從“探究與發現”走向“數學探究活動”

呂增鋒 楊潔

【摘 要】教師探究教學經驗的缺乏已經成為阻礙數學探究活動順利實施的重要因素。高中數學教材“探究與發現”欄目的教學實踐有助于教師積累數學探究活動的經驗，其教學過程經過遷移后可為數學探究活動所用，從而達到以“微探究”撬動“大探究”的實踐效果。

【關鍵詞】數學探究;數學育人;方向向量;參數方程

【作者簡介】呂增鋒，正高級教師，甬城教育名家，寧波市領軍拔尖人才;楊潔，一級教師，主要研究方向為數學建模與解題研究。

【基金項目】2021年浙江省教研課題“指向核心素養的高中數學建模課程開發與實踐研究”（G2021074）

自2006年9月起，人教A版高中數學教材就增加了“探究與發現”這一欄目。雖然“探究與發現”欄目是數學知識的延伸與拓展，不僅蘊含豐富的數學問題，而且隱藏著眾多的數學思想方法，是發展學生數學探究能力與理性思維的重要載體，但由于該欄目在數學主體知識之外，很多內容并不在高考范圍內，因此并沒有引起廣大一線教師的重視，甚至有的教師認為“探究與發現”欄目是多余的。隨著新課程改革的深入，數學建模與數學探究活動正式進入課堂，為此，新課程標準還專門為該內容的學習安排了10個課時。數學探究活動是研究數學內部問題的綜合實踐活動，它需要學生具備敏銳的問題意識，熟悉數學研究方法，而這些能力一般學生都很難達到。那么，“探究與發現”欄目與“數學探究活動”到底有何關聯？如何實現從“探究與發現”到“數學探究活動”的跨越？筆者對此進行研究，以期為教師教學提供參考。

一、“探究與發現”的數學主題與分類

通過對5冊人教A版高中數學新教材（以下簡稱人教A版新教材）進行梳理，筆者發現一共設置了11次“探究與發現”（ 其中“*”表示2007年人教版高中數學教材也有同樣的內容），見表1。其中必修第一冊中的“探究與發現”出現的次數最多，達到了4次，占比超過36.3;而選擇性必修第二冊出現的次數最少，只有1次。

從探究活動的內容來看，“探究與發現”的主題可以分為知識拓展類、數學應用類、思想方法類、數學史類等。例如，“互為反函數的兩個函數圖象的關系”“為什么y=±bax是雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線”屬于知識拓展類;“利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”屬于數學應用類;“牛頓法——用導數方法求方程近似解”則屬于數學思想方法類;“祖暅原理與柱體、錐體的體積”既蘊含豐富的數學史實，又體現了微積分思想及其應用。因此，它兼具數學應用類、思想方法類與數學史類的特點。從探究活動的完成方式來看，“探究與發現”的主題可以分為交流型數學探究、調查型數學探究以及實驗型數學探究[1]。從探究活動的開放水平來看，“探究與發現”的主題還可以分為問題起始型探究、證據起始型探究、結論起始型探究、論證起始型探究[2]。當然，“探究與發現”的主題還有其他的分類方法，在此不再贅述。

二、以“微探究”撬動“大探究”

數學探究活動是高中數學課程中引入的一種新的學習方式，它是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程。但在教學實踐中，由于缺乏數學探究活動的實施經驗，從而出現探究主題不明確、教師過度干預、過程流于形式、思維深度不夠等現象，而“探究與發現”欄目的開設有助于扭轉這一局面。

數學探究活動是一項數學研究活動，其過程包括：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。例如，在人教A版新教材必修第二冊“用向量法研究三角形的性質”的數學探究活動中，教材不僅設計了完整而系統的探究任務，即從研究的思路、內容、方法等角度對初中研究三角形的過程進行梳理，用向量方法對已有的結論進行證明，總結向量方法處理幾何問題的基本程序，立足向量視角發現新的數學結論等，而且還規定了探究的具體要求，即小組集體討論探究方案，確定研究思路;以專題作業的形式撰寫研究報告;完善研究成果，全班進行成果交流、評價等。

從字面上看，“探究”“發現”是并列關系，即探究的過程也是試圖發現的過程，相比數學探究活動，明顯少了一些復雜性和系統性。如果說數學探究活動是對數學問題的一次“大探究”“大發現”，那么探究與發現充其量就是一次“微探究”“小發現”，例如，“互為反函數的兩個函數圖象的關系”就是為了發現“互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱”這一基本事實;“方向向量與直線的參數方程”就是在向量視角下推導直線的參數方程。因此，問題指向明確、探究任務簡單是探究與發現的典型特征。

