基于三點公式的直角四面體優(yōu)化模型

向楓樺，楊賓峰，趙 震，李 博，郭嬌嬌

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077)

0 引言

磁場具有抗干擾能力強、穿透性強等優(yōu)勢[1]，在室內(nèi)、水下、地下以及人體這些特殊環(huán)境中作用尤為突出[2-4]，已經(jīng)成為一個研究熱點，涉及磁場的技術(shù)主要有磁傳感器技術(shù)[5]和磁測量技術(shù)[6]。

常見的磁傳感器模型有平面模型和立體模型，平面模型主要有三角形、正方形和十字形等傳感器模型，立體模型主要有直角四面體、正四面體和正六面體等結(jié)構(gòu)。三角形傳感器的設(shè)計思想屬于兩點公式，由于兩點公式誤差較大，因此該結(jié)構(gòu)測量精度不高[7]。正方形傳感器采用三點公式中的端點公式，由于三點公式優(yōu)于兩點公式，因此該結(jié)構(gòu)測量精度優(yōu)于三角形結(jié)構(gòu)，但是在z軸方向誤差較大[8]。十字形傳感器采用三點公式中的中點公式，由于中點公式優(yōu)于端點公式，因此該結(jié)構(gòu)測量精度優(yōu)于正方形結(jié)構(gòu)，但是同樣在z軸方向誤差較大[9]。直角四面體傳感器雖然可以充分利用每個軸上的磁場信息，但是由于采用兩點公式，因此整體誤差較大[10]。正四面體傳感器運用差分方程進行求解，雖然方法新穎，但是最后的測量精度同樣不高[11]。正六面體傳感器采用三點公式中的端點公式設(shè)計思想，雖然充分利用了三個軸上的信息，但是測量點與磁偶極子位置偏差較大，測量精度同樣不高[12]。總之，傳統(tǒng)傳感器模型存在誤差大或者無法充分利用z軸磁場信息的問題。本文針對此問題，提出基于三點公式的直角四面體優(yōu)化模型。

1 磁場梯度張量與數(shù)值微分基礎(chǔ)

1.1 梯度張量矩陣

磁梯度張量(magnetic gradient tensor ,MGT)蘊含了大量的磁場信息[13]。MGT是磁場梯度測磁技術(shù)的擴展和發(fā)展，磁感應(yīng)強度的三分量在三個方向上的分量變化率就是磁梯度張量矩陣，磁梯度張量矩陣一共有9個元素[14]，記作G，如下式：

(1)

根據(jù)Maxwell方程組，磁感應(yīng)強度的散度和旋度均為0，可以推出：

(2)

然后可以得出如下結(jié)論：

(3)

在式(3)中，可以看出梯度張量矩陣中的9個量只有5個獨立的元素。

1.2 梯度張量矩陣理論值計算

任意一點A(x,y,z)的磁場三分量為：

(4)

在式(4)中，可以看出Bx和By是關(guān)于x和y的輪換對稱多項式。

將式(4)中的磁場三分量分別求偏導(dǎo)數(shù)，得到理論上的獨立的五個磁梯度張量的表達式為：

(5)

1.3 數(shù)值微分基礎(chǔ)

如果一個函數(shù)f(x)滿足Δx=xk+1-xk=xk+2-xk+1足夠小這個條件時，并將這個函數(shù)記為f(x)=f(xk)。

則有：

1)兩點公式：

(6)

(7)

2)三點公式：

①端點公式：

(8)

(9)

②中點公式：

(10)

2 基于三點公式的直角四面體模型

2.1 直角四面體模型

傳統(tǒng)直角四面體模型一共4個傳感器，每個軸上都分布兩個傳感器，相鄰傳感器之間的距離相等，如圖1所示。

圖1 直角四面體傳感器模型Fig.1 Right-angle tetrahedral sensor model

根據(jù)兩點公式，得到MGT的獨立元素表達式為：

(11)

2.2 基于端點公式的直角四面體模型

由于端點公式需要用3個點來計算導(dǎo)數(shù)，因此每個軸上需要3個傳感器。如圖2所示，該模型一共7個傳感器，每個傳感器的型號大小一樣，每個軸上都分布3個傳感器，相鄰傳感器之間的相等，大小均為d。

圖2 基于端點公式的傳感器模型Fig.2 Sensor model based on endpoint formula

根據(jù)端點公式，得到MGT的獨立元素表達式為：

(12)

2.3 基于中點公式的直角四面體模型

如圖3所示，該模型一共6個傳感器，每個軸上都分布2個傳感器，相鄰傳感器之間的距離相等，大小為d。

圖3 基于中點公式的傳感器模型Fig.3 Sensor model based on midpoint formula

根據(jù)中點公式，MGT的獨立元素表達式為：

(13)

在式(13)中，由于該模型既可以測量出Bxy，又可以測量出Byx，并且兩者的值大小不一樣，為了充分利用磁場的信息，因此，對于Bxy是取兩者的平均值，其他量也類似。

