題目。并且，收集學生出現錯誤的原因，了解學生的易錯點，方能根據錯題糾正學生的解題思維，培養解題思路多元化。

（二）具有代表性

代表性是指函數習題能夠代表某類題型。函數知識點較多，且引申的題型雜而多，多圍繞值域、定義域、奇偶性、單調性及最值展現出來，一般情況下，學生難以有效理解。教師確定解題課程目標后，需圍繞目標知識內容選擇代表性題目，便于學生理解與吸收，保證學生今后面對類似題目時，能夠順利解題。并且，教師應當選擇擁有普遍規律性、代表性的例題作為示范，保證學生能夠了解一般的解題思路，并配套相關習題加以強化。對于易錯、重要的知識點，需設置針對性題目，促使學生暴露錯誤，結合其認知規律，遵循從易到難的原則，給學生布置不同層次的作業，使其針對性回答函數問題，分析函數題目中的條件與信息，尋找函數知識點。設置題目時，也要營造相關情境，激發學生的興趣。

（三）蘊含解題方法

基本解題方法是指利用通用解題方式解決問題。相同章節或課時的問題中，可采取多種解題方式，有些題型復雜，有些題型簡單，教師在題目的講解中，需注意選擇方法，不能僅講解特殊方式，或為求快僅給出答案。教師確定解題方法后，能夠以此為習題呈現順序、內容指明方向。教師需促進學生構建完善的知識結構，這建立在學生對命題、概念的理解上，主要指學生是否能夠在解題中結合題目特征完成知識遷移，拓寬解題思路，是否能夠及時在記憶庫內提取所需知識點，這就要求教師選擇習題時改善學生的認知結構，注意知識之間的聯系，開辟多種解題路徑，讓函數解題更為便捷，無須長篇累牘。如果學生解題思路煩瑣，即便能夠解答函數問題，也會消耗諸多解題時間，難以整體把控做題節奏，所以必須建構嚴密的知識網絡，梳理函數知識點。

（四）實現課堂互動

函數習題選擇中，需以學生為主體，教師從旁引導，暴露學生解題的思維過程。解題思路多元化教學重點在于培養學生的思維方法，使其能夠知其然并知其所以然，全程參與習題解答。教師可先讓學生大膽嘗試，當陷入困境或難以尋找思路時，教師可立足于學生思維層面，和學生共同回到題目，多方面解析題目，通過表面題意共同探尋隱藏條件，深入理解函數知識，以函數習題促進師生互動，使學生能夠尋找解題思路，真正掌握解題策略與方法。同時，理科之間聯系密切，學生也能通過函數學習掌握物理、化學、生物學科的內容，使得學生學習其他學科更為輕松，從多角度思考問題，在解題過程中加強理解，梳理所學知識點，建構自身的知識體系，高效率解答學科問題。

三、基于“三個堅持”的高中數學函數解題思路多元化教學

（一）堅持以人為本，激發學生熱情

在《普通高中數學課程標準》中提出，編排和呈現教材內容應當凸顯知識形成及應用的過程，引導學生從現有的經驗和知識出發，開展自主探索及合作交流。高中函數解題教學中，也要從學生現有的活動經驗和知識背景出發，注重學生不同的學習過程，做到以學生活動為主線，以學生為主體，使得學生能夠在教師引導下開展積極的數學活動，教學過程也從“填鴨式”“滿堂灌”的單方面知識傳授，轉變為提出和解決問題的過程。教師的教學活動需堅持以人為本，明確高中生易受到外界不良因素熏染產生消極思想，樹立“學生發展為本”“學生中心”的教學理念，根據教學目標的要求，結合學生認知和心理發展規律，設置有關學生生活、學習的情境，從而激發學生學習的熱情，培養學生自主學習的能力。

例如，在三角函數解題中，教師可根據學生的特點及認知規律，將數學知識和學生學習相結合，提出題目：將y=sin的圖像向右平移個長度單位，再將各點的橫坐標縮短至原本的，求所得圖像表示的函數。通過此類問題，激發學生內在學習動力，使其能夠主動參與到課堂教學中，為解題思路多元化教學奠定良好的思想基礎。

（二）堅持能力培養，提高學生能力

教學的目的是“不教”。教師的教學活動是為了傳授給學生知識和解決問題的技能與方法。特別是，新課改中提出，教師應做到以生為本，以能力培養為第一要務，要求教師始終將“鍛煉、培養學生的技能為重點”落實到函數解題思路多元化教學的諸多環節中，即為學生提供動手探析、參與實踐及互動探討的機會，將教學的主導作用發揮出來，加強對學生解題的指導，使得學生能夠在師生互動中學習解題技巧，解決函數問題，提高自身的綜合能力。具體如下：

