考慮變有效載荷的機械臂自適應PID控制*

丁榮樂,侯 旋,孫文建,3

(1.南京機電職業技術學院 自動化系,江蘇 南京 211306;2.運城職業技術大學 印刷工程系,山西 運城 044000;3.太原理工大學 機械與運載工程學院,山西 太原 030024)

0 引 言

機械臂作為重要的末端執行器,在自動化裝配、搬運、焊接等領域得到了廣泛的應用[1]。在實際工程中,尤其是在執行物料搬運等任務時,機械臂的有效載荷往往隨時間變化。因此,研究變有效載荷條件下,機械臂的高效、魯棒控制方法具有重要意義[2,3]。

機械臂系統具有高非線性、強耦合性的特征。當考慮變有效載荷條件時,其動力學行為會發生顯著改變,控制復雜度高。

由于結構簡單,增益系數含義明確,PID控制在工業控制過程中得到了廣泛應用。但是,對于非線性受控對象而言,傳統的PID控制的控制效果較差[4]。目前,已有研究人員將PID控制與模糊邏輯、最優控制以及神經網絡等技術相結合,以實現對機械臂末端軌跡進行精確控制[5-7]。

然而,上述方法通常需要機械臂的精確動力學模型,且其實施過程復雜,會在很大程度上削弱PID控制在結構簡單性和模型獨立性方面的優勢,因而其難以在實際工程中得到有效利用。

同時,針對變有效載荷條件下的機械臂精確控制問題,研究人員也已提出了相應的自適應PID控制方法,以克服傳統PID由于增益系數恒定而產生的控制性能劣化問題。

ZHANG D等人[8]4-6研究了基于模型參考自適應(model reference adaptive control,MRAC)的PID控制(PID+MRAC);但其需要采用自適應算法對機器人動力學響應進行估計,因而增加了其對控制結構和計算的復雜性,降低了其自適應的速率。KUMAR V等人[9]研究了基于分數階算子的模糊PID控制方法;但模糊PID規則復雜,需要依靠專家經驗,且其分數階算子摒棄了PID控制的標準形式,因而也不利于工程應用。

可見,在變有效載荷情況下,采用具有恒定增益的傳統PID方法的控制性能較差,而已有的多數自適應PID方法又存在實現困難的問題。為此,學術界提出了基于時延控制(TDC)的機械臂PID增益確定方法。

CHANG P H等人[10]研究了經典TDC和標準PID控制之間的等價關系,完成了對PID控制增益的高效選擇;然而,在有效載荷變化較大的情況下,由于恒定增益PID控制存在局限性,導致該方法的控制精度明顯下降。LEE J Y等人[11]研究了具有非線性阻尼項的TDC,并推導出了具有可變增益的PID控制方法;然而,阻尼項旨在解決非線性摩擦問題,并不適用于對有效載荷變化條件下的機械臂進行控制。JIN M等人[12]研究了PID控制的自動增益整定方法,并將其自適應規則和TDC技術相結合;然而,該方法并未考慮有效載荷的顯著變化情況。

綜上所述,針對變有效載荷條件下的機械臂魯棒控制問題,筆者提出一種全新的自適應PID控制器,即首先建立變有效載荷條件下的n自由度(n-DOF)機械臂動力學模型;然后基于該模型,利用PID與TDC的等價關系,構建其自適應PID控制律,通過參數匹配確定PID控制器中相應的增益系數,并利用Lyapunov方法證明所提控制策略對于變有效載荷條件的魯棒性;最后,利用仿真分析和物理實驗,對所提方法的有效性進行驗證。

1 變有效載荷條件下機械臂動力學模型

n-DOF機械臂動力學模型可表示為[13]:

(1)

在考慮有效載荷變化的情況下,筆者建立各關節驅動電機的動力學方程如下:

(2)

式中:下標“m”,“l”,“p”—電機、連桿及有效載荷的表征符號;I—轉動慣量;Nratio—傳動比;m—質量;g—重力加速度;l—連桿長度;Ff—摩擦項。

由于有效載荷的變化直接反映在轉動慣量的變化中,并通過Nratio傳輸到τm,當末端執行器的實際慣性矩增加,或當Nratio減小時,考慮有效載荷的變化對于關節驅動電機的控制尤為重要。

此外,Ip是其自身關節以及其他關節的非線性函數,因此進一步增加了恒定增益PID控制處理大量有效載荷變化的難度。盡管經典PID控制中的各增益具有明確的物理意義,但通常會采用試錯法將三者調整為恒定值。因此,在考慮有效載荷顯著變化的前提下,自適應地確定上述各增益,是提高PID控制有效性的關鍵。

