《空間向量與立體幾何》新舊教材的變化

■ 武漢市第十一中學 余春芳

一、整體內容安排變化

《空間向量與立體幾何》部分舊版教材在選修2-1第三章，共兩節3.1空間向量及其運算，3.2立體幾何中的向量方法，教學時間大約12課時；

新版教材在選擇性必修一第一章，共四節1.1空間向量及運算，1.2空間向量基本定理，1.3空間向量及其運算的坐標表示，1.4空間向量的應用，教學時間大約14課時。

從整體內容安排可以看出，新版教材內容細化，邏輯關系更清晰，增加了空間向量基本定理及坐標表示兩節內容，教學時長增加。因為空間向量基本定理揭示出空間任何一個向量都可以用三個不共面的向量唯一表示，因此空間中三個不共面的向量就構成了三維空間的一個基底，這為幾何問題代數化奠定了基礎。為了突出空間向量基本定理的基礎地位，新版教材將這一內容單設一節，不僅學習空間向量基本定理，還應用向量方法解決立體幾何問題。這是新舊教材這一單元最大的不同。

二、總體設計的變化

在兩本教材對應的教師教學用書中，分別提出了對本章的總體設計目標。

舊版教材教師教學用書中提出，空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角。空間向量的引入為解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具，在本章學生將平面向量及其運算推廣到空間，運用空間向量解決有關直線平面位置關系的問題，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發展空間想象能力和幾何直觀能力。

而在新版教材教師教學用書中還明確指出用空間向量描述空間直線平面間的平行垂直關系，用空間向量解決空間距離、夾角問題等。通過本章學習，側重提升學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等數學學科核心素養。

從兩者的變化可以看出，新版教材更注重多方面的學科核心素養培養。

三、學習目標的變化

在兩本教材對應的教師教學用書中，分別提出了對本章的學習目標，兩者的大部分目標相同，但少部分有變化。這里提出有變化的部分。

舊版教材教師教學用書中提出了能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直，新版教材中沒有這一條。

舊版教材教師教學用書中提出了能用向量方法證明有關直線平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）。新版教材教師教學用書中提出的是能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理。

舊版教材教師教學用書中提出能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角的計算問題。但新版教材教師教學用書在此基礎上還提出能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序。

新版教材教師教學用書還要求，在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置，探索并得出空間兩點間的距離公式。從兩者的變化可以看出，新教材增加了向量方法解決距離問題；增加了空間直角坐標系刻畫點的位置。

四、教材內容的變化

1.新版教材將概念進行整合。所有概念都集中在第一節，并將所有運算律集中到一起，學生更好地類比和對比。

2.新版教材中直線的方向向量概念更明晰，應用也更加廣泛，在多處可以看到方向向量的應用。

3.新版教材增加了投影向量的概念（見教材p7）

4.新版教材增加了空間直角坐標系的建立過程（見教材p16)，并指出本書建立的都是右手直角坐標系，這比舊版教材更詳盡更嚴謹，有利于學生深入理解建立空間直角坐標系的過程及規范。

5.新版教材增加了兩平面的夾角的概念（見教材p37頁），并提出了“兩個平面的夾角和這兩個平面形成的二面角有什么關系？”的思考題，讓學生不再糾結舊版教材中所求是銳二面角還是鈍二面角。

