SHPB入射波相似律與整形技術的試驗與數值研究

王江波， 李汶峰， 任文科， 王曉東， 李繼亮， 高光發

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

分離式霍普金森壓桿(split Hopkinson pressure bar，SHPB)[1]自從建立以來，被廣泛應用于混凝土[2]、陶瓷[3]、金屬[4]、巖石[5]、復合材料[6]、聚合物[7-8]和泡沫材料[9]等的動態力學響應測試，可獲得材料在102～104s-1應變率范圍內的應力應變曲線。為了確保試驗結果的準確性，試驗過程中需要滿足恒應變率加載及試件內部應力均勻等基本條件。

在大多數情況下，常規的梯形入射脈沖無法滿足恒應變率變形的要求，同時還會產生一系列高頻分量的應力波，每一個頻率分量的應力波在傳播時由于速度不同，會導致入射波形發生彌散效應[10]，這種現象不僅會影響試驗時的動態應力平衡，而且有可能會掩蓋材料本身的力學特性。因此，為了能得到更準確的試驗數據，需要對入射波的波形進行修正，研究表明主要有改變撞擊桿的形狀[11]、使用預加載桿技術和脈沖整形器技術[12]。由于前兩種方法有很多弊端如撞擊桿形狀加工困難、很難實現恒應變率加載等，所以波形整形器就成為應用最廣泛的脈沖整形技術，它是通過對入射波形的調整來改變反射波形，其原理是在撞擊桿和入射桿端面之間放置一個片狀材料，只要選取適當的材料和尺寸，就可以最大程度減小SHPB試驗中波形的彌散效應，同時可以實現動態應力平衡和恒應變率加載等要求。

由于波形整形器使用簡單，能對入射波形進行有效的整形，故很多學者都對此進行了研究。Frew等[13-14]基于材料體積不可壓縮和均勻變形理論，得到了整形器的分析模型，并利用整形器技術進行了巖石、玻璃陶瓷和鋼的SHPB試驗，結果表明，使用整形器后，試件處于動態應力平衡狀態，試驗的大多數時間具有恒定的應變率，還可以通過調整整形器尺寸控制入射波的上升持續時間，分析模型與試驗結果一致，同時還可以預測試件應力平衡和恒應變率持續時間。Naghdabadi等[15]進行了整形器對入射波影響規律的試驗研究和數值仿真，給出了不同材料SHPB試驗時整形器尺寸的選擇準則。Bagher Shemirani 等[16]使用紫銅整形器進行了混凝土材料的SHPB桿試驗，并對試驗過程中動態應力平衡、恒應變率狀態進行了分析，并且給出撞擊桿長度和速度對入射波形的影響規律。

從以上分析可知，學者們只是針對某一口徑SHPB裝置或特定材料進行了整形器對入射波構形的影響規律研究，而關于使用整形器的入射波構形是否滿足相似律的研究未曾出現。研究此問題可將不同桿徑SHPB裝置的入射波整形技術及理論進行統一，并且對新型SHPB裝置的設計具有非常重要的科學意義。基于此，本文利用量綱分析理論研究了使用整形器的SHPB入射波形構形是否滿足嚴格的幾何相似律，并根據試驗和數值模擬結果對此進行了驗證，然后基于直徑為14.5 mm的SHPB裝置研究了整形器直徑、厚度以及撞擊桿長度和速度對入射波形的影響規律，最后，通過對各影響因素的定量分析，得到了對入射波構形的兩個重要拐點T1和T2的無量綱表達式。

1 量綱分析

整形器為紫銅材料，由于在試驗過程中整形器的塑性應變遠大于彈性應變，加載過程中整形器的彈性加載時間遠小于塑性加載時間，因此在量綱分析中不考慮整形器的彈性階段，即可以忽略整形器的楊氏模量和泊松比，則其應力應變曲線可以近似等效為線性硬化模型。設整形器的塑性硬化模量為E0，屈服強度為σs，密度為ρs，厚度為h，直徑為d。假設SHPB裝置桿直徑為Db，撞擊桿長度為Lb，撞擊速度為v，密度為ρb，楊氏模量為Eb。當SHPB桿裝置的長度遠大于直徑時，我們可認為其滿足一維應力假設，故可以不考慮桿材料的泊松比。因此，我們可以給出入射桿中測量點截面上的應力函數表達式

