基于哈密頓原理軸向運動紗線的振動特性研究

李 楊， 胡旭東， 彭來湖， 鄭秋揚

(浙江理工大學 浙江省現代紡織裝備技術重點實驗室， 浙江 杭州 310018)

紗線是纖維沿軸向方向經加捻后形成的纖維集聚體，在織造過程中紗線受到外力作用時呈現極其復雜的動力學特征[1-2]。紗線在傳輸過程中的穩定性對織物的品質、生產效率以及后續加工的順利進行產生較大影響[3]。在織造過程中紗線振動引起的張力變化，會使織物表面產生疏密不勻、高低不平等問題，影響產品質量，降低織物等級[4]。因此，對紗線傳輸過程中的振動特性分析顯得尤為重要。

紗線軸向運動的橫向振動可轉化為運動弦線的非線性振動，很多學者對此進行了研究。Swope等[5]利用狀態空間的復特征值確定弦的模態函數；Mote等[6]利用哈密頓Hamilton原理研究了軸向運動弦線的非線性振動特性；Ames等[7]采用Galerkin截斷法討論了紗線周期激勵條件下的運動特性，建立了包含紗線速度、初始張力、橫向位移和線密度的控制方程。隨著研究的不斷深入，以兩端受約束的軸向運動紗線為研究對象，分析了主參激共振時系統的穩定性[8]；以紗線傳輸速度和初始張力作為因變量，對紗線的動態力學性能進行研究分析[9-10]。以往描述紗線大都為Lagrange范疇，而紗線運動模態較為復雜，基于此，本文采用哈密頓動力學方法，研究了針織緯編生產中運動紗線的橫向振動。通過研究紗線輸送速度和以紗線作為連續介質系統的Hamilton雙變量的函數，并利用變分原理求解行進紗線的對偶方程，以期對行進紗線的特征值以及在不同傳輸速度下的自由振動和受迫振動提供研究思路。

1 針織緯編紗線動力學模型

針織緯編在生產過程中，紗線由于織機針筒的轉動從紗筒上退繞，經過輸紗器穿過導紗孔鉤在織針上[11]。紗線在運動過程中受到針織機初始張力激勵和織機機構產生的外部激勵發生振動。這些激勵會造成紗線張力不穩定，從而導致紗線輸送狀態產生變化。

圖1 軸向運動紗線模型

對軸向運動紗線系統的各變量和參數做無量綱化如下：

(1)

式中：c0為瞬時速度，s為運動時間。

(2)

式中：Xi,η、uj,η分別為橫向、縱向位移分量。

該點的無量綱張力為：

(3)

在物質坐標系下，紗線的Lagrange運動微分方程為

(4)

在絕對坐標系下，紗線的運動力學微分方程：

(5)

忽略紗線在空間中各方向的振動，紗線的自由振動微分方程為

uk,tt+2cuk,ηt+δ(uk,t+cuk,η)+

(6)

式中：qk(t)為紗線受到的外部激勵減去紗線靜止狀態下受到的載荷。

此時，初始條件和邊界條件為

(7)

式中：αk(η)為紗線靜止狀態時位移構形；βk(η)為織機運轉時紗線速度構形。

2 紗線振動模態函數

為方便求解，假設紗線在運動過程中所受阻尼為0，由式(6)得紗線的自由振動微分方程為

(8)

式中：U=U(η,t)為紗線上一點處于靜止狀態時的橫向位移。邊界和初始條件為：

(9)

絕對坐標系下紗線的無量綱Hamiltion函數為

(10)

引入U(η,t)的對偶變量p=p(η,t)。根據變分原理，得到Hamilton對偶方程組為

(U(η,t),p(η,t))T

(11)

用分離變量法得出對偶方程組(11)的特征值：

(12)

式中：Φ(η)=(Φ1(η)，Φ2(η))T是特征向量；λ為特征值。

紗線在靜止時自由振動的特征值為

(13)

(14)

3 軸向行進紗線振動響應

3.1 軸向行進紗線自由振動響應

針織生產過程中紗線的輸送狀態會隨著編織工藝的改變而發生變化。當紗線軸向行進速度為0時，由于自身重力會產生自由振動。根據展開定理，紗線的橫向位移函數可表示為模態函數的疊加，即：

(15)

初始條件為

(16)

式中：

(17)

