探究性長作業活動教學
——以《一次函數的應用》教學為例

諸 蓮 上海市毓華學校

一、研究背景

數學教育從注重數學知識的講授轉向更加關注學生的可持續發展和創新能力的培養，注重知識的遷移和應用，用學到的知識解決真實的生活問題，實現深度學習。讓學生在真實的操作、生活問題解決的過程中進一步領悟核心知識和體悟思想方法，發展數學核心素養，其要義是從“領會”到“探究”，而長作業就是提供給學生學以致用、解決真實問題的探究性活動。為了進一步提升學生的探究合作、分析總結等能力，我們圍繞《一次函數》這一單元開展了長作業的實踐探索。

二、長作業活動的前期準備

（一）基于學情，確定長作業目標

《一次函數》是滬教版八年級下冊中的知識點，在學習此節內容之前，學生已經學習了變量、平面直角坐標系、函數、正比例函數的概念。在學習本單元的內容后，學生要理解一次函數的相關概念和性質，能用一次函數相關知識解決一些簡單的實際問題。

考慮到我們學校的學生情況，選擇九年級的學生參與此次探究活動?；趯W生的情況，我們確定了《長作業探究一次函數的應用》的探究目標：（1）通過在領會“一次函數”的基礎上進行探究，學會“數學地思考”，積累數學活動經驗，提高解決問題的能力；（2）經歷實驗操作、數據收集、數據分析、建立模型、分析模型、得到結果的過程，獲得從現實問題中抽象出數學問題的數理方法，領會數學建模的實際意義；（3）通過自主探究及組內的交流，培養學生自我管理和溝通協調的能力及批判性思維，在此基礎上培養創新能力。

（二）基于目標，選擇合適的主題

為了激發學生的學習興趣，讓他們不僅僅停留在表面學習，必須要讓學生有持續探索的沖動，因此“長作業”需要一個“真問題”來驅動學生進行持續的探究。

我們通過問卷訪談形式，讓學生圍繞函數這個知識點提出感興趣的問題，學生提出了如學生睡眠時間和年齡的關系、青浦環線時刻表設定的原因、家庭水電煤階梯收費的情況等問題。

但是這些問題不適合都布置成長作業，比如學生提出的“學生睡眠時間和年齡的關系”這個問題，現在電子產品的大范圍普及影響了時間和年齡這兩個變量之間的關系；又如“青浦環線時刻表設定的原因”，需要學生從早班車到末班車去各個站點實地考察記錄，記錄內容大，考慮到安全問題和數據的準確性，調查起來難度較大。我們匯總所有問題后，進行比較，最終選出了三個主題：

項目一 家庭電費調查。隨著網絡的興起，人們的生活充滿了各種家用電器，對于電的需求也越來越大，電費的收費標準一直在改變，那么現在的階梯電費是怎么收取呢？為什么這么設置呢？什么時候的用電量最大呢？

項目二 學校里浪費水資源的情況。水是不可再生資源，可是很多人生活中并沒有重視水資源，有很多浪費現象，比如學校里洗手后，水龍頭就隨便一關，沒有擰緊水龍頭，一個水龍頭一天會浪費多少水？整個學校一年又要浪費多少水？我們該如何節約用水？

項目三 火箭下降高度和時間關系的調查。隨著中國航天技術的發展，越來越多人重視火箭這方面的研究，學校里也開展了火箭興趣班，那么火箭下降的高度與時間之間存在怎樣的關系呢？火箭下降的原理又是什么呢？

這些主題前兩個和學生的日常生活相關，最后一個是學生感興趣的且學校內有相應的配套設施支持，它們都和函數這個核心知識緊密聯系，并符合學生能力的最近發展區。

（三）基于主題，設計長作業工作單

雖然有了活動主題，但是學生并不清楚怎么去完成。因此，我們首先要基于這些主題，確定好工作單的內容，在設計工作單時要為學生提供學習支架并注重工作單整體的策略設計。

學生都是第一次接觸長作業，對于如何去做比較茫然，整個調查過程需要學生自主探究合作后嘗試總結，有很多外在的因素讓學生在探究的過程中脫離了最終的目標。為了讓學生始終圍繞學科核心知識實施長作業，我們要為學生搭建學習支架。這些學習支架作為橋梁，可以增加學生思維的梯度，同時又降低思維的難度，提高學生探究的興趣。因此，每一份調查主題我們都設計了一份長作業工作單，比如“家庭電費調查”：（1）集齊同一用戶一年度的電費發票聯；（2）根據發票的數據繪制用電量（千瓦時）與電費（元）之間的函數圖像；（3）分析并建立用電量（千瓦時）與電費（元）之間的函數關系；（4）根據探究的結果談談電費收費制度是否合理和節約用電的一些建議。通過這四個學習支架的設置，明確問題解決的步驟，又聚焦問題解決的數學方法。

（四）基于“工作單”，合理任務分配

由于學生之間存在差異，我們要合理分配各個長作業之間的任務。我們要區分各個任務的難易度，每份長作業、每一個任務都有不同層次知識的延伸，可以滿足不同水平學生的發展需求。比如“家庭電費調查”要求學生根據電費單描點作圖，根據圖形的特點，計算得到最符合趨勢的函數關系；“學校里浪費水資源的情況”要求學生自己動手操作實驗，再根據實驗數據得到每一個水龍頭浪費水與時間之間的變化規律；“火箭下降高度和時間關系的調查”要求學生學習火箭模型的組裝，并利用DIS 傳感器等設備記錄的實時數據分析時間和下降高度之間的關系。三個項目是三個不同方面的拓展，分別建立在不同水平學生的最近發展區。

