一維六方準晶中橢圓夾雜與位錯的相互作用問題

范淑琦，李聯和，2

（1.內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2.內蒙古自治區應用數學中心，內蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

位錯與夾雜在力學的研究中極為重要。Deng 和Meguid［1］研究了無限壓電材料中位錯與橢圓夾雜相互作用引起的電彈性耦合效應問題。Gong 和Meguid［2-3］基于保角映射和級數展開，得到了彈性橢圓夾雜平面問題的一般解。Smith［4］研究了位錯與圓形夾雜的干涉問題并推廣該理論解決了縱向剪切下位錯與橢圓孔的干涉問題。Dundurs 和Mura［5］討論了位錯與圓形夾雜的干涉效應，給出了位錯所受力的表達式。Luo 和Chen［6］研究了三相復合材料圓柱中刃型位錯問題，并與兩相模型的結果進行對比。Jiang 和Liu［7］探究了夾雜與基體對界面層螺旋位錯的干涉效應，并得到界面應力函數的顯示解。Fang 等［8］研究了位于基體或夾雜中任意點的壓電螺型位錯與含界面裂紋圓形涂層夾雜的電彈耦合干涉問題。蔣純志等［9］研究了壓電復合材料中位于基體的壓電螺旋位錯與含共焦橢圓導電剛性橢圓夾雜的電彈相互作用。余敏等［10］研究了無窮遠縱向剪切和面內電勢共同作用下壓電螺型位錯與含共焦橢圓孔橢圓夾雜的電彈干涉問題。王旭和王子昆［11］考慮了壓電材料反平面應變狀態的橢圓夾雜及界面裂紋問題。

準晶是Shechtman 等［12］在1984 年發現的一種新固體，具有獨特的物理、力學性能。關于準晶彈性理論的研究獲得了很多重要的結論［13-17］。Liu 等［18-19］引入位移函數，簡化偏微分方程，解決了二維準晶體的平面彈性問題。Guo 等［20-24］利用復變函數法，構造保角映射，成功解決了一維六方準晶中圓孔帶裂紋的反平面問題。Yang 等［25］采用變函數法和保角映射技術，討論了一維六方壓電準晶中帶有三個不相等裂紋圓孔的反平面問題。Li 等［26-27］發展了準晶材料二維變形的Stroh 形式。Gao 等［28］用復勢法解決了含橢圓孔立方準晶的斷裂力學問題。

目前，關于準晶材料夾雜、缺陷相互作用問題的研究較少。Wang 和Yuan［29］引入廣義復變量法，研究了含裂紋和反平面剛性線夾雜的一維正交準晶體問題。Gao 和Ricoeur［30］探討了球型夾雜的三維問題，結果包含剛性夾雜，孔洞和裂紋等極限情況。Wang 和Schiavone［31-32］提出一種簡單有效的方法解決含基體和橢圓夾雜的十次準晶問題。Guo 等［33］利用保角映射，分析了一維六方壓電準晶含橢圓夾雜的相關問題。Wang和Guo［34］運用保角映射和洛朗展開技術，提出了一種三相共焦橢圓圓柱模型來分析一維六方壓電準晶復合材料的微觀力學問題。李聯和和劉官廳［35］研究了一維六方準晶中螺旋位錯和半無限楔形裂紋的相互作用，獲得了應力強度因子的解析解。Li 和Liu［36］應用保角映射和擾動技巧，探究了一維六方準晶中位錯與橢圓缺口相互作用，獲得了應力與位移的解析表達式。

本文討論了無限大一維六方準晶材料中的橢圓夾雜與位錯的相互作用問題，獲得了聲子場與相位子場界面應力的解析表達式，分析了位錯對界面應力的影響。

1 基本方程

設無限大一維六方準晶體的周期平面為xy平面，準周期方向沿坐標軸z軸的方向，根據文獻［13］，得到一維六方準晶材料反平面問題的應力與應變關系

幾何方程

平衡方程

其中σzi(i=x，y)，εzi和uz分別表示聲子場應力，應變和位移；Hzi，ωzi和wz分別表示相位子場應力，應變和位移；C44，K2和R3分別表示聲子場彈性常數，相位子場彈性常數和聲子場-相位子場耦合彈性常數。

