聲學(xué)蜂窩結(jié)構(gòu)中的拓?fù)浣菓B(tài)*

胡軍容 孔鵬? 畢仁貴 鄧科? 趙鶴平2)

1) (吉首大學(xué)物理系,吉首 416000)

2) (湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410205)

高階拓?fù)浣^緣體是近年來發(fā)現(xiàn)的一類具有特殊拓?fù)湎嗟男滦屯負(fù)浣^緣體,目前已在光學(xué)、聲學(xué)等多種經(jīng)典波系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn).本文采用數(shù)值模擬方法研究了一種二維聲學(xué)蜂窩結(jié)構(gòu),通過調(diào)節(jié)胞內(nèi)和胞間耦合波導(dǎo)管,使體能帶發(fā)生反轉(zhuǎn)誘導(dǎo)拓?fù)湎嘧?進(jìn)而利用拓?fù)湎鄻?gòu)建出聲學(xué)二階拓?fù)浣^緣體.蜂窩結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)可以用量子化的四極矩 Qij表征,當(dāng) Qij=0時(shí),系統(tǒng)是平庸的;而當(dāng) Qij=1/2 時(shí),系統(tǒng)是拓?fù)涞?基于該蜂窩結(jié)構(gòu),分別研究了六邊形和三角形結(jié)構(gòu)的聲學(xué)高階態(tài),在兩種構(gòu)型的蜂窩結(jié)構(gòu)中均觀測(cè)到了孤立的零維角態(tài),研究結(jié)果表明只有存在鈍角的六邊形結(jié)構(gòu)對(duì)缺陷具有魯棒性,受拓?fù)浔Ｗo(hù).本文的拓?fù)浣菓B(tài)豐富了高階拓?fù)浣^緣體的研究,同時(shí)可為緊湊聲學(xué)系統(tǒng)中的魯棒限制聲提供一條新途徑.

1 引言

拓?fù)浣^緣體的特性是體內(nèi)絕緣,但其邊界上存在傳播或局域的邊界態(tài).這種邊界態(tài)受體拓?fù)涞谋Ｗo(hù),具有抗無序、抑制背向散射等特性,在信號(hào)的無損傳輸方面有潛在的應(yīng)用價(jià)值,因此受到了研究者的廣泛關(guān)注[1-5].根據(jù)不同的體-邊對(duì)應(yīng),可以將拓?fù)浣^緣體分為傳統(tǒng)拓?fù)浣^緣體和高階拓?fù)浣^緣體.傳統(tǒng)拓?fù)浣^緣體又稱為一階拓?fù)浣^緣體,其具有比體結(jié)構(gòu)低一個(gè)維度的邊界態(tài),即d維結(jié)構(gòu)具有(d-1)維無能隙的邊界態(tài);高階拓?fù)浣^緣體主要包括二階和三階拓?fù)浣^緣體,二階拓?fù)浣^緣體的邊界態(tài)比體結(jié)構(gòu)低2 個(gè)維度,三階拓?fù)浣^緣體的邊界態(tài)比體結(jié)構(gòu)低3 個(gè)維度,即d維結(jié)構(gòu)具有 (d-n) 維的邊界態(tài),其中 1＜n≤d.二階拓?fù)浣^緣體可以是二維和三維結(jié)構(gòu),三階拓?fù)浣^緣體可以在三維結(jié)構(gòu)中找到[6-10].