σ=f(Eb,ρb,Lb,Db;E0,σs,ρs,h,d;v,t)

(1)

基于量綱分析理論，我們選擇質量(M)，長度(L)和時間(T)作為基本量綱，式(1)中所有參數的量綱列于表1中。

表1 桿和整形器參數的量綱

(2)

如果沒有使用整形器時，撞擊桿的直徑和撞擊速度對無量綱應力并無影響，可以忽略式(2)中與整形器參數無關的前兩項，同時由于整形器的厚度很小，不考慮應力波在整形器中的傳播時間，即忽略整形器的慣性效應，則可以不考慮密度的影響，則可以得到

(3)

式中：σ*=ρbCbv/2；t*=Lb/Cb。縮比模型中桿材料和整形器與原模型相同時，即可得到

(4)

式中：下標m為原模型；p為縮比模型。

因此，對于撞擊桿速度v相同時，要使使用整形器的SHPB入射波構形滿足幾何相似律，則必須有

(5)

2 試驗研究和數值模擬

2.1 試驗方法

圖1 SHPB裝置系統示意圖

(6)

式中：Ab為桿的橫截面積；As和Ls為試件的橫截面積和長度

為了驗證SHPB裝置的相似律問題，以及后續研究整形器對入射波形的影響規律，試驗選用常用直徑為14.5 mm的SHPB裝置，該裝置撞擊桿、入射桿和透射桿的規格尺寸，如表2所示。

表2 SHPB裝置中桿的尺寸和材料

整形器材料的選取與待測試件材料的性能相關，一般選用紫銅、黃銅等材料，在加載過程中其應力應變關系可以近似為線性硬化模型。本文主要針對金屬、高聚物等一些延性材料SHPB試驗時整形器尺寸的選取進行研究。采用合適材料和尺寸的整形器不僅可以減小試驗過程中波形彌散對試驗結果的影響，而且可以實現試件內部的動態應力平衡和試驗過程中的恒應變率加載。

2.2 數值模擬模型

2.2.1 整形器材料力學參數

選取T2紫銅作為整形器材料，為了整形器仿真材料模型的準確性，對紫銅材料進行了準靜態壓縮試驗。紫銅試件準靜態壓縮的應力應變曲線，如圖2所示。根據相關標準可以測得其屈服強度、楊氏模量、以及塑性切線模量，同時利用密度計測量了其密度，如表3所示。

圖2 紫銅材料應力應變曲線及各參數的計算

表3 紫銅整形器的主要力學參數

2.2.2 數值仿真幾何模型

利用有限元軟件ABAQUS對使用整形器的SHPB試驗進行了數值仿真，模型包括撞擊桿、整形器和入射桿。本文主要研究整形器對入射波的影響規律，故在建模過程中忽略了透射桿。由于整形器尺寸較小，為了保證桿與整形器接觸端網格尺寸相匹配，桿的有限元模型采用過渡網格劃分方法。因此桿的仿真模型包括細化網格區(Ⅰ)、過渡網格區(Ⅱ)和粗化網格區(Ⅲ)。

以直徑為14.5 mm的SHPB裝置為例，其有限元模型如圖3所示。模型中細化網格區域長度為30 mm，過渡網格區域長度為20 mm。同時，為了排除網格尺寸對數值模擬結果的影響，細化區的網格為邊長為0.1 mm的正方形，過渡區網格為邊長為0.725 mm的正三角形，粗化區網格為0.725 mm×1.450 mm的長方形。

圖3 ABAQUS軟件中模型的建立及網格的劃分

在整個試驗過程桿始終處于彈性狀態，因此數值仿真模型中入射桿和撞擊桿采用彈性模型，其主要參數如表4所示(整形器材料采用雙線性模型，其主要參數已列于表3)。

表4 仿真模型中桿材料的力學參數

根據文獻[17]對銅試件SHPB研究中界面摩擦因數的研究并對此進行了微調，整形片與撞擊桿接觸的一端未添加潤滑劑，數值仿真中設置摩擦因數為0.12；而整形片另一端與入射桿通過潤滑劑粘住，摩擦系數為0.03，同時對無整形器SHPB試驗也進行了數值仿真，模型中各部分的接觸定義為面-面接觸。有無整形片試驗與仿真的對比圖，如圖4所示。從圖4可知，兩者之間有著很好的重復性，因此可以說明仿真模型和材料參數是準確可靠的。

