基于四波混頻過程的糾纏光放大*

徐笑吟 劉勝帥? 荊杰泰2)3)4)?

1) (華東師范大學,精密光譜科學與技術國家重點實驗室,上海 200062)

2) (中國科學院超強激光科學卓越創新中心,上海 201800)

3) (浙江大學物理學系,杭州 310027)

4) (山西大學,極端光學協同創新中心,太原 030006)

雙模糾纏態是量子信息領域一種重要的量子資源,本文基于四波混頻過程從理論上提出了對雙模糾纏態的單個模式(單模放大方案)和對雙模糾纏態的兩個模式(雙模放大方案)的放大.利用光學分束器模型來模擬在光學傳輸過程中損耗引入的真空場噪聲,利用部分轉置正定判據分析了兩種不同的放大方案中四波混頻過程的增益對初始雙模糾纏態的糾纏程度的影響.結果表明,在特定的損耗情況下,兩個方案中初始雙模糾纏態的糾纏度都隨增益的增大而減小,直至消失,且雙模放大方案中初始雙模糾纏態糾纏消失得比單模放大方案中更快.本文的理論結果為實驗上實現基于四波混頻過程的雙模糾纏態的放大奠定了理論基礎.

1 引言

量子糾纏是量子物理中一個十分重要的非經典資源[1],在量子信息領域有著廣闊的應用前景[2,3].對于雙模糾纏態Einstein-Podolsky-Rosen (EPR),由于兩個模式之間存在關聯特性,對其中一束光的測量必然會影響另一束光.基于此特性,利用雙模糾纏態可以實現一些經典手段無法實現的任務[4-10].因此,雙模糾纏態受到了學術界的持續關注,對雙模糾纏態的研究在分離變量和連續變量領域取得了一系列研究成果.如1997 年,Zeilinger 研究組[11]利用雙模糾纏態在實驗上驗證了光子的隱形傳態.1998 年,Kimble 研究組[12]在連續變量中實現了無條件量子隱形傳態.2002 年,彭堃墀教授團隊[13]利用光場的正交振幅和正交相位,實現了兩組份連續變量高通道容量量子密集編碼.

目前已經證明,在85Rb 蒸氣池中的四波混頻過程是產生雙模糾纏態的一項很有前景的技術[14-17].這種四波混頻過程在產生雙模糾纏態上有很多優勢.例如,四波混頻過程具有強的非線性相互作用強度,不需要外部腔的耦合,因此具有空間多模的特性.基于以上優點,這種四波混頻過程被廣泛應用于量子信息[18-20]和量子精密測量[21-23].如2009年,美國Lett 研究組[24]利用四波混頻過程實現了EPR 糾纏光束延遲,證明了銣原子池可以作為信息存儲器對信息進行短時間存儲.2015 年,Pooser研究組[25]利用四波混頻過程在兩通道之間建立量子關聯,實現了表面等離子共振傳感器靈敏度的顯著提高.同時,基于類原子系綜的多波混頻過程及基于其他原子系綜的四波混頻過程也被證明可以用來產生量子壓縮[26-29].最近,四波混頻過程被證明可以構建一個低噪聲放大器[30].然而,通過四波混頻構建的放大器放大雙模糾纏態并沒有被系統地研究.本文從理論上提出了兩種方案,第一種方案是四波混頻產生雙模糾纏態的其中一個模式通過另外一個四波混頻過程放大,第二種方案是四波混頻產生雙模糾纏態的兩個模式分別通過兩個四波混頻過程放大.由于實驗中光束在傳輸過程中會發生損耗,因此有必要在上述兩種方案中加入由環境帶來的真空場噪聲.同時,采用部分轉置正定(PPT)判據[31,32]從理論上分析了在特定的傳輸損耗下,兩個方案中放大增益對初始雙模糾纏態糾纏特性的影響.證明了在確定的傳輸損耗下,兩種方案中初始雙模糾纏態的糾纏特性都隨四波混頻過程增益的增大而降低,而當增益增大到一定值時初始雙模糾纏態的糾纏特性會消失,且在雙模放大方案中比單模放大方案中消失得更快.

2 單模放大方案

2.1 理論模型

圖1(a) 是對EPR 光束的單個模式進行放大的結構示意圖.利用一個頻率非簡并的四波混頻過程產生了一個雙模糾纏態并對其中一個模式進行放大.在這里,系統在四波混頻過程中發生的損耗可以看成是原光束和真空光束入射到一個光學分束器中引入的真空場噪聲.圖1(b)是單個四波混頻過程的能級圖,Δ和δ分別對應單光子失諧和雙光子失諧.泵浦光同時驅動了兩個基于基態F=2和F=3 的能級躍遷,湮滅兩個泵浦光子的同時會產生一個探針光子和一個共軛光子.其中探針光相對于泵浦光具有3.04 GHz 的紅移,共軛光相對于泵浦光具有3.04 GHz 的藍移.在考慮損耗的情況下,第1 個四波混頻過程的輸入輸出關系是[19,33]

圖1 一種對EPR 光束進行單模放大的方案 (a) 對EPR 光束進行單模放大的系統簡圖;(b) 85Rb D1 線的雙Λ 能級結構Fig.1.A scheme for single-mode amplification of EPR beams:(a) Simplified diagram of single-mode amplification of EPR beams;(b) double-Λ energy level structure of 85Rb D1 line.