三、長作業活動的探究過程

（一）學生自主探究解決“真問題”

長作業活動的整個探究過程都應該在學生的興趣的驅動下進行，在這個過程中學生習得的知識和方法得以遷移，思維得以提升，能力得到發展。我們希望此次活動能夠在學生的自主合作探究、教師加以適時的指導下開展。下面以項目一“家庭電費調查”為例簡單闡述。

1.查閱資料，提出假設

學生網上查閱了資料，發現電費三階收費標準，“電費—用電量”函數應該是一個分段函數：第一段是用電量在0～3 120 千瓦時的第一檔用電量收費情況；第二段是用電量在3 120～4 800 千瓦時的第二檔用電量收費情況；第三段是用電量在大于4 800 千瓦時的第三檔用電量收費情況。

2.收集數據，繪制圖像

學生首先集齊了某用戶2019年度的12個月電費發票聯。觀察并分析發票聯，發現影響每月電費的變量有兩個，一個是峰時電量，一個是谷時電量，他們之間不存在確定的依賴關系，所以電費和用電量不是函數關系。學生決定將電費分成兩部分：“峰時電費—峰時電量”函數關系，“谷時電費—谷時電量”函數關系，分別畫出函數圖像進行比較觀察。

另外3月份和8月份這兩個跳檔的月份未細分峰時和谷時的電量。如何較為準確地分配呢？在老師的指導下，學生利用該月中峰時和谷時用電量的比來估算這部分電量中峰時、谷時的電量各為多少，并計算出相應的電費，然后根據累計的用電量和累計的電費，運用EXCEL軟件繪制圖像。

3.分析圖表，提出假設

經過逐一進行計算分析，學生發現1～2 月用電量在第一檔，按第一檔的峰時和谷時費用收費；4～7 月份，用電量在第二檔，按第二檔的峰時和谷時費用收費；9～12月份，用電量在第三檔，按第三檔的峰時和谷時費用收費，這與第一次討論時的猜測基本吻合。

學生觀察預設的圖像和實際圖像，發現除了3 月份和8 月份以外，其他十個月的變化趨勢跟提出的猜測基本相同，但3月份和8月份都涉及兩檔電費，所以各有兩個點，3 月份的第一個點，用電量屬于第一檔，所以跟1月、2月的點在同一條直線上，3月份的第2個點，表示第二檔，峰時圖像比1 月、2 月的圖像陡些，相較于4～7 月份的圖像平緩些，由于三月份價格變動幅度不大，所以圖像變動不明顯。

4.建立模型，得出結論

從上述圖像的比較，我們發現：不管是“峰時電費—峰時用電量”函數圖像還是“谷時電費—谷時用電量”函數圖像，都不是我們最初預設的只是三段，受到跳檔收費標準的不同，都分為六段，可見在研究的過程中，猜測只是一個方向，而真正起到作用的是實際數據的詮釋。

（二）學生匯報交流、評價反思

在各小組完成探究后，學校組織讓各小組代表輪流匯報，展示成果。分享交流是學生思維表達的過程，在此過程中其他小組可以進行評價、提出困惑，讓學生再次思考反思，進一步提升了思維的層級。

比如項目一“家庭電費調查”在小組匯報的最后，調查組學生提出2、3 月份和8、9 月份是該用戶的用電高峰，這應該是因為冬季天氣寒冷以及夏季天氣炎熱，開空調所致，可見，空調是我們生活中用電量驟升的主要因素之一。而其他小組則對跳檔月份的電量計算提出質疑，調查組學生當堂為大家展示了計算方法，并表示之后會向電力公司咨詢具體的收費標準。

四、長作業的反思與體會

1.通過本次長作業的活動我們發現長作業實施的幾個要點：（1）長作業需要強調課內外核心知識的關聯，即有適切的主題是長作業開展的根本；（2）學生好奇心和求知欲的激發是長作業開展的靈魂和主線；（3）長作業的設計內容與評價標準起到了導向功能；（4）長作業作為作業的一種類型，具備作業的基本功能，但是它更多關注的是大概念下學生自主的問題化學習；（5）教師更多的是關注、引導，遇到困難給予提示、點撥和指導，促進研究的進行。

2.通過本次活動，有的學生說：“對于一次函數解析式中的k和b又有了深一層的理解?！庇械膶W生說：“原來數學課還可以以活動課的方式呈現，通過本次活動，我更愛數學了?！币灿械膶W生說：“通過本次活動，我們碰到了書本中碰不到的困難，但我們學會了分工合作，通過討論、嘗試各種方法并解決困難，我們都特別有成就感?！?/p>

3.老師們通過本次長作業活動發現學生不但對學習內容感興趣，更能掌握學習方法，主動與他人合作交流，發現問題、解決問題，并且能在教師和同伴的互助下挑戰高層次的學習任務，享受高品質的深度學習。

4.長作業研究的過程更像是教師和學生共同栽種了一棵生命之樹，這棵樹以核心知識為樹根，以學生興趣、學習能力為土壤，以學習工作單為樹干，以實踐過程為樹葉，教師陪伴學生，共同澆灌，共同成長。