基于壓縮聚焦網格點的快速反卷積算法

2022-03-27 12:17:36王巖松胡定玉

振動與沖擊 2022年6期

王月，楊超，王巖松，胡定玉

(1.上海工程技術大學機械與汽車工程學院，上海 201600； 2.上海工程技術大學城市軌道交通學院，上海 201600)

傳統波束形成算法(conventional beamforming, CBF)利用傳聲器陣列采集的聲壓信號識別聲源分布特征，但其輸出波束旁瓣高、空間分辨率低，無法完全滿足聲源高分辨率識別需求。為了提升CBF的性能，研究人員提出了各種性能良好的改進算法，如：對角加載自適應波束形成算法[1]、正交波束形成算法[2]、函數波束形成算法(functional beamforming, FB)[3]及多種反卷積算法。在這些算法中，后兩種算法因其動態范圍高、抑制旁瓣能力強及縮減主瓣寬度顯著等優點而倍受關注。

CBF算法的輸出可以表示為聲源聲壓強度分布與陣列點傳播函數(point spread function, PSF)的卷積[4]。反卷積算法通過迭代算法求解卷積方程，可消除PSF對波束形成結果的影響，輸出一個較“干凈”的聲源圖。DAMAS(deconvolution approach for the mapping of acoustic sources)[5]算法利用高斯-賽德爾迭代方法求解傳統波束形成輸出結果、陣列點傳播函數及聲源聲壓強度分布三者之間的線性方程組，重構聲源強度分布，縮減主瓣寬度，抑制旁瓣干擾。為了進一步降低DAMAS的計算時間長，DAMAS2和DAMAS3[6]基于算法陣列點傳播函數具有空間轉移不變性假設，利用快速傅里葉變換將聲源聲壓強度分布與陣列點傳播函數的卷積轉化為波數域的乘積，提升了算法迭代效率。SC-DAMAS(sparsity constrained deconvolution approaches for acoustic source mapping)[7]算法基于聲源空間稀疏分布假設，可快速求解反卷積中的逆問題，實現聲源強度和位置的估計。NNLS(nonnegative least-squares approach)[8-9]算法則是在傳統波束形成輸出結果、陣列點傳播函數及聲源聲壓強度分布之間建立差函數，通過最小化差函數重構聲源強度分布。CLEAN[10]算法通過在傳統波束形成結果中移除主瓣峰值對應的PSF，凈化聲源識別結果。CLEAN-SC(CLEAN based on spatial source coherence)算法基于空間中同一聲像圖內主瓣與旁瓣相干的事實，通過迭代移除CBF生成的聲像圖中與主瓣相干的旁瓣，提升聲源識別效果。但是，當聲源間距小于瑞利極限或者聲源頻率較低時，CBF在各聲源處輸出的主瓣發生融合，此時CLEAN-SC亦無法準確分辨聲源。為了提升CLEAN-SC的空間分辨率，Sijtsma等先后提出了高分辨率CLEAN-SC(high-resolution CLEAN-SC,HR-CLEAN-SC)[11-12]算法和自適應高分辨率CLEAN-SC(Adaptive HR-CLEAN-SC)[13]算法。當Adaptive HR-CLEAN-SC算法與優化陣列[14]結合使用時，可以定位出瑞利極限分辨率范圍內最多4個緊密間隔的非相干聲源。但是改進算法的計算時間也相應增加。

目前，關于CLEAN-SC算法的研究中，缺乏兼顧空間分辨率和計算時間的研究。針對此問題，本文提出一種基于壓縮聚焦網格點的快速反卷積算法，即CLEAN-SC-CG(CLEAN-SC with compressed grid)。CLEAN-SC-CG利用FB算法計算高分辨率的波束輸出，并通過設置閾值篩選輸出值，將大于閾值的輸出值及其對應的網格點信息保留，刪除冗余網格點，將保留信息作為CLEAN-SC的輸入，逐點迭代求解出各聲源強度。

1 基本理論

1.1 CLEAN-SC

CLEAN-SC基于旁瓣在空間上與主瓣相干的事實，迭代移除各聲源在互譜矩陣(cross spectral matrix, CSM)中的貢獻，并用一個“干凈”波束替換主要聲源，達到清晰化聲像圖的目的。CLEAN-SC定義了源分量h，將源分量h替代方向向量g計算互譜矩陣，因此避免了PSF對聲像圖的影響。

CLEAN-SC依賴于CBF的計算結果，利用互譜矩陣，CBF在聚焦網格點ξj處計算聲源功率的表達式為

(1)