雖然數學探究活動立足于數學的宏觀研究，探究與發現針對的是數學的微觀結論，但兩者都是探究式學習。無非是數學探究活動學生自主探究多，教師干預少，探究活動貫穿在整個學習過程中;探究與發現更多是在教師的指導下進行有序探究，探究任務簡單，相對容易完成。探究與發現的開展可以為數學探究活動的實施積累寶貴的經驗，其教學過程經過遷移后可為數學探究活動所用，從而達到以“微探究”撬動“大探究”的實踐效果。

三、從“探究與發現”走向“數學探究活動”

基于“微探究”服務于“大探究”的認識，“探究與發現”在教學目標的定位上應該立足數學探究的育人功能，在教學流程上要凸顯數學探究的過程，在教學評價上要力求數學探究成果的多樣性，從而實現“探究與發現”與“數學探究活動”的無縫對接。接下來，筆者以人教A版新教材選擇性必修第一冊的“方向向量與直線的參數方程”為例，談談具體的做法。

（一）分析探究材料的育人功能

與一般的教學內容不同，“探究與發現”欄目中的材料一般都具有較強的綜合性和研究性，問題的解決思路往往直指核心素養的中樞。因此，“探究與發現”教學設計不能被零碎的知識點所束縛，對于探究材料的解讀，教師不僅要關注“四基”“四能”，還要著重分析其潛在的育人功能，以育人功能來統領知識點與數學思想方法，從而有效設計教學活動，這樣才能更好地發揮數學探究活動的應有價值。

探究材料的“方向向量與直線的參數方程”，從內容上看是借助直線的方向向量來推導直線的參數方程，但推導過程中卻蘊含著豐富的育人功能。首先，向量的工具作用得到進一步凸顯。學生通過之前的學習已經知道向量能夠作為研究平面幾何與立體幾何的工具，而通過這節內容的學習之后，發現解析幾何也可以借助向量進行研究。其次，聯系的觀點得到進一步加強。不僅向量與幾何存在聯系，參數方程與普通方程，以及數學與物理也有聯系。再次，整體與局部的視角轉化開始啟動。例如在物理學習中，我們往往會把復雜的運動分解為簡單的運動進行研究，如在研究平拋運動時，我們將其分解成水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動。同樣，在數學中，有時直接推導曲線的普通方程比較困難，而推導參數方程則比較容易，所以可先求參數方程，然后再把參數方程轉化為普通方程，這種以局部來刻畫整體的研究思路可以起到化繁為簡、化難為易的效果。最后，“運動中的不變性”的核心思想開始萌發。這個思想是解析幾何中曲線方程的推導依據，在此之前教材并沒有明確給出“直線”的幾何定義，而方向向量及物理勻速運動的介入，直線就可以看成是質點按照給定的方向勻速運動所形成的軌跡。

（二）對探究材料進行再加工

教材中探究材料的來源一般有四個途徑：一是課堂教學內容的自然延伸;二是對實際生活的思考;三是不同數學內容之間的聯系和類比;四是數學與其他學科內容的交叉。但受到教材的篇幅限制，探究材料的內容往往比較精簡，比如，“互為反函數的兩個函數圖象的關系”只占不到半頁的篇幅，而“方向向量與直線的參數方程”最多占了一頁的篇幅。因此，單憑這些材料本身是不足以構成一節完整的數學探究課的，這就需要教師圍繞探究材料的育人功能，對探究材料進行再加工。

在“方向向量與直線的參數方程”中，教材重點關注直線參數方程的推導，以及參數方程和普通方程的相互轉化，而對于為什么要學參數方程？參數方程有什么用？直線參數方程中參數的幾何意義及應用等關鍵問題卻沒有進行解釋。如果直接照搬教材內容進行教學，只能讓學生“知其然”，而“不知其所以然”，更是無法“知何由以知其所以然”，這不僅不利于學生學習動機的激發，而且無法發揮本節課的育人功能。因此，把教材缺失的內容補足并進行再加工是開展“探究與發現”教學的關鍵，它考驗了教師創造性使用教材的水平。本節課補充的內容具體見表2。

（三）設計問題驅動教學進程

問題是數學探究的驅動力，是幫助學生完成探究學習的腳手架。教師可先把課堂教學分為若干個環節，然后圍繞著這些環節設計一個個相對獨立卻又緊密聯系的問題，最后通過對這些問題的思考來推進學生的探究學習。“方向向量與直線的參數方程”這節課主要由引入、推導、辨析、應用四個環節組成，其問題設計如下。

環節一：引入

在物理學中，對于復雜的運動往往被分解為簡單的運動加以研究，比如，平拋運動的運動軌跡是比較復雜的拋物線（部分），物理學家在研究該運動時，通常把它分解為水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動。在數學中，有些曲線的軌跡方程很難直接表示為關于x，y的普通方程，而是把x與y分別表示出來，比如，圓的擺線方程通常被表示為x=r（θ-sinθ）y=r（1-cosθ），這個方程最大的特點是分別呈現了x，y與參數θ之間的關系，而沒有給出x，y之間的直接關系，我們把這一類方程稱作參數方程。

