聲學蜂窩結構中的拓撲角態*

胡軍容 孔鵬? 畢仁貴 鄧科? 趙鶴平2)

1) (吉首大學物理系,吉首 416000)

2) (湖南財政經濟學院,長沙 410205)

高階拓撲絕緣體是近年來發現的一類具有特殊拓撲相的新型拓撲絕緣體,目前已在光學、聲學等多種經典波系統中實現.本文采用數值模擬方法研究了一種二維聲學蜂窩結構,通過調節胞內和胞間耦合波導管,使體能帶發生反轉誘導拓撲相變,進而利用拓撲相構建出聲學二階拓撲絕緣體.蜂窩結構的拓撲性質可以用量子化的四極矩 Qij表征,當 Qij=0時,系統是平庸的;而當 Qij=1/2 時,系統是拓撲的.基于該蜂窩結構,分別研究了六邊形和三角形結構的聲學高階態,在兩種構型的蜂窩結構中均觀測到了孤立的零維角態,研究結果表明只有存在鈍角的六邊形結構對缺陷具有魯棒性,受拓撲保護.本文的拓撲角態豐富了高階拓撲絕緣體的研究,同時可為緊湊聲學系統中的魯棒限制聲提供一條新途徑.

1 引言

拓撲絕緣體的特性是體內絕緣,但其邊界上存在傳播或局域的邊界態.這種邊界態受體拓撲的保護,具有抗無序、抑制背向散射等特性,在信號的無損傳輸方面有潛在的應用價值,因此受到了研究者的廣泛關注[1-5].根據不同的體-邊對應,可以將拓撲絕緣體分為傳統拓撲絕緣體和高階拓撲絕緣體.傳統拓撲絕緣體又稱為一階拓撲絕緣體,其具有比體結構低一個維度的邊界態,即d維結構具有(d-1)維無能隙的邊界態;高階拓撲絕緣體主要包括二階和三階拓撲絕緣體,二階拓撲絕緣體的邊界態比體結構低2 個維度,三階拓撲絕緣體的邊界態比體結構低3 個維度,即d維結構具有 (d-n) 維的邊界態,其中 1＜n≤d.二階拓撲絕緣體可以是二維和三維結構,三階拓撲絕緣體可以在三維結構中找到[6-10].

二維二階拓撲絕緣體是比較典型的高階拓撲絕緣體,與傳統二維拓撲絕緣體具有無能隙的一維拓撲邊界態不同,二維二階拓撲絕緣體具有受拓撲保護的零維角態.2017 年,Benalcazar 等[11]將電偶極矩推廣到了電多極矩,提出了四極矩拓撲絕緣體的概念.該拓撲絕緣體具有量子化的四極矩,其邊界上存在受拓撲保護的零維角態.隨后,四極矩拓撲絕緣體在多種經典波系統被實現,如光學[12]、聲學[13]、電路[14]系統等.繼四極矩拓撲絕緣體之后,又有很多二階拓撲絕緣體被發現,其中最常見的是Wannier 類型的二階拓撲絕緣體,它的拓撲不變量由與偶極矩相關的Wannier 中心來描述,如Kagome 模型[15-18]和二維SSH 模型[19-21]就是典型的Wannier 類型二階拓撲絕緣體.最近,研究發現在類石墨烯(蜂窩)結構中也存在角態[22-24],并且具有量子化的四極矩[23],這與四極矩拓撲絕緣體類似.不同的是,四極矩拓撲絕緣體需要正負耦合同時作用,而蜂窩結構只需要正/負耦合,這在聲學系統中容易實現.Zhang 等[25]在聲學系統中實現了蜂窩結構的二階拓撲絕緣體,但其研究的是疇壁誘導的拓撲角態,屬于界面態(存在于拓撲相和平庸相形成的界面),對非界面態的角態還有待研究.

本文構建了一種新型的聲學蜂窩結構,通過調節胞內耦合(lintra)和胞間耦合(linter)的強度可以產生拓撲相變:相變點為linter/lintra=1 ;當linter/lintra＜1時,系統是平庸的;當linter/lintra＞1 時,系統轉變為二階拓撲絕緣體.隨后基于六邊形和三角形結構,研究了兩種系統中的拓撲特性.發現只有處于拓撲相的六邊形蜂窩結構在體帶隙中才存在受拓撲保護的角態,可以免疫一定程度的缺陷,具有魯棒性.

