小學數學探究性長作業實踐研究
——以五年級“面積”主題單元為例

孫益新 上海市青浦區鳳溪小學

近年來，上海市青浦區新課堂實驗啟動了深度學習的研究。深度學習是導向核心素養培育的進階學習，單單依靠常規課堂的“理解”很難達成目標，于是，承載著“探究”行為的非常規學習便應運而生了。就小學數學而言，了解、理解和應用等低階水平目標在課堂中可以實現，但分析、評價和創造等高階水平目標在課堂中卻難以落地。因此，在單元視角下，我們設想以項目式學習的形式開展長作業研究，或許可以溝通知識間的聯系，實現知識系統性、結構化的同時，促成核心知識的理解、問題解決技能的提升以及學習心向表現的增強。

一、立足單元視角，確定研究目標

面積及平面圖形的面積屬于“圖形與幾何”內容領域。小學數學“面積”主題單元包括面積概念、面積單位、長正方形面積、平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積、組合圖形面積以及面積估測等。其中，前三者屬于三年級學習內容；第四、五、六項屬于五年級學習內容；面積估測和組合圖形的面積在兩個年級均出現過。仔細分析不難發現：小學生研究圖形面積一般分為兩個方面，即直邊圖形面積和曲邊圖形面積。直邊圖形面積可運用公式精確計算，曲邊圖形面積則需運用面積估測方法估算。總體而言，小學生研究面積大多是“紙上談兵”，很少接觸現實生活中的面積概念，尤其曲邊圖形面積估測更令學生“望而生畏”。這樣，課堂學習與現實生活便割裂了。

為了拉近數學與生活的聯系，同時也為了發展空間觀念，培育數學核心素養，本項目以“我做綠化小能手”為主題，研究過程中將測量樹葉和花園面積作為研究重點，為今后研究更為復雜的曲線圖形面積奠定基礎。

基于以上思考，我確定了本項目的研究目標：（1）了解“葉面積指數”的概念，探索計算桂花園葉面積指數所需條件和步驟，能最終計算出桂花園葉面積指數，并對目前的桂花園樹木疏密度提出整改提案；（2）通過小組合作、反饋交流等活動，探索樹葉面積的估測方法和不規則花園面積的計算方法；（3）在探究活動中，培養操作能力、問題解決能力，發展空間觀念。

二、遵循學習規律，構建問題框架

（一）采集真實問題情境

問題是使學習持續發生的動力。小學數學長作業問題情境應貼近生活、真實而富有挑戰性。也就是說，長作業是基于真實問題情境而開展活動的。活動之初，我們通過座談和問卷的形式就“平面圖形的面積”進行了調查。調查主題為：你覺得生活中哪里會用到面積？運用面積能解決什么問題？學生們的回答可謂是豐富多彩的。有的同學提到可以算學校小花園的面積，有的同學提到可以算樹葉的面積，還有同學提到算家里房間的面積、學校教室面積……仔細分析不難發現，這些答案都是基于面積計算或估算來直接解決面積問題的，解決問題的方式較為簡單。作為老師，我不禁陷入沉思：這些雖然都是真實問題，但問題間有沒有關聯？如何提出一個真實且富有挑戰性的驅動問題？

（二）提煉驅動性問題

此時，學校正在開展“我是綠化小能手”的社會實踐活動。大家發現學校小花園中桂樹長勢不太好，探究是什么原因造成的？學生順勢思考：可能是桂樹長得太密了。有沒有科學的方法判斷樹木的疏密度？我讓學生帶著問題去查找資料。原來，樹木的疏密度與葉面積指數有關。什么是葉面積指數？學校小花園的葉面積指數是多少？怎樣的葉面積指數利于桂樹生長？一連串的追問下，我們發現“學校小花園葉面積指數是否合理”是我們最終要面對的問題，這也是本項目的驅動性問題。

（三）搭建支架問題

驅動性問題是一個“大問題”，絕不是一蹴而就的，還需要更多的具有邏輯性的支架式的小問題作為支撐。本項目的支架式小問題就包括：桂樹葉面積如何測量？桂花園面積如何估測？一棵桂樹樹葉量大約有多少片？等等。這些“小問題”之間是邏輯相關、層層遞進的。

三、依據學情發展，逐步實施長作業

（一）分層次多角度活動推進

1.“以終為始”厘清活動序列

“以始為終”是項目式長作業的主要特征。本項目最終要“寫出小花園的整改提案”，這也是活動之始最先提出的。作為項目的執行者，學生首先要明確自己要做什么、為什么這么做、怎么做等問題，即綠化小能手評估什么（評估花園植物疏密度）、為什么要評估花園植物疏密度（為了讓植物更好成長）、如何評估花園疏密度等（計算葉面積指數）。因此，學生自接觸該項目開始便將項目最終目標作為解決問題的起點，并通過自制流程圖的方式厘清整個項目的活動序列。

