如何在高中數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的“推理論證”能力

張福慶

為了提高學(xué)生的“推理論證”能力，教師要關(guān)注學(xué)生的參與，活躍學(xué)生的思維，點(diǎn)燃學(xué)生的智慧，促進(jìn)學(xué)生在分析中了解基礎(chǔ)知識(shí)，在應(yīng)用中提高實(shí)踐能力。教師要想真正實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)，則必須具備良好的教師素養(yǎng)，能夠在課堂教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用有效的教學(xué)方法，帶領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)推理論證，讓課堂活躍而高效，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。隨著新課改的不斷深入，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理和邏輯論證能力已經(jīng)成為教師所關(guān)注的話題，對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高具有積極作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要從學(xué)生的學(xué)入手，并切實(shí)把握學(xué)生學(xué)的全過程，以此優(yōu)化教學(xué)過程，帶領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)推理論證，并最終使教學(xué)呈現(xiàn)出有效性。本文筆者便以高中數(shù)學(xué)學(xué)科為切入點(diǎn)，從以下幾個(gè)方面對此展開分析。

一、關(guān)注學(xué)生學(xué)情，結(jié)合實(shí)際教學(xué)

數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的抽象性，需要學(xué)生主動(dòng)思考，積極推理，在分析中主動(dòng)論證，獲得深刻的知識(shí)，掌握解題技巧和解題方法。為了培養(yǎng)學(xué)生的“推理論證”能力，教師要關(guān)注學(xué)情，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)進(jìn)行教學(xué)。因?yàn)椤巴评碚撟C”是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要學(xué)生有明確的指標(biāo)和目的并能產(chǎn)生預(yù)期結(jié)果的教學(xué)。學(xué)生通過“推理論證”會(huì)了解知識(shí)的本質(zhì)，在一步步分析中建構(gòu)知識(shí)框架，明確知識(shí)要點(diǎn)，形成對知識(shí)的客觀性認(rèn)識(shí)。有效的“推理論證”能夠促進(jìn)學(xué)生思維活躍，進(jìn)行有效學(xué)習(xí)。一堂有效的課堂，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生專業(yè)知識(shí)和綜合能力的提高，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，對學(xué)生產(chǎn)生積極的影響。有效性教學(xué)的目標(biāo)，是要求教師以盡可能少的時(shí)間、精力和物力投入，取得盡可能好的教學(xué)效果，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)結(jié)果。

在帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“推理論證”時(shí)，教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際來設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)。例如在學(xué)習(xí)《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程處于新教材選擇性必修第一冊第二章的第4節(jié)，是本章的核心概念，也是解析幾何中的基本概念。圓的方程是被安排在直線方程教學(xué)結(jié)束后進(jìn)行的，所以本節(jié)課從溫故知新入手，以直線方程為背景，按照“溫故——知新——練習(xí)——應(yīng)用——小結(jié)”的順序結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)系以前的知識(shí)，提出、分析、解決新知識(shí)。在備課環(huán)節(jié)，筆者首先分析學(xué)生的原有數(shù)學(xué)認(rèn)知，這樣能夠知道學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識(shí)，然后分析這一章節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中的重要性。教師在備課中了解了學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的基本概念和圓的幾何要素，并且了解了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)方式。教師要帶領(lǐng)學(xué)生利用已經(jīng)掌握的知識(shí)來推理圓的一般方程，并且讓學(xué)生能夠根據(jù)不同條件，采取標(biāo)準(zhǔn)式或一般式來求圓的方程。在探究中，教師要讓學(xué)生通過邏輯推理的方式掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并且能夠求解與圓有關(guān)的軌跡方程。學(xué)生在“推理論證”中會(huì)從基礎(chǔ)性知識(shí)慢慢深化，了解知識(shí)的本質(zhì)和規(guī)律，在思考中掌握求圓的方程的一般方法，并且能夠根據(jù)圓的方程來求最值，了解與圓有關(guān)的軌跡問題。學(xué)生在探究中會(huì)主動(dòng)地推理和分析，建立具體的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生認(rèn)知水平之間的關(guān)系。由于圓的方程這一節(jié)內(nèi)容具有基礎(chǔ)性以及應(yīng)用的廣泛性，會(huì)促進(jìn)學(xué)生了解基礎(chǔ)知識(shí)，在探究中活躍思維，掌握知識(shí)。推理會(huì)給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，從而幫助他們從動(dòng)手、動(dòng)腦等過程中進(jìn)一步掌握本章節(jié)的知識(shí)，培養(yǎng)他們分析、概括的思維能力。在學(xué)生的推理和分析中教師也能夠了解學(xué)生的現(xiàn)有數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，并以此為出發(fā)點(diǎn)，不斷使學(xué)生的認(rèn)知與教學(xué)內(nèi)容建立有機(jī)統(tǒng)一，從而為實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性做好充分準(zhǔn)備。