2 研究內容

2.1 聲學模型介紹

二維聲學蜂窩結構如圖1(a)所示,模型建立在x-y平面內(z方向無限),其中藍色六邊形表示該蜂窩結構的單胞,其放大圖呈現在圖1(c)中,單胞的等效三維結構如圖1(b)所示.單胞內包含六根正三角形的空氣柱,邊長均為L=6 cm,相鄰柱子之間的距離為.所有三角形的朝向都與晶格點陣的高對稱方向重合,使得整個系統具有C6v對稱性,晶格常數則為a=3r.三角形柱子之間通過耦合波導管連接,胞內柱子之間耦合波導管的寬度為lintra,其大小控制著胞內耦合強度,為了方便描述,稱lintra為胞內耦合;同理,linter(胞內與胞外柱子之間波導管的寬度)為胞間耦合.通過調節胞內和胞間耦合的大小,可以改變聲學蜂窩結構的能帶以及物理性質.圖1(d)表示單胞的第一布里淵區.本文所有的數值模擬均通過有限元求解器COMSOL MULTIPHYISCS來完成.

圖1 (a)聲學蜂窩結構,藍色區域表示單胞;(b)單胞三維結構圖;(c)單胞二維結構放大圖;(d)單胞對應的第一布里淵區,b1和b2為倒格子基矢,其中Fig.1.(a) Acoustic honeycomb structure,theunit cell depicted in blue areas;(b) three-dimensional structure diagram of a unit cell;(c) enlarged image of two-dimensional structure a unit cell;(d) the first Brillouin zone (BZ) of the unit cell,where the reciprocal lattice vectors are

2.2 體能帶與拓撲相變

在早期拓撲態的研究中,蜂窩結構往往用來實現量子自旋霍爾絕緣體(屬于傳統拓撲絕緣體),通過打開狄拉克點來實現能帶反轉、產生拓撲相變[4,26].本文設計的蜂窩結構亦是如此,通過改變胞內和胞間的耦合強度來控制狄拉克點的打開和關閉.圖2(a)中展示了不同耦合強度下聲子晶體的能帶結構.當linter/lintra=1 時,在布里淵區的Γ點出現一個四重簡并點,形成了雙狄拉克錐,其形成機理可通過能帶折疊原理來解釋[22,26,27];當linter/lintra/=1時,四重簡并點分裂成兩個雙重簡并點,這些簡并態的本征模式如圖2(b)所示.當linter/lintra=0.4時,d 態的頻率比p 態的頻率高,兩者之間的帶隙范圍為1408.2—1749.7 Hz,此時帶隙上方是一對贗自旋四極態,類似于 dxy型軌道,關于x/y軸奇對稱或者類似于 dx2-y2型軌道,關于x/y軸偶對稱;另一方面,在帶隙下方出現一對贗自旋偶極態,類似于 px/py型軌道,關于x/y軸偶對稱或者奇對稱.而當linter/lintra=2 時,d 態的頻率比p 態的低,兩者之間帶隙范圍為1425.4—1738.5 Hz,贗自旋四極態 dxy/dx2-y2和贗自旋偶極態 px/py分別位于帶隙的下方和上方.可以看出在這兩種情況下,d 態和p 態的位置發生了交換,即發生了能帶反轉.

圖2 (a)當 linter/lintra=0.4,1.0,2.0 時,蜂窩結構的體能帶,+(-)號表示偶(奇)宇稱;(b) Γ 點的本征模式;px 和 py 表示贗自旋偶極模式,dxy 和 dx2-y2表示贗自旋四極模式;(c)拓撲相與能帶反轉;蜂窩結構具有平庸相(linter/lintra ＜1)和拓撲相(linter/lintra ＞1);從圖中也可以清楚地看出能帶反轉伴隨著拓撲相變Fig.2.(a) The bulk band of the honeycomb lattice when linter/lintra=0.4,1.0,2.0,;+and —,for even and odd parities,respectively;(b) the corresponding acoustic eigenmodesat the Γpoint;pxand pydisplay pseudospin dipole modes,while dxyanddx2-y2 mark pseudospinquadrupole modes;(c) topological phase and band inversion;The honeycomb structure has trivial phase(linter/lintra ＜1) and topological phase (linter/lintra ＞1);it can also be clearly seen from the figure that the band inversion is accompanied by a topological phase transition.