圖4 撞擊桿速度為16 m/s時有無整形器的入射波形試驗和仿真對比圖

3 SHPB試驗入射波相似律的驗證

為了驗證量綱分析中SHPB試驗的幾何相似性，基于直徑為14.5 mm的SHPB裝置，開展了不同縮比尺寸的SHPB試驗和數值仿真研究，具體方案如表5所示。原模型中(幾何縮比為1)撞擊桿長度為400 mm，整形器的厚度為0.8 mm，直徑為8 mm，縮比模型與原模型材料相同且撞擊桿速度也相同為16 m/s，幾何縮比分別為1.5和0.5。

表5 SHPB裝置的縮比試驗與數值仿真幾何參數

圖5 SHPB試驗中入射波的幾何相似性試驗與數值仿真結果

根據SHPB試驗相似律量綱分析的結果和圖5中不同縮比模型的入射波形，當原型中桿和整形器材料與縮比模型完全相同，且撞擊速度相同時，入射波的無量綱正應力與無量綱時間之間的關系圖即無量綱入射波形基本相同，說明考慮整形器的SHPB試驗滿足幾何相似律，同時驗證了量綱分析的準確性。因此，當不同直徑的裝置滿足SHPB試驗中的兩個基本假設后，后續研究整形器對入射波的影響規律可以適用于任何口徑的SHPB裝置。

4 整形器和撞擊桿參數對入射波形的影響

對于入射波的整形問題，一般只考慮加載階段，波形的卸載部分對試驗基本沒有影響，因此可以不考慮入射波形卸載部分。SHPB試驗中有無整形器典型的入射波形，如圖6所示。從圖6可知，我們可以發現，使用整形器的入射波形可以分成兩個關鍵節點和三個加載區域，分別為：Ⅰ.彈性加載區域，即試驗時整形器處于彈性變形的階段；Ⅱ.塑性加載區域，即試驗時整形器為塑性變形的階段；Ⅲ.剛性加載區域，即整形器完全塑性變形后直至波形加載結束。

圖6 入射波形中的關鍵拐點和加載區域

由于脈沖整形技術中影響入射波構形的因素較多以及試驗時所處應力場的復雜狀況，所以很難給出整形后入射波形的具體方程式。因此，本文根據整形器在其工作時所處的應力應變狀態，對其尺寸對入射波構形兩個重要拐點T1和T2的影響規律進行了具體分析。事實上，整形器對入射波構形的整形就是改變T1和T2拐點的位置以及兩拐點之間曲線的形狀(見圖6中Ⅱ區域)，然后根據待測試件的力學性能調整入射波的構形使試驗在恒應變率加載下進行。然而，圖6中Ⅱ區域波形很難給出具體的表達式，故我們對其起點和終點進行了具體的分析，為SHPB試驗時整形器的選取提供一定的參考作用。

當考慮某個影響因素對入射波某一點無量綱應力的影響時，可以忽略掉變量時間的影響，因此，類似于第1章中的量綱分析，我們得到入射波特定點的無量綱應力表達式為

(7)

后續研究中針對式(7)中各因素對入射波兩個拐點T1和T2的影響進行了具體的分析。

4.1 整形器直徑對入射波形的影響

基于直徑為14.5 mm的SHPB裝置，進行了一系列不同直徑整形器的SHPB試驗和數值仿真。其中，撞擊桿的速度為16 m/s，撞擊桿長度為400 mm，整形器的厚度為0.8 mm。SHPB試驗中使用不同整形器直徑時的入射波形圖，如圖7所示。