二、聯(lián)系新舊知識(shí)，巧設(shè)課堂問題

問題是數(shù)學(xué)的核心，也是學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“助燃劑”。學(xué)生通過對問題的思考和探究會(huì)了解所學(xué)知識(shí)，主動(dòng)聯(lián)系新舊知識(shí)，進(jìn)行分析和判斷，形成客觀性認(rèn)識(shí)。學(xué)生在推理判斷中會(huì)巧設(shè)問題，活躍學(xué)生思維，帶領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)框架。當(dāng)教師提出問題后教師便可聯(lián)系新舊知識(shí)，并想出新問題，這樣既能夠?yàn)閷W(xué)生的思考提供一定的空間，也能夠提高學(xué)生的“推理論證”能力，促進(jìn)學(xué)生在分析中理解知識(shí)本質(zhì)。以“等比數(shù)列”的教學(xué)為例，教師可以讓學(xué)生思考細(xì)胞分裂、銀行貸款等涉及到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)該用什么樣的方式來理解這些知識(shí)？分析中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了它們都屬于等比數(shù)列知識(shí)，需要運(yùn)用由特殊到一般的函數(shù)思想以及方程思想來解決問題。學(xué)生在分析中會(huì)理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及推導(dǎo)，在學(xué)生的探究中，教師要讓學(xué)生思考數(shù)列的首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式是什么。在此基礎(chǔ)上，筆者引入“拉面問題”，同時(shí)讓學(xué)生思考問題，即：等比數(shù)列的定義是什么？等比數(shù)列的項(xiàng)能為0嗎？公比能為0嗎？以此使得學(xué)生能夠結(jié)合原有認(rèn)知思考這些問題，活躍學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)加工，主動(dòng)判斷，在對知識(shí)的加工中學(xué)會(huì)推理判斷和邏輯思考，把握知識(shí)本質(zhì)和規(guī)律。學(xué)生在對問題的分析中，會(huì)認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的基本概念，了解數(shù)列的首相、公差、通項(xiàng)公式等知識(shí)，學(xué)會(huì)應(yīng)用這些知識(shí)來分析問題、解決問題，在推理中以等差數(shù)列的概念為基礎(chǔ)總結(jié)出等比數(shù)列的概念。

三、引入生活實(shí)例，構(gòu)建教學(xué)情境

數(shù)學(xué)知識(shí)大多數(shù)來自生活，并滲透到生活中。同樣，在實(shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師也可引入生活實(shí)例，這樣能夠?qū)⒄n堂置于生活化的背景下，利用熟悉的知識(shí)來探究和活躍思維，形成對知識(shí)的客觀性認(rèn)識(shí)。此外，通過生活實(shí)例的不斷引入，還能夠給學(xué)生一定的情感沖擊，引發(fā)他們的情感共鳴，從而使他們的學(xué)習(xí)行為變得更加自主，以此推動(dòng)教學(xué)活動(dòng)的有效開展。

例如在學(xué)習(xí)《隨機(jī)抽樣》時(shí)，為了讓學(xué)生理解系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，教師可以結(jié)合生活，介紹實(shí)例：某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1，2，……，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn)。若46號學(xué)生被抽到，則8號、200號、616號、815號4名學(xué)生中被抽到的是哪位？生活性情境會(huì)使學(xué)生更好地理解其中涉及到的知識(shí)，結(jié)合以往學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，主動(dòng)進(jìn)行推理和判斷。學(xué)生在分析中會(huì)認(rèn)識(shí)到根據(jù)題意，系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，所以抽樣間隔為=10。因?yàn)?6除以10余6，所以抽到的號碼都是除以10余6的數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)知應(yīng)為616。結(jié)合生活會(huì)給學(xué)生一定的熟悉感，調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生思維活躍，讓學(xué)生利用已有的知識(shí)進(jìn)行分析和探究，主動(dòng)進(jìn)行推理和驗(yàn)證，在分析中梳理已知條件，探究未知數(shù)據(jù)，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的提高和分析判斷能力的增強(qiáng)。學(xué)生在分析中也會(huì)總結(jié)，認(rèn)識(shí)到面對系統(tǒng)抽樣的知識(shí)應(yīng)該關(guān)注的注意點(diǎn)。學(xué)生主動(dòng)總結(jié)會(huì)建構(gòu)知識(shí)規(guī)律，明確知識(shí)應(yīng)用，形成系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)和規(guī)律性觀點(diǎn)。學(xué)生在推理中會(huì)認(rèn)識(shí)到系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大;若不改變抽樣規(guī)則，則所抽取的號碼構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為第一組所抽取的號碼，公差為樣本間隔，故問題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題解決。抽樣規(guī)則改變，應(yīng)注意每組抽取一個(gè)個(gè)體這一特性不變。如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，其中起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機(jī)抽樣的方法。接近生活的問題不僅引發(fā)了學(xué)生的探究意識(shí)，還使得學(xué)生結(jié)合原有認(rèn)知?dú)w納、總結(jié)出相關(guān)知識(shí)。可見，通過生活實(shí)例的不斷滲透，既使學(xué)生從具體實(shí)例中歸納出抽象的數(shù)學(xué)概念，還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