通常情況下,能帶反轉伴隨著拓撲相變,接下來對該體系的拓撲相進行詳細地分析.蜂窩結構二階拓撲絕緣體的拓撲性質可以用四極矩Qij=描述[23],其中表示第n條能帶沿bi和bj(i,j=1,2)方向的偶極矩,與能帶在高對稱點 (Γ和M)的宇稱ηn相關[28],寫為宇稱ηn為算符(繞z軸旋轉 180°)的特征值,σx和I3分別為泡利矩陣和 3×3的單位矩陣.蜂窩結構具有C6v點群對稱性,因此ηn(M1)=ηn(M2)=ηn(M),可得P1n=P2n.研究表明:當linter/lintra＜1 時,帶隙下方三條能帶的偶極矩均為零,使得Qij=0,即系統是平庸的;而當linter/lintra＞1 時,帶隙下方三條能帶的偶極矩分別為 1/2,0 和 1/2,可得到非零的四極矩Qij=1/2,此時系統是拓撲的.圖2(c)給出了該系統的拓撲相以及 Γ 點的能帶反轉,可以清晰看到能帶反轉伴隨著拓撲相變.在調節耦合項大小時,為保持單胞的填充率不變,要求胞內和胞間耦合滿足2lintra+linter=3.6cm.

根據體-邊對應原理可知,在有限大小蜂窩結構的邊角會出現受拓撲保護的零維角態[22,29].但是,并非任意角都會存在拓撲角態.接下來將設計六邊形和三角形構型的有限結構,它們分別具有不同的角構型,即鈍角和銳角.研究這兩種構型的角是否會產生拓撲角態,以及分析拓撲角態的魯棒性.在設計有限結構的邊界時,應盡量保持單胞的完整性,以免破壞系統的對稱性,從而更好地體現體-邊對應.

2.3 六邊形構型中的拓撲角態

如圖3(a)所示,六邊形蜂窩結構由37 個單胞構成.該結構的本征頻譜計算結果表明:當linter/lintra=2(拓撲相)時,體帶隙中出現了角態(紅色)和邊界態(藍色),如圖3(b)所示;當linter/lintra=0.4(平庸相)時,體帶隙中并未出現任何邊界態.圖3(d)—(f)分別給出了體態(1327.5 Hz)、邊界態(1543.4 Hz)和角態(1566.1 Hz)的本征場分布.可以看出,角態的能量被限制在六邊形的6 個鈍角,幾乎沒有能量泄漏到邊界和體結構中.

圖3 (a)六邊形蜂窩結構;(b)和(c)分別為拓撲和平庸六邊形蜂窩結構的本征頻譜;黑色、藍色和紅色的點分別表示體態、邊界態和角態.(d)—(f)分別為體態(1327.5 Hz)、邊界態(1543.4 Hz)和角態(1566.1 Hz)的本征場分布.在(f)的插圖中給出了角點的順時針箭頭表示贗自旋向下,符號“±”類似于拓撲荷Fig.3.(a) Hexagonal honeycomb structure;(b) and (c) are the frequency spectrum of the topological and trivial hexagonal honeycomb structure;the black,blue and red dots represent the bulk,edge and corner states,respectively.(d)—(f) The eigen fields distribution of bulk state (1327.5 Hz),edge state (1543.4 Hz) and corner state (1566.1 Hz).The inserted clockwise arrow represents the spin-down pseudospin.The“+(-)”signs are similar to the topological charge on the corners.

在蜂窩結構二階拓撲絕緣體中,可以通過計算角態的拓撲指數N=|N+-N-|來判斷其拓撲性質[22,30],N±=±1 表示本征場對應的拓撲荷:當N=1時,角態是拓撲的;當N=0 時,角態是平庸的.圖3(f)中給出了角態的拓撲指數(插圖),可得六邊形構型中的拓撲指數N=1,說明該角態是拓撲的,即拓撲角態.拓撲態往往對結構參數的平緩變化不敏感,具有魯棒性.接下來給六邊形蜂窩結構引入缺陷,探究角態的魯棒性.如圖4(a)所示,紅色圓環標記的地方為缺陷,缺陷處的三角形柱子變小,與波導重合.該缺陷可以近似地認為是由結構參數平緩變化導致的.圖4(b)中給出了相應的本征頻譜,此時角態的頻率為1592.5 Hz.相比于無缺陷時系統產生的角態,引入缺陷后系統角態的頻率移動了26 Hz 左右.角態的本征場分布如圖4(c)所示,能量還是局域在角的3 個空氣柱中,與無缺陷時的角態高度相似.雖然缺陷使角態的頻率產生了較小程度的變化,但是幾乎沒有改變其本征場的分布.因此,該角態對缺陷具有一定的魯棒性.表明六邊形構型中的角態是受拓撲保護的.