2 自適應PID控制器設計

在離散域中,PID控制和TDC之間存在等價關系,筆者基于該關系導出自適應PID控制律。

2.1 離散域中PID與TDC的等價性

離散域中的PID增量(速度)算法可表示為[14]3-4:

(3)

式中:下標“k”—離散時間指標;L—采樣時間;K—n階維比例增益矩陣;TD,TI—n階微分、積分時間矩陣;e—n維關節位置誤差向量,e=qd-q;qd—n維關節期望位置向量。

LEE J Y等人[15]提出了一種自適應時延控制(TDC)方法,并證明其能夠充分應對顯著的有效載荷變化。

TDC的離散形式如下:

(4)

(5)

(6)

對比式(5,6)可以看出,除某些參數不同外,兩者具有完全相同的功能結構。因此,可通過參數集匹配使得上述兩種控制律等效。

2.2 自適應PID控制方法

將式(5,6)中的參數進行匹配,可立即導出所需的PID增益,即:

(7)

(8)

(9)

圖1 由式(7)及式(8)確定的閉環系統

(10)

其中:

ΔK(s)?K(s)-K-≥0

(11)

筆者提出的控制律(10)可分為兩部分:(1)名義PID控制,其實質為一個恒定增益的PID控制;(2)補償有效載荷變化的自適應PID控制,其中,ΔK隨著有效載荷的顯著變化而進行自適應變化。

該PID控制的優勢在于:

(1)基于式(7),該方法繼承了TDC方法的無模型特性以及對有效載荷變化的魯棒性,無需對機械臂動力學和有效載荷進行任何計算;

(2)由于保持了經典PID控制的結構,該PID控制可以應用于現有的PID控制器中。

為便于實際應用,該自適應PID控制的參數整定過程需要滿足如下條件:

(1)PID增益TD和TI由誤差動力學公式確定,即:

(12)

(2)采樣周期L由控制硬件的計算能力決定,L越小,控制性能越好。由于L必須為常數,可以保證式(7);

(4)在無有效載荷情況下,僅需對參數αii進行試錯調節,參數從一個較小的正值開始增大,直到系統出現振蕩。

在實際工業控制過程中,可使用腕部傳感器對機械臂有效載荷是否存在及其變化情況進行監測。當有效載荷變化時,需要將自適應增益和控制輸入重置為初始值。

2.3 自適應PID控制方法穩定性驗證

由于該自適應PID控制與自適應TDC相同,要采用等效方法對此進行證明。首先,筆者結合式(9),將閉環系統動力學方程重寫為:

(13)

引入Lyapunov候選函數V為:

(14)

其中:

(15)

且當si和ΔKii非零時,有V>0。

取V的時間導數,并將式(5,6,13)代入,得到:

(16)

(17)

3 仿真分析與實驗驗證

3.1 仿真分析

為驗證該控制方法在機械臂有效載荷顯著變化時的自適應性能,筆者首先采用單自由度機械臂進行仿真分析。

Nratio=1的單自由度機械臂簡圖如圖2所示。

圖2 Nratio=1的單自由度機械臂簡圖

圖2中,筆者設定系統所涉及的動力學參數值為:連桿質量ml=1.0 kg,l=1.0 m,g=9.8 m/s2,黏性摩擦系數fV=10.0 N·m·s,庫侖摩擦系數fC=10.0 N·m。

機械臂的期望運行軌跡如圖3所示。

圖3 機械臂期望運行軌跡

由上述參數可得出跟蹤誤差動力學方程為:

(18)

在采樣周期L=2 ms的條件下,筆者利用跟蹤誤差的均方根值來表征其跟蹤精度。

該案例中,有效載荷mp的變化規律為:0～20 s內為0 kg,20 s時變為5 kg,40 s時變為1 kg,60 s時變為3 kg;并假設有效載荷的變化由腕部傳感器檢測,以便識別其瞬時變化。

筆者將該方法與兩種具有恒定增益的PID控制方法進行比較:第一種為經典PID控制PIDconventional,其增益在無有效載荷變化的情況下通過試錯方法進行調整;第二種為PIDretuned,通過將PIDconventional和所提方法進行比較,修改了PIDconventional的增益K和TD。