二維二階拓?fù)浣^緣體是比較典型的高階拓?fù)浣^緣體,與傳統(tǒng)二維拓?fù)浣^緣體具有無能隙的一維拓?fù)溥吔鐟B(tài)不同,二維二階拓?fù)浣^緣體具有受拓?fù)浔Ｗo(hù)的零維角態(tài).2017 年,Benalcazar 等[11]將電偶極矩推廣到了電多極矩,提出了四極矩拓?fù)浣^緣體的概念.該拓?fù)浣^緣體具有量子化的四極矩,其邊界上存在受拓?fù)浔Ｗo(hù)的零維角態(tài).隨后,四極矩拓?fù)浣^緣體在多種經(jīng)典波系統(tǒng)被實(shí)現(xiàn),如光學(xué)[12]、聲學(xué)[13]、電路[14]系統(tǒng)等.繼四極矩拓?fù)浣^緣體之后,又有很多二階拓?fù)浣^緣體被發(fā)現(xiàn),其中最常見的是Wannier 類型的二階拓?fù)浣^緣體,它的拓?fù)洳蛔兞坑膳c偶極矩相關(guān)的Wannier 中心來描述,如Kagome 模型[15-18]和二維SSH 模型[19-21]就是典型的Wannier 類型二階拓?fù)浣^緣體.最近,研究發(fā)現(xiàn)在類石墨烯(蜂窩)結(jié)構(gòu)中也存在角態(tài)[22-24],并且具有量子化的四極矩[23],這與四極矩拓?fù)浣^緣體類似.不同的是,四極矩拓?fù)浣^緣體需要正負(fù)耦合同時(shí)作用,而蜂窩結(jié)構(gòu)只需要正/負(fù)耦合,這在聲學(xué)系統(tǒng)中容易實(shí)現(xiàn).Zhang 等[25]在聲學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了蜂窩結(jié)構(gòu)的二階拓?fù)浣^緣體,但其研究的是疇壁誘導(dǎo)的拓?fù)浣菓B(tài),屬于界面態(tài)(存在于拓?fù)湎嗪推接瓜嘈纬傻慕缑?,對(duì)非界面態(tài)的角態(tài)還有待研究.

本文構(gòu)建了一種新型的聲學(xué)蜂窩結(jié)構(gòu),通過調(diào)節(jié)胞內(nèi)耦合(lintra)和胞間耦合(linter)的強(qiáng)度可以產(chǎn)生拓?fù)湎嘧?相變點(diǎn)為linter/lintra=1 ;當(dāng)linter/lintra＜1時(shí),系統(tǒng)是平庸的;當(dāng)linter/lintra＞1 時(shí),系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)槎A拓?fù)浣^緣體.隨后基于六邊形和三角形結(jié)構(gòu),研究了兩種系統(tǒng)中的拓?fù)涮匦?發(fā)現(xiàn)只有處于拓?fù)湎嗟牧呅畏涓C結(jié)構(gòu)在體帶隙中才存在受拓?fù)浔Ｗo(hù)的角態(tài),可以免疫一定程度的缺陷,具有魯棒性.

2 研究?jī)?nèi)容

2.1 聲學(xué)模型介紹

二維聲學(xué)蜂窩結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示,模型建立在x-y平面內(nèi)(z方向無限),其中藍(lán)色六邊形表示該蜂窩結(jié)構(gòu)的單胞,其放大圖呈現(xiàn)在圖1(c)中,單胞的等效三維結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示.單胞內(nèi)包含六根正三角形的空氣柱,邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)=6 cm,相鄰柱子之間的距離為.所有三角形的朝向都與晶格點(diǎn)陣的高對(duì)稱方向重合,使得整個(gè)系統(tǒng)具有C6v對(duì)稱性,晶格常數(shù)則為a=3r.三角形柱子之間通過耦合波導(dǎo)管連接,胞內(nèi)柱子之間耦合波導(dǎo)管的寬度為lintra,其大小控制著胞內(nèi)耦合強(qiáng)度,為了方便描述,稱lintra為胞內(nèi)耦合;同理,linter(胞內(nèi)與胞外柱子之間波導(dǎo)管的寬度)為胞間耦合.通過調(diào)節(jié)胞內(nèi)和胞間耦合的大小,可以改變聲學(xué)蜂窩結(jié)構(gòu)的能帶以及物理性質(zhì).圖1(d)表示單胞的第一布里淵區(qū).本文所有的數(shù)值模擬均通過有限元求解器COMSOL MULTIPHYISCS來完成.