1.培養發散思維

高中函數知識復雜，涉及概念較多，具有抽象性特點，加上學生認為函數學習無過多作用，難懂、難學，降低了學習興趣。通過解題思路多元化，能夠鼓勵學生積極思考，發散思維，獲得解題樂趣。為促使學生綜合利用函數知識、使用多種方式解答問題，根據自身觀察總結問題，了解解題規律，加深對函數知識的理解，培養自身的發散思維，教師可采取一題多變的方式，使學生拓展思維空間，活躍數學課堂氛圍，使學生能夠獲得解題成就感。

例1已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0），解方程f（x）-x=0。

學生根據二次函數及方程的學習可知，二次函數解題會伴隨方程知識。根據已知條件二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0），以及一元二次方程中系數與根之間的關系解方程。還有的學生采取數形結合的方式解題，明確直線y=x 和拋物線f（x）=ax2+bx+c（a＞0）相交。通過此種方法，引導學生實現多角度解題，形成系統性知識體系，保證教學時做到有的放矢，將解題思路多元化融入課堂，對相似類型的題目做到舉一反三。

2.培養創新思維

高中數學具有復雜性和抽象性，學生解題時需從不同層面出發，使用多樣化的方式完成解題，以此提高解題水平。教師采取多元化思路鍛煉學生的解題能力，可培養其創新思路，保證學生即便面對復雜題型，也能實現多方位思考，不會產生手足無措的情況，更快地解決函數問題，鍛煉思維。

例2求解不等式4＜|2x-1|＜8。

數學教師需引導學生思考絕對值的定義，簡化不等式，明確：若2x-1＞0，則4＜2x-1＜8，解得，x＞；若2x-1＜0，則4＜-2x+1＜8，解得。教師引導學生將絕對值號消去后求解不等式。還可以轉換思路，拆分不等式，將不等式分為-4＜2x-1＜-8和4＜2x-1＜8，以此引導學生解不等式。通過此種方法，拓寬學生的解題思路，培養學生的創新能力和思維，使其能夠采取多種方法解決數學問題。

3.培養合作精神

學生個人的思維受限于自身學識、精力等，存在局限性，多個人的思維必定會有差異。函數解題教學中，可設置討論小組，每個小組遵循“組內異質，組間同質”的原則，每個小組不同層次學生針對函數問題開展討論和分析，每個成員均需分享解題思路，共同探討不同解題方法的有效性，使得學生之間能夠取長補短，突破思維的限制，實現共同發展。

例3判斷函數在x＞0 時的單調性。

教師引導學生自主探索解題模式。學生以往從未接觸過此類題型，或許可以多元化看待問題，卻也易走入死胡同。教師組織學生前后排組成討論小組，小組成員解題前共同探討自身的思路，有的學生選擇畫圖法，根據具體數值通過畫圖判斷；有的學生選擇假設法，假設為減函數，再設0＜x2＜x1，代入函數式，再證明。小組成員探討中，采取辯論、證明、驗算的方式確定解題思路，做到多種解題思路相互碰撞，使得學生互相分享、學習解題思路。小組完成函數解題討論后，教師可予以優秀小組小禮品，激發小組成員的積極性，樹立解題信心。

（三）堅持課外探究，延續課堂教學

生活處處皆數學。教學是師生之間學習知識、情感渲染及交流信息的雙向動態互動過程。部分教師在函數解題中，僅注重課內師生互動，提升學生的能力，卻對課外活動輔導有所忽視，未能以發展的眼光看待學生解題思路多元化的培養，導致產生“課堂效果顯著，弱化課外效率”的情況。因此，高中函數解題思路教學中，教師應當將課外探究作為課堂教學的延伸，根據課堂目標、教學內容設置可濃縮課堂知識的探究性函數問題，落實“雙減”政策要求，合理安排課外作業，鼓勵學生利用所學函數知識開展探究活動，解答問題，提升思維創新能力，豐富學習生活，進而提高學習能力。

例如，在函數解題中，教師可根據學生的能力將課外探究劃分為三個層級，為各層級學生提供探究空間，使其能夠良好地完成課外探究函數習題，鞏固課堂所學知識。

學生通過課后解答函數問題，不僅能夠復習所學函數知識，還能將函數知識進行延伸，從而培養合作精神，提升教學效果。

綜上所述，高中函數作為重要知識點，在高考中占比較大，教師采取解題思路多元化教學，促使學生多角度看待問題，不局限于某一知識點，加強學生對多種知識的理解，建立數學知識體系。因此，高中教師應當堅持以人為本、堅持能力培養、堅持課外探究，通過多種方法激發學生的興趣，延伸課堂教學，提高學生的能力，從而優化數學課堂教學效果。