在本例中,PIDconventional的增益分別為K=70 000,TD=0.1,TI=0.2;而PIDretuned的增益分別為K=149 600,TD=0.05,TI=0.2。

該方法的自適應增益K及變量s的變化曲線如圖4所示。

圖4 所提方法的自適應增益K及變量s的變化曲線

圖4(a)中,當機械臂有效載荷分別在20 s、40 s、60 s處發生變化時,增益K對應進行自適應變化;同時,在圖4(c)中,根據式(7～9),增益K的自適應調節源于變量s的“驅動”。在本例中,即圖4(b)中,K的自適應時間約為0.2 s。

該方法與PIDconventional及PIDretuned的控制效果對比如圖5所示。

圖5 所提方法與PIDconventional及PIDretuned的控制效果對比

圖5(a)中,該方法的增益K依據有效負載變化而進行自適應變化,而PIDconventional和PIDretuned的增益為恒定值;

圖5(b)中,經過自適應過程,該PID控制具有更加優良的跟蹤精度。此外,該方法的控制誤差在有效載荷變化瞬間具有較大的跳躍,這是由于自適應過程的初始化所導致,而初始化對于以自適應過程的速率和穩定性是必要的[17]。

進一步,筆者將所提方法與帶MRAC的PID控制(PID+MRAC)進行對比。

在PID+MRAC中,筆者設置參考模型為100/(j2+20j+100),其中:j是拉普拉斯變量,PID增益分別為K=40、TD=0.05以及TI=4;MRAC的參數設置為Cv=20、Cp=100、Fv=20、Fp=100,自適應增益γ=8 000。

該方法與PID+MARC的控制效果對比如圖6所示。

圖6 所提方法與PID+MRAC的控制效果對比

圖6中,在有效載荷變化條件下,盡管PID+MRAC也可保證其魯棒性,但其跟蹤誤差該方法明顯增大;同時,其瞬態相應相較于該方法過于緩慢,且在0 s時出現了較大幅度的振蕩。

最后,筆者將該方法分別與文獻[18]中的BP-神經網絡PID(BP-PID)及文獻[19]中的模糊PID(F-PID)控制方法進行對比。

對于BP神經網絡PID控制[20],網絡采用3-5-3型結構,輸入節點分別為跟蹤誤差、超調量及調節時間,傳遞函數為tansig函數,輸出節點為PID控制器的比例分量、積分時間、微分時間的單次調整量;

對于模糊PID控制,將關節位置誤差與誤差變化量(輸入參數)、以及PID控制器3個增益(輸出參數)量化至論域{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},論域和模糊子集相對應,用負大[NB]、負中[NM]、負小[NS]、零[ZO]、正小[PS]、正中[PM]、正大[PB]等7個檔次的語言變量值進行表達,輸入量和輸出量的隸屬度函數均選擇為高斯函數。

該方法與BP-PID及F-PID控制器的控制效果對比如圖7所示。

圖7 所提方法與BP-PID及F-PID控制器的控制效果對比

由圖7可以看出:在有效載荷發生較大變化條件下,由于BP-PID的梯度下降算法和數據及網絡結構的依賴性,以及F-PID在隸屬度函數及模糊準則方面的經驗性依賴等缺陷,相較于BP-PID及F-PID,該方法在跟蹤精度與位置誤差收斂速度方面均有較大優勢。

上述各方法的控制效果定量對比如表1所示。

表1 上述各方法的控制效果定量對比(×10-3deg)

綜上所述,自適應PID控制方法的自適應速率較快,且一旦完成增益確定過程,其控制效果更為優良;同時,即使有效載荷發生顯著變化,自適應PID控制的跟蹤精度依然保持不變。

3.2 實驗驗證

為進一步驗證該方法的實際應用效果,筆者利用了相應的實驗設備,模擬實際工程中的有效載荷變化條件。

筆者選擇WAM機械臂作為研究對象,其具有低傳動比特性,機械臂末端裝載有機械手(0.94 kg)和一支球棒(1.06 kg),并配有2 kg的有效載荷。

實驗裝置簡圖如圖8所示。

圖8 實驗裝置簡圖

圖8中,機械臂關節J1～J3的傳動比分別為42.0 ∶1、28.25 ∶1和18.0 ∶1,2 kg的點質量有效載荷可使關節J3的慣性增加59.4%,1.06 kg的球棒可使關節J3的慣性增加124.4%,球棒和點質量載荷的引入使得機械臂的有效載荷發生大幅度變動;機械臂關節電機由Barrett電機控制單元驅動,控制單元中集成有分辨率為4 096 pulse/r的旋轉編碼器、放大器、轉矩控制器及電源;