圖1 (a)聲學(xué)蜂窩結(jié)構(gòu),藍(lán)色區(qū)域表示單胞;(b)單胞三維結(jié)構(gòu)圖;(c)單胞二維結(jié)構(gòu)放大圖;(d)單胞對(duì)應(yīng)的第一布里淵區(qū),b1和b2為倒格子基矢,其中Fig.1.(a) Acoustic honeycomb structure,theunit cell depicted in blue areas;(b) three-dimensional structure diagram of a unit cell;(c) enlarged image of two-dimensional structure a unit cell;(d) the first Brillouin zone (BZ) of the unit cell,where the reciprocal lattice vectors are

2.2 體能帶與拓?fù)湎嘧?/h3>

在早期拓?fù)鋺B(tài)的研究中,蜂窩結(jié)構(gòu)往往用來實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾絕緣體(屬于傳統(tǒng)拓?fù)浣^緣體),通過打開狄拉克點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn)、產(chǎn)生拓?fù)湎嘧僛4,26].本文設(shè)計(jì)的蜂窩結(jié)構(gòu)亦是如此,通過改變胞內(nèi)和胞間的耦合強(qiáng)度來控制狄拉克點(diǎn)的打開和關(guān)閉.圖2(a)中展示了不同耦合強(qiáng)度下聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu).當(dāng)linter/lintra=1 時(shí),在布里淵區(qū)的Γ點(diǎn)出現(xiàn)一個(gè)四重簡(jiǎn)并點(diǎn),形成了雙狄拉克錐,其形成機(jī)理可通過能帶折疊原理來解釋[22,26,27];當(dāng)linter/lintra/=1時(shí),四重簡(jiǎn)并點(diǎn)分裂成兩個(gè)雙重簡(jiǎn)并點(diǎn),這些簡(jiǎn)并態(tài)的本征模式如圖2(b)所示.當(dāng)linter/lintra=0.4時(shí),d 態(tài)的頻率比p 態(tài)的頻率高,兩者之間的帶隙范圍為1408.2—1749.7 Hz,此時(shí)帶隙上方是一對(duì)贗自旋四極態(tài),類似于 dxy型軌道,關(guān)于x/y軸奇對(duì)稱或者類似于 dx2-y2型軌道,關(guān)于x/y軸偶對(duì)稱;另一方面,在帶隙下方出現(xiàn)一對(duì)贗自旋偶極態(tài),類似于 px/py型軌道,關(guān)于x/y軸偶對(duì)稱或者奇對(duì)稱.而當(dāng)linter/lintra=2 時(shí),d 態(tài)的頻率比p 態(tài)的低,兩者之間帶隙范圍為1425.4—1738.5 Hz,贗自旋四極態(tài) dxy/dx2-y2和贗自旋偶極態(tài) px/py分別位于帶隙的下方和上方.可以看出在這兩種情況下,d 態(tài)和p 態(tài)的位置發(fā)生了交換,即發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn).

圖2 (a)當(dāng) linter/lintra=0.4,1.0,2.0 時(shí),蜂窩結(jié)構(gòu)的體能帶,+(-)號(hào)表示偶(奇)宇稱;(b) Γ 點(diǎn)的本征模式;px 和 py 表示贗自旋偶極模式,dxy 和 dx2-y2表示贗自旋四極模式;(c)拓?fù)湎嗯c能帶反轉(zhuǎn);蜂窩結(jié)構(gòu)具有平庸相(linter/lintra ＜1)和拓?fù)湎?linter/lintra ＞1);從圖中也可以清楚地看出能帶反轉(zhuǎn)伴隨著拓?fù)湎嘧僃ig.2.(a) The bulk band of the honeycomb lattice when linter/lintra=0.4,1.0,2.0,;+and —,for even and odd parities,respectively;(b) the corresponding acoustic eigenmodesat the Γpoint;pxand pydisplay pseudospin dipole modes,while dxyanddx2-y2 mark pseudospinquadrupole modes;(c) topological phase and band inversion;The honeycomb structure has trivial phase(linter/lintra ＜1) and topological phase (linter/lintra ＞1);it can also be clearly seen from the figure that the band inversion is accompanied by a topological phase transition.