問題1-1 為什么平拋運動可以被分解為水平和豎直方向的運動？（平面向量基本定理）

問題1-2 參數方程具有怎樣的特點？（方程組形式，以參數作為連接x，y之間的橋梁）

【設計意圖】通過對平拋運動中速度的分解與合成的探究，教師既讓學生了解了參數方程的現實背景，又讓學生體會到學習參數方程的意義。

環節二：推導

前面學習了直線的點斜式、兩點式、一般式等多種形式的方程，這些方程都是對x，y之間關系的直接反映，這類方程都被稱為普通方程。接下來教師引導學生學習直線的參數方程。

問題2-1 確定一條直線需要什么條件？[一個點P0（x0，y0）與一個方向]

問題2-2 如何表示直線的方向？（方向向量v→）

問題2-3 直線與方向向量存在什么關系？（P0P=tv→）

問題2-4 方向向量能進行分解嗎？（按照坐標系進行正交分解）

問題2-5 根據直線與方向向量的關系，你能給出直線的幾何定義嗎？（以一個定點為出發點，按照固定的方向向兩邊無限延伸形成的軌跡為直線。）

問題2-6 直線的參數方程以什么作為參數比較合適？（t）

問題2-7 如何借助方向向量推導直線的參數方程？[設方向向量為v→=（m，n），直線上任意一點為P（x，y），則由向量共線的充要條件P0P=tv→，得

x=x0+mty=y0+nt

（t為參數）。]

【設計意圖】通過對方向向量與直線普通方程、參數方程關系的探究，教師讓學生體會方向向量在形成直線軌跡中所起的決定性作用。同時，在推導參數方程的過程中，凸顯了參數的幾何意義，學生體會到參數的媒介作用。

環節三：辨析

問題3-1 如何驗證方程x=x0+mty=y0+nt（t為參數）表示的是直線方程？（進行純粹性與完備性證明）

問題3-2 直線的參數方程與物理學中勻速運動有什么關系？[質點以速度v→=（m，n）勻速運動產生的運動軌跡為直線（射線），而這種運動可以被看作是水平與垂直方向兩種運動的合成。]

問題3-3 直線的參數方程唯一嗎？請舉例說明。（由于直線方向向量不唯一，因此直線的參數方程也不唯一。）

問題3-4 直線的參數方程與普通方程可以相互轉化嗎？（可以通過消參相互轉化）

問題3-5 直線的參數方程有沒有更好的表示形式？[引入方向向量v→=（cosθ，sinθ），其中θ是直線的傾斜角，則直線的參數方程可以表示為x=x0+tcosθy=y0+tsinθ（t為參數），這樣不僅可以從參數方程中獲得傾斜角的大小，而且還滿足|t|=|P0P|。]

【設計意圖】借助勻速運動揭示直線參數方程與普通方程的內在聯系，教師讓學生學會將參數方程與普通方程進行相互轉化。在探究參數的幾何意義的過程中，教師讓學生知道參數并不是唯一的。

環節四：應用

問題4-1 寫出經過點A（2，1）且傾斜角為60°的直線參數方程。

問題4-2 已知直線的參數方程為x=-1+ty=1+3t（t為參數），求直線的傾斜角。

問題4-3 已知直線的參數方程為x=-1+12ty=1+32t（t為參數），求直線上到點（-1，1）距離為2的點的坐標。

【設計意圖】教師讓學生能夠利用傾斜角寫出直線的參數方程，反之，能夠通過直線的參數方程求直線的傾斜角，同時體會參數方程在運算中的簡化作用。

波利亞認為，學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現、探究，因為這種理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系。數學探究活動就是一次奇妙的發現之旅、研究體驗和試錯經歷，對學生來說彌足珍貴。當前實施數學探究活動的焦點已不在于理論層面的“應然性”探討，而在于具體教學行為中的“實然性”操作[3]。“探究與發現”欄目不僅是教材的重要組成部分，還是數學探究活動走向“實然”的“敲門磚”。

參考文獻：

[1]周仕東，鄭長龍，付立海.科學探究活動的類型、功能以及活動方式[J].化學教育，2005（4）：9-11.

[2]劉云，張廣祥，黃永明，等.高中數學必修教科書中的數學探究活動分析[J].數學教育學報，2012（10）：76-79.

[3]謝益民. 反思中踐行：數學探究活動的實踐取向[J]. 教學與管理，2012（11）：53-55.

（責任編輯：陸順演）