由于控制回路在500 Hz下運行,采樣周期L為0.002 s。

實驗過程中采用的機械臂末端軌跡為:

qd=qinit+20·[1+sin(0.4πt+3π/2)]deg

(19)

其中:

qinit=[0.0 -115.6 90]Tdeg

(20)

誤差動力學方程為:

(21)

從而可知:λ=diag(10.0,10.0,10.0)。

筆者利用兩種實驗條件對該控制方法的有效性進行驗證:

(1)為研究PID控制對有效載荷變化的適應性,通過反復試驗將增益α調整為α=diag(0.23,0.01,0.005)。參數M和δ分別選擇為M=0.005 1和δ=0.000 1。TI和TD分別設置為TI=0.2I以及TD=0.05I(I—單位矩陣);

(2)將PID控制與文獻[8]6所提出的PID控制(PIDAL)進行比較。可利用式(5,6)的等價性選擇PIDAL增益:在無有效載荷條件下,選擇K=diag(500,300,60),TI=0.2I,TD=0.05I,此時的PIDAL記為PIDAL-1;在有效載荷作用條件下,選擇K=diag(650,440,183),TI=0.2I,TD=0.05I,此時的PIDAL記為PIDAL-2。

在有/無有效載荷條件下,該方法增益K及誤差函數J的變化曲線如圖9所示。

圖9 所提方法在有/無有效載荷條件下增益K及誤差函數J的變化曲線

圖9(b,d,f)中,當引入有效載荷時,控制方法的跟蹤誤差就會隨之增大,從而導致函數J(以跟蹤誤差為自變量的函數)也會變大。同時,在圖9(a,c,e)中,式(7～9)的自適應過程提高了比例增益K;且當K經過自適應過程收斂后,跟蹤誤差與無有效載荷情況十分接近,表明了所提PID控制對有效載荷變化的魯棒性。

該方法與PIDAL的控制效果對比[21]如圖10所示。

圖10(a,c,e)中,在無有效載荷的條件下,該方法與PIDAL-1的控制效果十分接近,此時由于PIDAL-2的增益K較高,控制穩定性無法保證,未在圖中進行對比;另一方面,當引入有效載荷時,所提PID方法的控制效果變化不明顯,而PIDAL-1的跟蹤精度顯著下降,此時必須通過調整(多次試錯)增益矩陣K保證方法的跟蹤精度,如圖10(b,d,f)中PIDAL-2曲線所示。

該控制方法與PIDAL控制效果定量對比(有/無有效載荷)如表2所示。

綜上所述,在有效載荷變化較大的條件下,PID方法能夠自適應調節比例增益K且提供恒定增益TI和TD,從而在負載變化下保持跟蹤精度;相比之下,PIDAL方法需要針對有效載荷的變化情況確定兩個不同的增益集。

圖10 所提方法與PIDAL的控制效果對比

表2 所提控制方法與PIDAL控制效果定量對比(有/無有效載荷)

因此,在保證跟蹤精度的條件下,該控制方法的自適應性強,實施過程中無需針對有效載荷變化進行增益的人為試錯調節。

4 結束語

筆者針對變有效載荷條件下的機械臂魯棒控制問題,提出了一種自適應PID控制方法,即基于離散時域內TDC與PID的等價性,通過參數匹配確定了所提PID控制方法的增益,得出了相應的自適應控制律,最后通過仿真分析和物理實驗,驗證了所提方法的有效性。

研究結果表明:

(1)所提PID控制方法具有無模型性以及在變有效載荷條件下的魯棒性兩個特點,無需對機器人動力學和有效載荷變化進行任何計算;

(2)所提方法的自適應過程集中于比例增益,保證了在機械臂有效載荷變化條件下的控制魯棒性,當有效載荷增大時,PID增益相應增大,反之亦然。該結果表明,在有效載荷顯著變化的情況下,所提出的自適應PID控制相較于已有方法具有更好的跟蹤精度;

(3)所提方法可以在不了解TDC的情況下進行實施,且由于其具有典型的PID結構,可以廣泛適用于現有的PID控制器。

由于庫侖摩擦和速度反向過程中的粘滯現象,跟蹤誤差可能出現周期性急劇增加。在后續的研究中,筆者將結合非線性阻尼、模糊邏輯、以及滑模控制等方法,以此來進一步提高所提自適應PID控制策略的魯棒性。