其中G1是第一個四波混頻過程(FWM1) 的增益,0和0是真空注入,1和1是第一個四波混頻過程產生的探針光束和共軛光束,表示真空場的湮滅算符,η1和η2分別表示1和1的傳輸效率.接著將探針光束1作為第二個四波混頻過程(FWM2)的種子光,與泵浦光束 Pump2注入到第二個熱85Rb 蒸氣池中,產生放大后的探針光束2.在考慮損耗的情況下,第二個四波混頻過程的輸入輸出關系為

其中G2是第二個四波混頻過程的增益,2是放大后的探針光束,分別表示真空場的產生算符和湮滅算符,η3表示2的傳輸效率.此方案中放大后的探針光束2和原來的共軛光束1是相互關聯的,后面會通過研究之間的糾纏度與四波混頻過程增益的關系來揭示增益對初始雙模糾纏態的影響.

在量子光學中,光場的性質可以用正交振幅算符和正交相位算符來刻畫.在這里,分別把正交振幅算符和正交相位算符定義為

雙模糾纏態的量子特性可以完全被協方差矩陣描述,定義正交振幅協方差為,類似地可以得到正交相位的協方差.正交振幅和相位算符又是相互正交的,即.因此,這種單模放大方案輸出的關聯模式的協方差可以寫為

2.2 糾纏特性分析

對于產生兩個關聯模式的體系,部分轉置正定(PPT)判據是一個充分必要的判據,來描述系統的糾纏特性.它被描述為:如果系統的部分轉置協方差矩陣的最小辛本征值λ小于1,則存在兩個模式之間的糾纏[31,32].而一個包含N個模式的量子態的協方差矩陣是一個2N階的方陣,因此可以將上述單模放大方案中探針光束和共軛光束的協方差矩陣(σ)寫為σ=〈ξξT〉,其中,因此協方差矩陣的表達式為[31,32]

將(5)式代入到(6)式的協方差矩陣中,并對其進行部分轉置處理,再求其最小辛本征值.若最小辛本征值小于1,則表明兩個輸出的關聯模式之間存在糾纏.此外,最小辛本征值越小,說明光束之間的糾纏程度越好.由(6)式求出的最小辛本征值與G1,G2,η1,η2和η3有關,表達式為

單個四波混頻過程已經被確認可以產生雙模糾纏態,即對任何G1＞1,單個四波混頻過程產生的EPR 光束的最小辛本征值都小于1.在實驗上,探針光和共軛光的傳輸損耗一般為20% 和10%,因此本文將1,1和2的傳輸效率分別設定為η1=0.8,η2=0.9和η3=0.8,來模擬實驗中光束的傳輸損耗.下面固定G1,研究2和1兩個關聯光束的糾纏特性與G2的關系.圖2 中的3 條曲線分別是當G1=1.5,G1=2.5,G1=50.0 時將PPT判據應用于光束2和1的最小辛本征值(smallest symplectic eigenvalue).在圖2 中,2和1之間的糾纏強度隨增益G2的增大而減小.此外還可以看出,當G2增大到一定值后若繼續增大,最小辛本征值將大于1,表明在特定的真空噪聲影響下,對第一個四波混頻過程產生的EPR 光束進行單模放大后,初始雙模糾纏態的糾纏性質會隨著增益的增大而減小,直至糾纏特性消失.

圖2 G1不同的情況下單模放大方案最小辛本征值與G2的關系Fig.2.Relationship between the smallest symplectic eigenvalue and G2 of the single-mode amplification scheme under different value of G1.

3 雙模放大方案

3.1 理論模型

圖3 是對EPR 光束的兩個模式分別進行放大的結構示意圖.0和0是真空態,與泵浦光束Pump1共同注入到第一個熱85Rb 蒸氣池中.1和1分別是第一個四波混頻過程(FWM1)產生的探針光束和共軛光束.將這兩個EPR 光束分別與兩個泵浦光束(Pump2和Pump3)作為第二個四波混頻過程(FWM2)和第三個四波混頻過程(FWM3)的注入,產生了被放大的探針光束2和共軛光束2.令第一個四波混頻過程的增益為G1,第二和第三個四波混頻過程的增益都為G2.在考慮損耗的情況下,令1,1,2和2的傳輸效率分別為η1,η2,η3和η4,則這種雙模放大結構的輸入輸出關系為其中2和2分別是被放大的探針光束和共軛光束的湮滅算符,1,2,5和6表示真空場的湮滅算符,表示真空場的產生算符.此方案中放大后的探針光束2和共軛光束2也是相互關聯的,2和2之間的糾纏特性在接下來會被研究.

圖3 一種對EPR 光束進行雙模放大的方案Fig.3.A scheme for two-mode amplification of EPR beams.

3.2 糾纏特性分析

將(9)式代入到(6)式中,并進行部分轉置處理,得到的最小辛本征值與G1,G2,η1,η2,η3和η4有關,表達式為

圖4 G1不同的情況下雙模放大方案最小辛本征值與G2的關系Fig.4.Relationship between the smallest symplectic eigenvalue andG2 of the two-mode amplification scheme under different value of G1.

4 結論

本文基于四波混頻過程從理論上提出了對EPR 糾纏光束的其中一個模式進行放大和對兩個模式同時進行放大的方案,在考慮放大過程中損耗引入的真空場噪聲的情況下,計算分析了兩個方案中輸出模式的量子糾纏特性.利用部分轉置正定判據研究了兩個方案的放大增益對初始雙模糾纏態糾纏程度的影響.結果表明在特定的真空場噪聲影響下,當放大EPR 光束的強度增益處于一定范圍內時,單模放大方案和雙模放大方案中初始雙模糾纏態的糾纏特性可以保持,并且增益越大,糾纏越弱,直至糾纏消失.另外,通過比較兩種方案中初始雙模糾纏態隨增益的變化,可以看出雙模放大方案中初始雙模糾纏態的糾纏比在單模放大方案中消失得更快.本文的理論計算結果為實驗上實現EPR 光束的放大提供了可靠的理論依據.