通常情況下,能帶反轉(zhuǎn)伴隨著拓?fù)湎嘧?接下來對(duì)該體系的拓?fù)湎噙M(jìn)行詳細(xì)地分析.蜂窩結(jié)構(gòu)二階拓?fù)浣^緣體的拓?fù)湫再|(zhì)可以用四極矩Qij=描述[23],其中表示第n條能帶沿bi和bj(i,j=1,2)方向的偶極矩,與能帶在高對(duì)稱點(diǎn) (Γ和M)的宇稱ηn相關(guān)[28],寫為宇稱ηn為算符(繞z軸旋轉(zhuǎn) 180°)的特征值,σx和I3分別為泡利矩陣和 3×3的單位矩陣.蜂窩結(jié)構(gòu)具有C6v點(diǎn)群對(duì)稱性,因此ηn(M1)=ηn(M2)=ηn(M),可得P1n=P2n.研究表明:當(dāng)linter/lintra＜1 時(shí),帶隙下方三條能帶的偶極矩均為零,使得Qij=0,即系統(tǒng)是平庸的;而當(dāng)linter/lintra＞1 時(shí),帶隙下方三條能帶的偶極矩分別為 1/2,0 和 1/2,可得到非零的四極矩Qij=1/2,此時(shí)系統(tǒng)是拓?fù)涞?圖2(c)給出了該系統(tǒng)的拓?fù)湎嘁约?Γ 點(diǎn)的能帶反轉(zhuǎn),可以清晰看到能帶反轉(zhuǎn)伴隨著拓?fù)湎嘧?在調(diào)節(jié)耦合項(xiàng)大小時(shí),為保持單胞的填充率不變,要求胞內(nèi)和胞間耦合滿足2lintra+linter=3.6cm.

根據(jù)體-邊對(duì)應(yīng)原理可知,在有限大小蜂窩結(jié)構(gòu)的邊角會(huì)出現(xiàn)受拓?fù)浔Ｗo(hù)的零維角態(tài)[22,29].但是,并非任意角都會(huì)存在拓?fù)浣菓B(tài).接下來將設(shè)計(jì)六邊形和三角形構(gòu)型的有限結(jié)構(gòu),它們分別具有不同的角構(gòu)型,即鈍角和銳角.研究這兩種構(gòu)型的角是否會(huì)產(chǎn)生拓?fù)浣菓B(tài),以及分析拓?fù)浣菓B(tài)的魯棒性.在設(shè)計(jì)有限結(jié)構(gòu)的邊界時(shí),應(yīng)盡量保持單胞的完整性,以免破壞系統(tǒng)的對(duì)稱性,從而更好地體現(xiàn)體-邊對(duì)應(yīng).

2.3 六邊形構(gòu)型中的拓?fù)浣菓B(tài)

如圖3(a)所示,六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)由37 個(gè)單胞構(gòu)成.該結(jié)構(gòu)的本征頻譜計(jì)算結(jié)果表明:當(dāng)linter/lintra=2(拓?fù)湎?時(shí),體帶隙中出現(xiàn)了角態(tài)(紅色)和邊界態(tài)(藍(lán)色),如圖3(b)所示;當(dāng)linter/lintra=0.4(平庸相)時(shí),體帶隙中并未出現(xiàn)任何邊界態(tài).圖3(d)—(f)分別給出了體態(tài)(1327.5 Hz)、邊界態(tài)(1543.4 Hz)和角態(tài)(1566.1 Hz)的本征場(chǎng)分布.可以看出,角態(tài)的能量被限制在六邊形的6 個(gè)鈍角,幾乎沒有能量泄漏到邊界和體結(jié)構(gòu)中.