2.“從小到大”踐行核心知識

“從小到大”中的“小”指面積較小的曲面圖形的面積，特指樹葉的面積；“大”指面積較大的曲面圖形的面積，特指花園的面積。研究過程中，所涉及曲面圖形面積“大”與“小”都是本項目的核心知識，同時也是重點實踐的內容。研究方式“從小到大”可使操作由易到難，其估測方法也可以由小到大遷移。

（1）估測“小”面積方法多樣化

估測一片桂樹葉的面積是本項目的重點。學生三年級時學習過“運用方格紙估測不規則圖形的面積”；五年級時學習過“把不規則圖形近似看成規則圖形估測面積”。這些都是學生的學習基礎。這些方法能在實踐中實現嗎？還有其他估測面積的方法嗎？

經過小組合作實踐，學生基本呈現三類方法：其一，運用方格紙估測，包括畫小方格；其二，把桂樹葉看作長方形、看作兩個三角形、看作兩個梯形等等，測量后運用公式算面積；其三，其他方法，如稱重算面積法、根據體積算面積法。如果說前兩種方法是學以致用，那么所謂其他方法便是“自學成才”或“開拓創新”了。

（2）估測“大”面積方法可遷移

估測不規則花園的面積相對來說要困難一些。由于學生已有了估測樹葉面積的經驗，因此，實踐過程中學生基本呈現了兩種方法，即用1 平方米的正方形去測量花園、看成規則組合圖形算面積。仔細分析不難發現，第一種方法與之前用透明方格紙測量基本相似；第二種方法與之前看成規則圖形計算面積的方法基本雷同。

3.“以主帶輔”關注輔助知識

此次長作業，不僅僅要估測一片樹葉的面積，還要估測整個花園的葉面面積。由于花園中桂樹棵數已經確定，還需知道一棵樹上有幾片葉子。這對以“面積”為主題的實踐活動來說卻是輔助知識了。

如何估測一棵桂樹的葉子數量，研究過程中呈現了一系列方法。其中，先算幾個小枝平均葉子數，再數出一個大枝有幾個小枝，再數出大枝的數量，最后估測小枝數量。這種方法精確度高，實踐起來也不算太困難，是多數小組的選擇。總之，學生們方法多樣，基本上是用“樣本平均數”知識去解決問題。所以，雖說本項目是以“面積”為主題的長作業，但或多或少會牽扯到其他知識，諸如估算、平均數、平均數的應用等等，這些都是數學實踐活動中常用的輔助知識，需要加以關注和實踐。

（二）“成果導向”培育核心素養

本次項目化長作業是借助小花園桂樹葉面積指數判斷桂樹的疏密度，最后成果是以提案形式向學校大隊部提出小花園整改建議。

在一系列過程中，始終以成果為導向亦步亦趨開展活動，學生在估測花園面積、樹葉面積、桂樹樹葉數量時，以小組為單位相互配合，其間培養動手操作能力、觀察能力、問題解決能力，逐步將生活中的圖形與數學圖形建立有效關聯，發展了空間觀念，實現了核心知識的深度理解；同時，在實踐過程中培養了學習興趣，體驗了成功的樂趣，真正培育了數學核心素養。

四、長作業實踐反思

1.長作業設計過程要體現具體的原則

首先，長作業要以真實的問題情境為導向，同時問題情境要能引起學生興趣，這樣才能成為學生持續研究的動力。所以，長作業設計要體現趣味性和情境性。第二，長作業的活動形式要有層次任務推進，同時活動過程中鼓勵學生敢于批判、勇于創新。本項目中每個活動間都是層層遞進、邏輯相關的。學生在實踐每個活動的過程中，又出現許多意料之外又情理之中的結論，著實讓人眼前一亮。所以，長作業還要體現層次性和創新性。

2.長作業實施過程要建構互助協同的關系

項目式長作業的實施過程最終還是由小組成員互助完成的。在完成活動的過程中，小組成員在分工合作、交流分享中學到了知識、獲得了成果、提高了能力、更獲得了友誼。另外，長作業不僅僅是學生展示自己的平臺，其間還需教師適時介入。只有師生的共同努力下才能使每一位成員都有收獲，同時在這一過程中建立協同型師生關系。

3.長作業的發展還需更多的社會支持

長作業畢竟是一項新型的作業，其發展歷程還不長，但其教育意義和價值已不容小覷。因此，項目式長作業的發展還需更多學校、教師、家長和有關教育行政部門的大力支持。