6.新版教材增加了空間向量解決幾何問題的應用。

7.新版教材增加了空間向量解決點線距離、點面距離公式（見教材p33頁p34頁）

五、例題思考題及課后習題的變化

1.新版教材減少了四點共面的思考題

2.新版教材刪去了公垂線的說法，但兩本書習題中均有求兩直線間的距離

3.新版教材刪去了舊版教材中物理知識中復雜的力的運算，改成簡單運算

4.新版教材刪去了舊版教材里復雜的字母運算，改成了具體的數字運算

5.新版教材刪去了舊版教材里的作圖題p86練習2及練習3和p89練習3

6.新版教材增加了空間直角坐標系下坐標的應用p18練習1，2，3，4

7.新版教材增加了用空間向量基底證明平行垂直及所成角p13例2例3，p14練習1，2，3

8.新版教材增加了法向量的求法P28例1

9.新版教材增加了探索性問題空間向量的求法p30例3，p44拓展探索16

10.新版教材增加了以非正方體的幾何體為載體的應用空間向量知識解決立體幾何問題p38練習1，2，3，4，p41頁練習2，3習題2，3，4，7

11.新版教材增加了兩個平面夾角的定義，減少了銳二面角鈍二面角的糾結p37例8p44習題

12.舊版教材中的p91例2三垂線定理變成了新版教材中的習題p19習題2

13.新版增加了空間向量的應用。舊教材中的p98習題3變成了新教材的例題P7例2

六、數學核心素養的變化

本章“空間向量與立體幾何”的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法是向量方法，通過本章的學習，側重提升學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等數學學科核心素養。通過新舊教材的對比，為了使學生得到思維方法上的訓練，新版教材根據知識的發生發展過程，利用“觀察”“思考”“探究”“小結”等欄目提出問題，引導學生層層深入地進行思考，逐步將學生的思維活動引向深入，幫助學生在獲得“四基”的過程中，逐步提高“四能”，發展數學實踐能力及創新意識，培育科學精神，促進學生學會學習。

從新版教材的編排可以看出，新版教材更關注內容的聯系性和整體性，構建空間向量與立體幾何的研究框架，通過形與數的結合，讓學生感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解，注重培養學生的數學抽象能力，數學運算能力。

而且，新版教材中類比平面向量研究空間向量的概念及其運算，關注其中維數帶來的變化，并關注空間向量與立體幾何知識間的聯系。例如，教材在定義共面向量時，通過畫出向量與平面平行的立體圖形幫助學生建立概念；在研究如何確定點的坐標和向量的坐標時，注意引導學生借助幾何直觀進行研究，并根據直線和平面垂直的判定定理解釋其中的道理；等等。這些安排都凸顯了教材在構建向量體系時對立體幾何的基本知識的重視。在學習過程中培養學生的邏輯推理能力，直觀想象能力，提升數形結合的能力，感悟立體幾何的本質。

在本章，突出用向量方法解決立體幾何問題，向量方法有別于綜合幾何方法。綜合幾何方法是借助圖形直觀理解，從公理、定義和定理等出發，通過邏輯推理解決幾何問題；而向量方法則是用向量表示幾何元素，通過向量運算解決幾何問題。通過空間向量，降低了綜合幾何方法中求異面直線所成角、直線與平面所成角、平面與平面所成角的難度，使學生能夠通過數學運算解決這些問題。學生還可以通過運算促進數學思維發展，養成程序化思考問題的習慣，形成一絲不茍嚴謹求實的科學精神。

七、結論和教學建議

結合新舊教材的變化，我們不難看出，新版教材知識更詳盡，更體系化，邏輯關系更強，更注重數學核心素養的培養。通過新舊教材的對比，特別是新舊教材的變化，筆者得出以下結論供大家參考：

1.深刻理解空間向量基本定理并會應用基底法解決空間幾何問題，特別是非正方體為載體的空間點線面位置關系、夾角及距離。教學中，應注意把具體的立體幾何問題作為學習向量方法的載體，通過問題的解決加深對向量法和立體幾何內容的理解。不能把向量方法等同于坐標法，一定要強調空間向量基本定理的核心地位，也要強調利用基底法解決立體幾何問題。

2.空間直角坐標系是空間向量運算坐標表示的基礎，對于空間直角坐標系的編排，基于使本章內容邏輯主線更加清晰的考慮，新舊教材有較大不同。新教材選擇了利用空間任意給定的一點和一個單位正交基底建立空間直角坐標系，并強調了右手系。

3.關注投影向量的意義及其在解決距離問題中的作用。空間向量的投影是新教材新增加的內容，課程標準對空間向量投影的概念及其應用都有明確的要求，所以，大家要特別關注課程標準的這一變化。向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的投影向量是變換的結果。空間向量投影概念的建立對于學生利用投影向量研究立體幾何問題有重要意義。

4.新版教材增加了空間點線距離、點面距離、面面距離及夾角公式。通過新舊教材的對比，垂直反映了距離的本質，法向量是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，因此教材中利用法向量和向量的投影研究距離和夾角問題，并給出了公式及解決此類問題的基本步驟。

5.新版教材增加了用向量方法解決探索性問題。探索性問題即存在性問題，在某線段上或某平面內找點或線滿足某些距離夾角等問題，這類問題用向量方法解決起來直觀快捷也降低了難度，新教材增加了對應的例題和習題。

6.新版教材通過一系列問題的引導學習，讓學生獲得“四基”提升數學核心素養。為了使學生得到思維上的訓練，新教材根據知識的發生發展過程，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目提出問題，引導學生層層深入思考，提升學生的數學核心素養。

總的說來，2020版教科書是在2017版教科書的基礎上修改補充完善的，我們要注意這些變化，在教學中深刻研究，在教學中滲透數學思想和方法，培養學生的思維能力，讓學生能夠更好地學習數學知識，提升數學核心素養。