圖3 (a)六邊形蜂窩結(jié)構(gòu);(b)和(c)分別為拓?fù)浜推接沽呅畏涓C結(jié)構(gòu)的本征頻譜;黑色、藍(lán)色和紅色的點(diǎn)分別表示體態(tài)、邊界態(tài)和角態(tài).(d)—(f)分別為體態(tài)(1327.5 Hz)、邊界態(tài)(1543.4 Hz)和角態(tài)(1566.1 Hz)的本征場(chǎng)分布.在(f)的插圖中給出了角點(diǎn)的順時(shí)針箭頭表示贗自旋向下,符號(hào)“±”類似于拓?fù)浜蒄ig.3.(a) Hexagonal honeycomb structure;(b) and (c) are the frequency spectrum of the topological and trivial hexagonal honeycomb structure;the black,blue and red dots represent the bulk,edge and corner states,respectively.(d)—(f) The eigen fields distribution of bulk state (1327.5 Hz),edge state (1543.4 Hz) and corner state (1566.1 Hz).The inserted clockwise arrow represents the spin-down pseudospin.The“+(-)”signs are similar to the topological charge on the corners.

在蜂窩結(jié)構(gòu)二階拓?fù)浣^緣體中,可以通過計(jì)算角態(tài)的拓?fù)渲笖?shù)N=|N+-N-|來判斷其拓?fù)湫再|(zhì)[22,30],N±=±1 表示本征場(chǎng)對(duì)應(yīng)的拓?fù)浜?當(dāng)N=1時(shí),角態(tài)是拓?fù)涞?當(dāng)N=0 時(shí),角態(tài)是平庸的.圖3(f)中給出了角態(tài)的拓?fù)渲笖?shù)(插圖),可得六邊形構(gòu)型中的拓?fù)渲笖?shù)N=1,說明該角態(tài)是拓?fù)涞?即拓?fù)浣菓B(tài).拓?fù)鋺B(tài)往往對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的平緩變化不敏感,具有魯棒性.接下來給六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)引入缺陷,探究角態(tài)的魯棒性.如圖4(a)所示,紅色圓環(huán)標(biāo)記的地方為缺陷,缺陷處的三角形柱子變小,與波導(dǎo)重合.該缺陷可以近似地認(rèn)為是由結(jié)構(gòu)參數(shù)平緩變化導(dǎo)致的.圖4(b)中給出了相應(yīng)的本征頻譜,此時(shí)角態(tài)的頻率為1592.5 Hz.相比于無缺陷時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的角態(tài),引入缺陷后系統(tǒng)角態(tài)的頻率移動(dòng)了26 Hz 左右.角態(tài)的本征場(chǎng)分布如圖4(c)所示,能量還是局域在角的3 個(gè)空氣柱中,與無缺陷時(shí)的角態(tài)高度相似.雖然缺陷使角態(tài)的頻率產(chǎn)生了較小程度的變化,但是幾乎沒有改變其本征場(chǎng)的分布.因此,該角態(tài)對(duì)缺陷具有一定的魯棒性.表明六邊形構(gòu)型中的角態(tài)是受拓?fù)浔Ｗo(hù)的.

圖4 (a)引入缺陷后的六邊形蜂窩結(jié)構(gòu);(b)頻譜;(c)角態(tài)(1592.5 Hz)的本征場(chǎng)分布Fig.4.(a) Hexagonal honeycomb structure with defects introduced;(b) frequency spectrum;(c) the eigenfield distribution of corner state (1592.5 Hz).

2.4 三角形構(gòu)型中的局域角態(tài)

三角形蜂窩結(jié)構(gòu)由21 個(gè)單胞組成(圖5(a)),當(dāng)結(jié)構(gòu)位于拓?fù)湎鄷r(shí),體帶隙中也會(huì)出現(xiàn)角態(tài)和邊界態(tài),如圖5(b)所示(linter/lintra=2).角態(tài)本征場(chǎng)分布如圖5(c)所示,此時(shí)角態(tài)的能量局域在三角形的3 個(gè)銳角.角態(tài)的拓?fù)渲笖?shù)N=0,這意味著該角態(tài)是拓?fù)淦接沟?為了證明該角態(tài)不受拓?fù)浔Ｗo(hù),引入與六邊形類似的缺陷,如圖5(d)所示.相應(yīng)的本征頻譜和角態(tài)的本征場(chǎng)分別呈現(xiàn)在圖5(e),(f)中.相比于無缺陷時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的角態(tài),該角態(tài)頻率移動(dòng)了55 Hz 左右;此外,本征場(chǎng)也發(fā)生了較大的變化,角態(tài)能量不再僅限于角上的4 根空氣柱,而是均勻地分布到6 根空氣柱中.可見,缺陷不僅使得該角態(tài)的頻率產(chǎn)生較大的變化,還破壞了其本征場(chǎng)的分布,與六邊形拓?fù)浣菓B(tài)形成了鮮明的對(duì)比(圖3 和圖4).說明三角形結(jié)構(gòu)中的角態(tài)并不具備魯棒性,是平庸的.