圖7 不同整形器直徑對應的入射波形圖

從圖7可知，當整形器厚度和撞擊桿速度不變時，入射波的T1拐點隨著整形器直徑的增大而增大，這是由于隨著整形器直徑的增大，整形器壓縮過程中到達其屈服點時的面積也隨之增大，而在加載過程中，整形器和桿端面的軸向力相等，所以導致入射波的T1拐點無量綱應力逐漸增大，同時T1拐點對應的無量綱時間也變大；但整形器直徑對T2拐點沒有明顯的影響，即整形器直徑主要影響塑性加載區域Ⅱ的起始點，對其終點沒有影響。

4.2 整形器厚度對入射波形的影響

為了分析整形器厚度對入射波形的影響，開展了不同整形器厚度的SHPB試驗和數值仿真，整形器的直徑為8 mm，撞擊桿長度和速度同4.1節，試驗和數值仿真結果如圖8所示。

圖8 不同整形器厚度對應的入射波形

當整形器厚度從0.5 mm增加到1.2 mm時，入射波形的T1拐點無量綱應力和無量綱時間也隨之減小，這是由于壓縮過程中整形器到達屈服點(入射波形的T1拐點)時，整形器的厚度越大，其對應的當前橫截面積越小，又因為試驗過程中整形器和入射桿軸向力相等，故導致T1拐點無量綱應力降低。而T2拐點的無量綱時間隨著整形器厚度的增加逐漸增大，波形的塑性加載上升沿逐漸變緩，其原因是整形器在受壓過程中為均勻變形，隨著厚度的增加，其達到整形器完全塑性變形時所需的時間更長，故會導致入射波形的上升沿時間變長，即T2拐點右移。

4.3 撞擊桿長度對入射波形的影響

在SHPB試驗中，入射波的脈沖持續時間與撞擊桿的長度有關，為研究撞擊長度對入射波形的影響，進行了不同撞擊桿長度的SHPB試驗與數值模擬，其中撞擊桿速度為16m/s，整形器直徑和厚度分別為8 mm和0.8 mm，數值仿真和試驗結果如圖9所示。

圖9 不同撞擊桿長度的入射波形

從圖9可知，當撞擊桿的能量足夠大時，即入射波形存在剛性加載區域Ⅲ，整個上升沿階段不同撞擊桿長度的入射波形基本一致，不同撞擊桿長度下的彈性加載區域Ⅰ和塑性加載區域Ⅱ重合，故當撞擊桿動能足夠時，撞擊桿長度對入射波的兩個關鍵拐點T1和T2沒有影響，也就是說，撞擊桿長度對于整形器的整形可以忽略。而當撞擊桿動能較小時，入射波應力未達到理論應力峰值就會出現卸載情況，但對于整形器尺寸和撞擊桿速度相同而撞擊桿長度不同對應的入射波，其波形與存在剛性加載區域的入射波形加載區域Ⅰ和Ⅱ重合，這與Naghdabadi研究中的結論一致。

4.4 撞擊桿速度對入射波形的影響

SHPB試驗中撞擊桿的速度對試件的應變率有著直接的影響，一般來說，撞擊桿的速度越大，試驗時的應變率就越高，故研究撞擊速度對入射波整形規律的影響就顯得很重要，撞擊速度分別為8～20 m/s時對應的入射波形，如圖10所示。其中整形器的直徑和厚度保持不變，分別為8 mm和0.8 mm，撞擊桿的長度為400 mm。

圖10 不同撞擊桿速度對應的波形圖

根據波動力學理論，不同撞擊速度的入射波應力峰值為σ*=ρbCbv/2，即隨著撞擊速度的增加，入射波的應力峰值也逐漸增大。對入射波形進行無量綱化后，隨著撞擊速度的增大，入射波形的T1拐點的無量綱應力逐漸減小(見圖10)，這是由于在對應力進行無量綱化時除以理論應力峰值導致的，實際上入射波T1點應力值大致相等；入射波形的T2拐點的無量綱時間隨著撞擊速度的增大逐漸減小，主要原因是因為撞擊速度高時導致整形器的變形速率加快，導致其完全塑性變形的時間減小，故T2拐點的無量綱時間逐漸減小。