3 仿真分析與優(yōu)化設(shè)計

3.1 測量陣列

利用Matlab軟件，對基于中點公式和基于端點公式的測量陣列進行理論仿真。以磁偶極子為原點建立三維坐標系，采樣陣列為81個點，其中z軸的距離恒定為1 m，x軸從-2 m到2 m，間隔為0.5 m，取9個點、y軸從-2 m到2 m，間隔為0.5 m，也取9個點，建立如圖4所示的一個9×9的方格測量陣列。

圖4 測量陣列分布Fig.4 Measurement array distribution

3.2 不同傳感器模型的對比

為了比較不同傳感器模型的測量精度，在上述的測量陣列上對MGT中的5個獨立元素進行仿真計算，并與理論值進行對比分析，在Matlab中分別得到基于端點公式和中點公式的獨立元素分布圖，如圖5所示。

在圖5中：基于中點公式的傳感器模型的獨立元素分布曲線基本上與理論曲線一致；基于端點公式的傳感器模型獨立元素分布曲線與理論曲線在曲線形狀和曲線寬度上不一致。

為了進一步比較傳感器模型的精度，引入了常見的精度最高的十字形傳感器模型，與基于三點公式的兩種改進型模型進行對比分析。

相對誤差計算公式：

(14)

得到的相對誤差分布如表1所示。

表1 不同模型傳感器的相對誤差對比Tab.1 Error comparison of different model sensors

在表1中，基于中點公式的傳感器由于在x-y平面的設(shè)計與十字形相同，因此兩者的定位精度一樣，但是由于增加了z方向的傳感器，因此，在z方向上測量精度更高。

選取效果最好的中點公式模型，仿真得到的三維分布圖如圖6所示。

圖5 獨立元素的對比圖Fig.5 Contrast figure of individual elements

圖6 三維分布圖Fig.6 Three-dimensional distribution

在圖6中，Bxx關(guān)于x軸對稱，Bxy關(guān)于x軸和y軸平分線對稱，Bxz關(guān)于x軸和z軸平分線對稱，Byy關(guān)于y軸對稱，Byz關(guān)于y軸和z軸平分線對稱。

3.3 目標函數(shù)構(gòu)建

將磁場三分量以函數(shù)形式表示為：

(15)

在基于中點公式的傳感器中，不再以等距建立模型，在x，y軸上，增加一個偏量ad，z軸方向增加一個偏量bd，同時保持同一個方向的傳感器的距離為2d，建立的磁場梯度的5個獨立元素的誤差函數(shù)如下。

構(gòu)建以下這個優(yōu)化模型，在-1～1范圍內(nèi)，求解f(a,b)的最小值，具體模型如下所示：

(16)

(17)

3.4 親和力計算

親和力計算公式為：

(18)

式(18)中，tk是抗原和抗體k的結(jié)合強度。

結(jié)合強度tk采用海明距離計算，表達式為：

(19)

3.5 免疫克隆算法實現(xiàn)流程

步驟1 初始化

設(shè)置免疫個體的維數(shù)為2，最大免疫代數(shù)為200次，免疫范圍的上限為1、下限為-1，免疫初值為0，相似度閾值為0.2，變異概率為0.7以及目標函數(shù)為f(a,b)等。

步驟2 計算個體濃度和激勵度

分別對個體進行濃度和激勵度計算，并將激勵度按升序排列。

步驟3 免疫循環(huán)

免疫循環(huán)階段不斷計算親和度和免疫種群激勵度，對抗體進行促進和抑制，保留親和度最高的個體[16]。

步驟4 群體更新

再生新種群的刺激度，使免疫種群與新種群融合。

3.6 仿真分析

在200次的迭代運算后，目標函數(shù)達到了一個最優(yōu)值為1.262 6×10-9，其中a為-8.157 4×10-2，b為6.813 4×10-2，迭代曲線如圖7所示，將優(yōu)化后的算法與前面基于中點公式的模型進行對比，如表2所示。

圖7 親和度進化曲線圖Fig.7 Affinity evolution curve

在圖7中，經(jīng)過200次的迭代運算后，目標函數(shù)的值達到了一個最小值，此時就可以得到最佳優(yōu)化模型。

表2 優(yōu)化模型與原模型的誤差對比Tab.2 Error comparison of optimization model and original model

在表2中顯然可以看出，相對于基于中點公式的原模型來說，5個磁場獨立分量經(jīng)過優(yōu)化之后，誤差明顯減小，說明優(yōu)化的結(jié)果是理想的。

4 結(jié)論

本文提出基于三點公式的直角四面體優(yōu)化模型。該模型運用三點公式重新對直角四面體模型進行設(shè)計并提出新的梯度張量計算公式，兩種結(jié)構(gòu)進行對比分析，得出基于中點公式的直角四面體模型效果好的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，基于免疫克隆算法對基于中點公式的直角四面體模型進行優(yōu)化處理，再次提高對梯度張量的測量精度。仿真結(jié)果表明，本方法能充分利用磁場的三軸信息對磁場梯度張量進行測量，并能夠提高磁梯度張量的測量精度。