式中:(·)*為共軛轉置；gj為方向向量；p為復聲壓信號；wj為加權向量；C為互譜矩陣。

首先，CLEAN-SC通過式(1)獲得一個帶有旁瓣干擾的聲像圖，即迭代從i=0開始，并定義每次迭代更新后的CSM為

D(i)=D(0)=C

(2)

(3)

對于i≥1的情況，進行如下迭代過程。

(4)

其中

(5)

步驟3計算代替被移除聲源的“干凈”波束

(6)

式中：φ為安全系數；λ為決定帶寬的參數，通常0<φ≤1。

步驟4更新互譜矩陣CSM

(7)

(8)

將式(7)代入式(8)可得

(9)

一次迭代完成。當算法符合條件‖D(I+1)‖≥‖D(I)‖時，迭代終止。最終，CLEAN-SC輸出的聲像圖是“干凈”波束和剩余聲像圖的疊加

(10)

1.2 CLEAN-SC-CG

為了減少CLEAN-SC的計算時間及提升CLEAN-SC的空間分辨率，提出了CLEAN-SC-CG算法。CLEAN-SC-CG算法利用FB算法對聲源進行初始定位，將獲得初始定位結果作為CLEAN-SC的初始值，然后通過設置閾值對初始值進行篩選，大于閾值的初始值及其相對應的網格信息被保留下來，其他初始值則不參與迭代運算，并另賦它值。

FB算法是在CBF算法的基礎上將CSM進行特征值分解

C=UΣU*

(11)

式中:U為酉矩陣，U=(u1，…，uN)，u1，…，uN為C的特征向量；Σ為對角矩陣，Σ=diag(α1，…,αN)，其中，α1，…，αN為C的特征值。

FB算法的計算表達式

(12)

式中，ν為一個需要根據具體數據集確定的指數。與CBF相比，FB算法通過指數ν衰減與旁瓣相關的PSF值，達到抑制旁瓣、提升空間分辨率的目的，本文指數ν取值為16[15]。

在CLEAN-SC-CG中，僅保留滿足式(13)的聚焦網格點

Aν(ξ)>βν

(13)

式中，βν為閾值。閾值并非一個確定值，本文依據兩個原則確定閾值的取值范圍。原則一為背景噪聲，一般低于背景噪聲的聲源不被關注，試驗環境中背景噪聲的聲壓級可以作為閾值的最小值；原則二為聲壓級低于峰值20 dB的噪聲，低于峰值20 dB的噪聲源對聲場中目標聲源的識別影響較小，所以，此噪聲源的聲壓級可以作為閾值的最大值。閾值影響CLEAN-SC-CG壓縮聚焦網格點的數量以及聲像圖中旁瓣的干擾程度，可根據試驗環境和試驗目的確定閾值的取值。

CLEAN-SC-CG算法的計算步驟及流程圖，如圖1所示。

圖1 CLEAN-SC-CG算法流程圖

步驟1由式(12)計算函數波束形成輸出Aν(ξ)。

步驟2根據式Aν(ξ)>βv，壓縮聚焦網格點。

步驟4對滿足條件的網格點信息進行反卷積(CLEAN-SC)計算，得出 “干凈”聲像圖。

為了方便描述步驟2中壓縮聚焦網格點的結果，引入壓縮比σ[16]

(14)

采用FB算法對原聚焦網格進行壓縮處理，具有3個方面的優勢：①FB算法的高動態范圍可以提供更大的聚焦網格壓縮比，減少運行時間；②FB算法通過調整譜函數的指數值可以獲得分辨率高于CBF的聲源定位結果，為后續算法提供較好的初始值，提升空間分辨率；③FB算法具有定位弱源的優勢，克服了CBF算法因為高旁瓣容易掩蓋弱源的問題。將FB算法定位聲源的優勢與CLEAN-SC算法高分辨率的優勢相結合，可以在更短的時間內得到一個更精確的聲像圖。

2 聲源定位仿真

2.1 仿真設置

本節通過仿真分析CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的空間分辨率及計算效率。仿真中，聲源為兩個不相干點聲源，聲源頻率f1=f2=3 000 Hz，聲壓級均為100 dB。聚焦網格點間隔為0.05 m。陣列為一個同心圓面陣列，直徑分別為d1=0.14 m，d2=0.36 m，d3=0.50 m。傳聲器個數為36，每個傳聲器加入信噪比為10 dB的高斯白噪聲。聲源面與陣列平面平行，且聲源面中心與陣列平面中心在同一條直線上。根據兩項原則，閾值取值范圍為10～80 dB。仿真中CLEAN-SC-CG的閾值為34 dB。反卷積算法中，“干凈”波束的寬度設置為5 cm，即λ= 1.2/0.052=480，安全系數φ=0.99。