圖4 (a)引入缺陷后的六邊形蜂窩結構;(b)頻譜;(c)角態(1592.5 Hz)的本征場分布Fig.4.(a) Hexagonal honeycomb structure with defects introduced;(b) frequency spectrum;(c) the eigenfield distribution of corner state (1592.5 Hz).

2.4 三角形構型中的局域角態

三角形蜂窩結構由21 個單胞組成(圖5(a)),當結構位于拓撲相時,體帶隙中也會出現角態和邊界態,如圖5(b)所示(linter/lintra=2).角態本征場分布如圖5(c)所示,此時角態的能量局域在三角形的3 個銳角.角態的拓撲指數N=0,這意味著該角態是拓撲平庸的.為了證明該角態不受拓撲保護,引入與六邊形類似的缺陷,如圖5(d)所示.相應的本征頻譜和角態的本征場分別呈現在圖5(e),(f)中.相比于無缺陷時系統產生的角態,該角態頻率移動了55 Hz 左右;此外,本征場也發生了較大的變化,角態能量不再僅限于角上的4 根空氣柱,而是均勻地分布到6 根空氣柱中.可見,缺陷不僅使得該角態的頻率產生較大的變化,還破壞了其本征場的分布,與六邊形拓撲角態形成了鮮明的對比(圖3 和圖4).說明三角形結構中的角態并不具備魯棒性,是平庸的.

圖5 (a)三角形蜂窩結構;(b)三角形蜂窩結構的本征頻譜;(c)角態(1604.5 Hz)的本征場分布;(d)—(f)分別為引入缺陷后的三角形蜂窩結構、本征頻譜和角態(1660.2 Hz)的本征場分布Fig.5.(a) Triangular honeycomb structure;(b) the frequency spectrumof triangular honeycomb structure;(c) the eigenfield distribution of corner state (1604.5 Hz);(d)—(f) triangular honeycomb structure with defects introduced,frequency spectrum and the eigenfield distribution of corner state (1660.2 Hz).

值得注意的是,在六邊形構型中,角落處是一個鈍角,角晶格有3 根胞間耦合與體連接,此時產生的角態屬于螺旋高階拓撲態,如圖3(f)插圖所示,意味著此時角態攜帶贗自旋[22].在三角形構型中,角落處是一個銳角,角晶格只有2 根胞間耦合與體連接,這時產生的角態純粹是由晶格的局域性質導致的普通共振模式,如圖5(c)插圖所示;這兩種角態產生的機制不同,在這兩種情況下,雖然晶格內躍遷起作用,但對稱性的改變將會導致本征態的能級分裂和雜化.因此,在同樣的體單元構建的三角形與六邊形有限結構中,它們的角態會出現在不同的頻率.

3 結論

本文設計了一種聲學蜂窩結構,通過調節胞內和胞間耦合波導管的寬度,使體能帶反轉,產生拓撲相變.結構的拓撲性質可以用量子化的四極矩Qij表示,當Qij=0時,系統是平庸的;當Qij=1/2時,系統是拓撲的.并且在處于拓撲相時,六邊形和三角形構型中均存在角態,角態的能量被局域在相應的角點.研究表明,六邊形構型中的角態受拓撲保護,對缺陷具有一定的魯棒性;而三角形構型中的角態并不受拓撲保護,容易受缺陷的影響.該蜂窩結構二階拓撲絕緣體只需改變耦合波導管的尺寸就可以實現,在聲信號的濾波、整流方面具有潛在的應用價值.

感謝華南理工大學物理與光電學院的鄧偉胤教授、黃學勤教授、陸久陽教授、吳吉恩博士在拓撲不變量的計算方面給予的幫助,感謝武漢大學物理與科學技術學院何海龍副研究員在理論與仿真計算方面給予的指導.