由式（1）-（3）可得

由解析函數的性質及式（4）可得

其中G(z)=[Gu G w]T，Gu，Gw是關于復變量z的解析函數，Re 表示復函數的實部。

由式（1）—（3）和式（5），聲子場應力和相位子場應力可以表示為

這里tzx=[σzx Hzx]T，tzy=[σzy Hzy]T，i 是虛數單位，'表示對z求導。

沿任意曲線MN的合力T 可表示為

2 問題的描述與求解

考慮如圖1 所示的問題，無限大一維六方準晶材料中有一橢圓形夾雜，其長半軸，短半軸分別為a，b。設夾雜區域為S1，基體區域為S2，位錯芯位于點z0，Burgers 矢量為在無窮遠處受到反平面剪切力的作用。

圖1 含橢圓夾雜和位錯的一維六方準晶體Fig.1 One-dimensional hexagonal quasicrystal with elliptic inclusion and dislocation

本文借助保角映射［37］

其中

將z平面上沿兩焦點(-c，c)割開的橢圓內部映射到ξ平面的圓環內，圓環內外半徑分別為和1，將橢圓外部映射到單位圓外部，如圖2。

圖2 共形映射平面Fig.2 Conformal mapping plane

由保角映射式（8），式（5）-（7）可以改寫為

式中G(ξ)=G [Ω(ξ)]。

假設在界面上，應力與位移連續，則有

其中下標1 表示夾雜區域，下標2 表示基體區域。

將式（9）和式（11）分別代入式（12），可得

考慮z平面沿(-c，c)割開的裂紋面映射到ξ平面的圓周|ξ|=，為滿足z平面的連續條件，需要在ξ平面滿足

運用Schwarz 對稱原理，在ξ平面定義

因此，式（13）-（14）可表示為

由解析延拓原理可知，函數[G1(t)+G2*(t)]和[G2(t)+G1*(t)]，[C1G1(t)-C2G2*(t)] 和[C2G2(t)-C1G1*(t)]，分別越過單位圓周互為解析延拓，除孤立奇點外，它們在圓環域內全純，如圖2 所示，因此將問題轉化為ξ平面上分片區域函數的求解。

當無窮遠處受反平面剪切力時，復向量函數G2(z)可表示為

變換至ξ平面后，由式（20）有

在橢圓內，G1(z)全純，不計剛體位移，變換至ξ平面后，復向量函數G1(ξ)可表示為

由（16）式可得

由（17）式可知

根據界面面力連續構成的各區全純函數的邊界值，由式（18）可得

可用柯西型積分表示上述三式

式（28）的積分路徑如圖3 所示，由（28）式可得

圖3 積分路徑圖Fig.3 Integral path diagram

根據位移連續構成的各區全純函數的邊界值，由式（19）可得

可用柯西型積分表示上述三式

式（34）的積分路徑同樣如圖3，由上式可得

由式（29），（35）和式（30），（36）有

因此，可得到函數

不考慮相位子場時，方程（42）和（43）可以退化為文獻［38］相應的結論。

3 界面應力

在界面上，ξ=eiθ，n，s分別表示界面任意點的法線方向與切線方向，界面應力可表示為

將式（42）—（43）代入式（44）得

圖4 聲子場界面法向應力Fig.4 Interfacial stress in the normaldirection of the phonon field

圖5 相位子場界面法向應力Fig.5 Interfacial stress in the normaldirection of the phason field

圖6 聲子場界面切向應力Fig.6 Interfacial stress in thetangentialdirection of the phonon field

圖7 相位子場界面切向應力Fig.7 Interfacial stress in the tangential direction of the phason field

4 結論

本文研究了在無窮遠處受反平面剪切力作用下含一橢圓形夾雜和位錯的無限大一維六方準晶的彈性問題，給出了聲子場和相位子場界面應力的解析表達式。由數值結果可以看出，位錯作用點附近，界面應力的值較大，變化較明顯，說明界面應力受位錯影響大。