根據式(14)紗線振動的辛共軛正交性條件，可得到紗線軸向行進速度為0時的自由振動響應：

(18)

3.2 軸向行進紗線受迫振動響應

假設織機在運行過程中由各機構振動對紗線產生的耦合激勵為均勻激勵，紗線受迫振動的動力學方程為

(19)

式中：f(η,t)為作用在紗線上的載荷。紗線受迫振動的對偶方程為

(20)

展開全狀態向量：

(21)

把紗線所受外部激勵函數h按照特征向量展開為

(22)

將紗線振動對偶方程的展開全向量(22)和紗線外部激勵函數的特征向量代入紗線受迫振動的對偶方程(20)，得：

(23)

對于紗線的受迫振動，我們只考慮f(η,t)的第1項，得到紗線系統受迫振動的特解：

(24)

4 數值分析和討論

為驗證本文主要結果，以棉紗為例，初始張力T=120 cN、彈性模量E=7.84 MPa、長度S=1.2 m、線密度ρ=27.4 tex，進行了數值模擬。通過算例分析了紗線不同速度下的模態，指出速度對模態的形狀和幅值的影響。此外，還討論了紗線的自由振動響應以及受迫振動響應。

4.1 紗線臨界速度響應

考慮紗線自由振動模態的前三階正交歸一化模態函數，我們對紗線在不同行進速度下的模態進行分析，指出行進速度對模態的形狀和振動幅值的影響。

圖2示出c=0.8,c0=1時的前三階模態函數?？梢钥闯鲭S著行進速度的增大，模態實部幅值的絕對值隨之減小。反之，隨著行進速度的增大，模態虛部的幅值的絕對值隨之增大。

圖2 行進速度接近臨界速度時模態函數

為觀察紗線運動速度對模態的影響，以3種不同的速度c=0.0,c=0.5,c=1.0計算模態函數的實部。圖3示出不同運動速度下紗線的前三階模態實部函數?？梢钥闯瞿B函數的形狀與紗線的速度密切相關。紗線運動速度與模態函數的實部呈正相關關系。反之，紗線運動速度與前三階模態函數的周期為負相關關系。

圖3 不同速度下模態函數

4.2 紗線自由振動響應

在計算紗線的自由振動時，設初始速度為0，初始構形U=0.3η(η-1)。圖4示出紗線中間位置處c0=0.5時不同行進速度下的響應曲線，隨著行進速度c的增大紗線振動得響應周期變大。圖5示出紗線在不同位置處的響應曲線。隨著η的增大，響應幅值逐漸增大，并且在中點處達到最大。

圖4 不同行進速度的響應

圖5 不同位置的響應

4.3 紗線受迫振動響應

考慮無阻尼時紗線受迫振動，對一個周期內不同外激頻率、不同傳輸速度和不同項數構形的影響。

圖6示出紗線中點位置處c=0.5,c0=1.8時一個周期內的構形，可看出構形的幅值隨著時間的增大而減小。圖7示出為c=0.5,c0=1.8時紗線在不同運動速度時的構形，可看出運動速度越大構形幅值變化越大，周期變小。圖8示出c=0.5,c0=1.8,t=1.2時，取不同項數的模態函數疊加得到的構形，n=2,n=3在時構形基本重合，因此取前2項模態函數疊加即可計算出紗線橫向位移的大小。

圖6 一個周期內構形圖

圖7 不同行進速度下的構形圖

圖8 不同項數構形圖

5 結 論

本文以針織緯編織機為例，建立了由儲紗器到織針導紗孔之間的運動紗線在Hamiltonian體系下的動力學微分方程，引入紗線橫向位移的對偶變量，利用變分原理，得到行進紗線的對偶方程組。根據分離變量法，求得紗線振動的特征值和特征向量。利用辛共扼正交性條件和展開定理，得到了紗線自由振動響應。通過有關算例求解并分析了紗線的模態。經數值仿真可知，紗線的傳輸速度不同，振動響應周期也不同，速度越大響應周期也越大；運動速度不變，紗線上不同點的響應幅值不同，紗線中點處的振幅最大，兩邊逐漸減小；在1個振動周期內，紗線振幅在起始時刻振幅最大，而后逐漸減??；紗線振動位移按模態展開項數n=2,n=3時的構形基本相同，只取前2項相即可計算出紗線的橫向位移。