四、尊重學(xué)生個(gè)性，鼓勵(lì)參與活動(dòng)

為了讓學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中，主動(dòng)地進(jìn)行推理論證，教師要尊重學(xué)生的個(gè)性，看到學(xué)生之間的差異，采用適合學(xué)生的方法和策略來引導(dǎo)學(xué)生思考和分析，促進(jìn)學(xué)生在推理中明確知識(shí)的來龍去脈，了解知識(shí)的本質(zhì)規(guī)律，形成主觀性認(rèn)識(shí)。例如在學(xué)習(xí)《直線與平面平行的判定》時(shí)，很多學(xué)生通過自主探究和閱讀就了解了知識(shí)要點(diǎn)，形成了自己的認(rèn)識(shí)，在推理和判斷中能夠主動(dòng)思考，靈活應(yīng)用。但是有的學(xué)生理解起來很困難，感覺教材知識(shí)非常抽象，不能理解。面對這些不能理解的學(xué)生，我就利用教室的門給學(xué)生進(jìn)行了演示，給學(xué)生觀看：門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與門框所在的面是一種什么樣的關(guān)系？情境中，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)立刻變成了形象、生動(dòng)的生活畫面，學(xué)生瞬間就產(chǎn)生了靈感。同時(shí)教師可以讓學(xué)生將課本放在桌面上，慢慢地翻開課本的封面，自己觀察封面的上邊緣與桌面的關(guān)系。經(jīng)過觀察，我先讓基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生復(fù)述其定義，之后讓他們總結(jié)如何判斷直線與平面平行;而此時(shí)一些基礎(chǔ)較好的學(xué)生就可以自己嘗試去歸納出直線與平面平行的判定定理，并且盡量用自己的語言來敘述其判定過程。因?yàn)檫@是他們自己探索總結(jié)的，所以在理解和應(yīng)用上自然得心應(yīng)手。課堂教學(xué)中，教師對不同的學(xué)生要進(jìn)行不同的要求，這樣既照顧學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，同時(shí)也能達(dá)到協(xié)調(diào)統(tǒng)一。在適合學(xué)生能力的任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生會(huì)主動(dòng)思考，進(jìn)行邏輯分析和推理判斷，產(chǎn)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，建構(gòu)知識(shí)規(guī)律，所以收到了很好的效果。

五、公平評價(jià)學(xué)生，及時(shí)鼓勵(lì)調(diào)動(dòng)

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，對學(xué)生的評價(jià)很重要。教師要通過評價(jià)來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯思考和推理判斷，促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)。教師在評價(jià)過程中要用鼓勵(lì)性的語言來激發(fā)學(xué)生的探究熱情，促進(jìn)學(xué)生思維的活躍，讓學(xué)生在分析中理解規(guī)律。

例如在學(xué)習(xí)《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》時(shí)，學(xué)生通過總結(jié)認(rèn)識(shí)到了解答有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路一般是通過已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除。對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到。特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論。有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合求解。學(xué)生結(jié)合具體的例題進(jìn)行推理論證和總結(jié)分析會(huì)了解知識(shí)規(guī)律，明確解決問題的一般規(guī)律和方法，在探究中形成客觀性認(rèn)識(shí)，在思考中掌握知識(shí)。面對學(xué)生系統(tǒng)的總結(jié)，教師要通過評價(jià)來鼓勵(lì)學(xué)生、表揚(yáng)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生在課堂上思維活躍，主動(dòng)分析和判斷，主動(dòng)總結(jié)和加工，形成對知識(shí)的系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)。在教師激勵(lì)性評價(jià)的引導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)動(dòng)力，帶著更大的主動(dòng)性進(jìn)行思考，主動(dòng)進(jìn)行邏輯推理和驗(yàn)證，了解知識(shí)的來龍去脈和前因后果，形成對知識(shí)的系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)。

綜上所述，學(xué)生的“推理論證”能力的培養(yǎng)受到各個(gè)環(huán)節(jié)的影響。因此，教師作為教學(xué)的研究者，應(yīng)從備課環(huán)節(jié)入手，積極分析學(xué)生的原有認(rèn)知，并在此基礎(chǔ)上更新教學(xué)手段，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。同時(shí)，在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師還需要從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀入手，聯(lián)系新舊知識(shí)，進(jìn)而構(gòu)建問題情境，使學(xué)生親自體會(huì)新知識(shí)的形成過程，以此幫助他們主動(dòng)完成知識(shí)的構(gòu)建。此外，由于數(shù)學(xué)學(xué)科具有一定的應(yīng)用價(jià)值，若要使得教學(xué)活動(dòng)變得有效用，便需要教師分析數(shù)學(xué)知識(shí)與生活之間的聯(lián)系，以此使學(xué)生的學(xué)變得更加富有意義。