圖5 (a)三角形蜂窩結(jié)構(gòu);(b)三角形蜂窩結(jié)構(gòu)的本征頻譜;(c)角態(tài)(1604.5 Hz)的本征場(chǎng)分布;(d)—(f)分別為引入缺陷后的三角形蜂窩結(jié)構(gòu)、本征頻譜和角態(tài)(1660.2 Hz)的本征場(chǎng)分布Fig.5.(a) Triangular honeycomb structure;(b) the frequency spectrumof triangular honeycomb structure;(c) the eigenfield distribution of corner state (1604.5 Hz);(d)—(f) triangular honeycomb structure with defects introduced,frequency spectrum and the eigenfield distribution of corner state (1660.2 Hz).

值得注意的是,在六邊形構(gòu)型中,角落處是一個(gè)鈍角,角晶格有3 根胞間耦合與體連接,此時(shí)產(chǎn)生的角態(tài)屬于螺旋高階拓?fù)鋺B(tài),如圖3(f)插圖所示,意味著此時(shí)角態(tài)攜帶贗自旋[22].在三角形構(gòu)型中,角落處是一個(gè)銳角,角晶格只有2 根胞間耦合與體連接,這時(shí)產(chǎn)生的角態(tài)純粹是由晶格的局域性質(zhì)導(dǎo)致的普通共振模式,如圖5(c)插圖所示;這兩種角態(tài)產(chǎn)生的機(jī)制不同,在這兩種情況下,雖然晶格內(nèi)躍遷起作用,但對(duì)稱性的改變將會(huì)導(dǎo)致本征態(tài)的能級(jí)分裂和雜化.因此,在同樣的體單元構(gòu)建的三角形與六邊形有限結(jié)構(gòu)中,它們的角態(tài)會(huì)出現(xiàn)在不同的頻率.

3 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種聲學(xué)蜂窩結(jié)構(gòu),通過調(diào)節(jié)胞內(nèi)和胞間耦合波導(dǎo)管的寬度,使體能帶反轉(zhuǎn),產(chǎn)生拓?fù)湎嘧?結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì)可以用量子化的四極矩Qij表示,當(dāng)Qij=0時(shí),系統(tǒng)是平庸的;當(dāng)Qij=1/2時(shí),系統(tǒng)是拓?fù)涞?并且在處于拓?fù)湎鄷r(shí),六邊形和三角形構(gòu)型中均存在角態(tài),角態(tài)的能量被局域在相應(yīng)的角點(diǎn).研究表明,六邊形構(gòu)型中的角態(tài)受拓?fù)浔Ｗo(hù),對(duì)缺陷具有一定的魯棒性;而三角形構(gòu)型中的角態(tài)并不受拓?fù)浔Ｗo(hù),容易受缺陷的影響.該蜂窩結(jié)構(gòu)二階拓?fù)浣^緣體只需改變耦合波導(dǎo)管的尺寸就可以實(shí)現(xiàn),在聲信號(hào)的濾波、整流方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值.

感謝華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院的鄧偉胤教授、黃學(xué)勤教授、陸久陽(yáng)教授、吳吉恩博士在拓?fù)洳蛔兞康挠?jì)算方面給予的幫助,感謝武漢大學(xué)物理與科學(xué)技術(shù)學(xué)院何海龍副研究員在理論與仿真計(jì)算方面給予的指導(dǎo).