4.5 T1拐點的定量分析

對于入射波形T1拐點的取法，具體如下：根據圖4中試驗和仿真的對比結果可知，兩個波形在T1點附近的交叉點約為入射波形第一個波動部分的中點，故為了統一試驗和仿真中T1點的取法，統一采用入射波形第一個震蕩部分的中點為T1點。根據4.1節～4.4節的分析可知，整形器的直徑和厚度以及撞擊桿的速度都會對T1拐點有一定的影響，而撞擊桿的長度對其沒有影響，同時，假設式(6)中的三個影響因素σs/σ*,d/Db,h/Lb，是相互解耦的，則式(7)可以變為

(8)

因此，為了得到T1拐點的無量綱應力表達式，根據圖7、圖8和圖10得到了入射波形的T1拐點的無量綱應力與各無量綱參數的對應關系，如圖11所示。從圖11可知，T1拐點的無量綱應力σs/σ*與無量綱直徑d/Db呈二次函數關系，與速度有關項σs/σ*和整形器無量綱厚度呈線性關系，因此我們對此分別進行了多項式和線性擬合，可以得到T1拐點的無量綱應力表達式為(0<σ/σ*<1)

圖11 T1拐點無量綱應力與各影響因素的關系

(9)

對于坐標系中的一點，要想確定其準確位置，需要縱坐標和橫坐標來共同確定，故得到入射波T1無量綱時間與式(7)右邊的三種無量綱參數的對應關系，如圖12所示。同樣也對此進行了擬合，得到T1拐點的無量綱時間表達式

圖12 T1拐點無量綱時間與各影響因素的關系

(10)

4.6 T2拐點的定量分析

對于入射波形T2拐點的確定，由于其理論無量綱應力值為1，故選取T2時即入射波形的震蕩部分中點為1時的點為T2點。T2拐點的影響因素主要有整形器的厚度和撞擊桿的速度，撞擊桿的長度和整形器直徑對其的影響可以忽略不計，因此式(7)中的K(d/Db)為常數，而T2拐點的無量綱應力都為1，故只考慮無量綱時間t/t*與影響因素h/Lb和σs/σ*的定量關系。T2拐點無量綱時間與各影響因素的對應關系圖，如圖13所示。發現無量綱時間與兩個影響因素都呈線性關系，同樣認為無量綱參數h/Lb與σs/σ*是相互解耦的，并對此過程進行了線性擬合，得到T2拐點的無量綱時間表達式(0

圖13 T2拐點無量綱時間與各影響因素的關系

(11)

綜上所述，入射波T1拐點的無量綱應力和時間可由下面方程組計算

(12)

入射波T2拐點的無量綱應力和時間的表達式如下

(13)

5 結 論

基于直徑為14.5 mm的SHPB裝置，利用量綱分析理論對考慮整形器的SHPB試驗的相似律問題進行了研究，在此基礎上，分析了整形器直徑和厚度、撞擊桿長度和速度對入射波形的影響規律，根據量綱分析的結果，得到了入射波形兩個重要拐點T1和T2的無量綱應力和時間的定量表達式，主要有以下結論：

(1)假設SHPB裝置的原模型和縮比模型中撞擊桿和整形器材料相同且滿足物理相似，當撞擊桿的速度保持不變時，考慮整形器的SHPB裝置滿足嚴格的幾何相似律。

(2)使用整形器的SHPB試驗可以延長入射波的上升沿時間，T1拐點的無量綱應力σ/σ*隨著整形器無量綱直徑d/Db的增大而變大，但隨著撞擊桿速度v和整形器無量綱厚度h/Lb的增大而逐漸減小；T2拐點的無量綱時間與整形器無量綱厚度h/Lb呈正比，與速度呈反比；撞擊桿的長度主要影響入射波的持續時間，對入射波的上升沿沒有影響。

(3)SHPB試驗脈沖整形技術是產生一個與待測試件應力響應(透射波形)相似的入射波形，同時入射波形的T1拐點與反射波平臺段的起始點呈正相關，當試驗應變率增大時，應增加整形器的直徑和撞擊桿的速度；T1拐點的無量綱應力σ/σ*和無量綱時間t/t*與影響參數σs/σ*，d/Db和h/Lb分別呈線性、二次函數和線性關系；T2拐點的無量綱應力σ/σ*始終為1，無量綱時間t/t*與σs/σ*無量綱參數h/Lb與σs/σ*都是呈線性關系的。