2.2 雙源空間分辨率分析

在空間分辨率分析中，坐標原點位于陣列中心，聲源面與陣列平面之間的距離z=3 m，聲速c=340 m/s，則瑞利極限R=1.22zc/(d3f)≈0.83 m。聚焦聲源面為4 m×4 m，網格點數為6 561。經數據分析，在上述仿真條件下，CLEAN-SC-CG的雙聲源空間分辨率極限為0.55 m。以下為兩種不同間隔下CLEAN-SC-CG的不相干雙聲源識別圖像。

當聲源間隔為0.55 m時，聲源分別位于(0,0,3 m)和(0.55 m,0,3.00 m)處；當聲源間隔為0.60 m時，聲源分別位于(0,0,3 m)和(0.60 m,0,3.00 m)處。圖2(a)～圖2(d)分別為CBF、CLEAN-SC、FB(ν=16)、CLEAN-SC-CG識別間隔為0.55 m的不相干雙聲源圖像。圖3(a)～圖3(d)分別為CBF、CLEAN-SC、FB(ν=16)、CLEAN-SC-CG識別間隔為0.60 m的不相干雙聲源圖像。聲源識別圖像的動態顯示范圍為50 dB。

圖2 間隔為0.55 m的不相干雙聲源識別圖像

圖3 間隔為0.60 m的不相干雙聲源識別圖像

當聲源間隔為0.55 m時，CBF的聲源識別圖像出現主瓣融合的現象，如圖2(a)所示，其最大聲壓級估計值為100.58 dB。CBF出現主瓣融合，可能導致峰值位置與目標聲源位置不一致或者峰值個數多于目標聲源個數。然而，CLEAN-SC需要通過搜索CBF計算結果中的峰值達到“凈化”CBF聲源圖的目的。當CBF出現主瓣融合時，CLEAN-SC無法準確定位目標聲源的位置，甚至出現兩個“偽聲源”，如圖2(b)所示。圖2(b)中，CLEAN-SC識別不相干雙聲源的定位結果為(0.25 m,0,3.00 m)和(0.75 m,0,3.00 m)，其x方向誤差分別為0.25 m和0.20 m，y方向定位誤差均為0。仿真中，CLEAN-SC的迭代次數為19次，最大聲壓級估計值為100.54 dB。FB算法通過指數ν衰減了與旁瓣相關的PSF值，抑制旁瓣，突出主瓣，提升了CBF聲源識別的空間分辨率，有效地降低了出現主瓣融合現象的機率，如圖2(c)所示，其最大聲壓級估計值為100.16 dB。由于FB算法提供的較好分辨率的聲源定位結果，CLEAN-SC-CG可以準確識別聲源，其不相干雙聲源的定位結果為(0,0,3 m)和(0.55 m,0,3.00 m)，迭代次數為3次，壓縮比為27.11，最大聲壓級估計值為100.19 dB，如圖2(d)所示。

當雙聲源間隔為0.6 m時，CBF的聲源識別圖像仍然出現了主瓣融合的現象，如圖3(a)所示，其最大聲壓級估計值為100.22 dB。當CBF出現主瓣融合現象時，CLEAN-SC無法準確定位目標聲源的位置。CLEAN-SC識別不相干雙聲源的定位結果為(0.1 m,0,3.0 m)和(0.7 m,0,3.0 m)，其x方向定位誤差均為0.1 m，y方向定位誤差均為0，最大聲壓級估計值為100.18 dB。CLEAN-SC的聲像圖中出現了一個“偽聲源”，如圖3(b)所示。相比于CBF，FB算法聲源識別結果較清晰，如圖3(c)所示，其最大聲壓級估計值為100.06 dB。由于FB較好的聲源定位結果，CLEAN-SC-CG準確識別出雙聲源，其定位結果分別為(0,0,3 m)和(0.6 m,0,3.0 m)，迭代次數為4次，壓縮比為27.11，最大聲壓級估計值為100.03 dB，如圖3(d)所示。由上述仿真結果可得，CLEAN-SC-CG可以有效地提升聲源識別的空間分辨率。

2.3 計算效率分析

通過分析聚焦網格點數，研究CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計算時間變化趨勢。仿真中，計算效率采用CLEAN-SC與CLEAN-SC-CG計算時間的差值ΔT與CLEAN-SC-CG的計算時間TCLEAN-SC-CG的比值η進行評價。η值越大，計算效率提升越顯著。圖4為CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計算時間及CLEAN-SC-CG的壓縮比σ隨聚焦網格點數J的變化曲線。圖4中，隨著J的增加，CLEAN-SC-CG和CLEAN-SC兩種算法的計算時間均有所增加。根據算法可知，隨著聚焦網格點數增多，CLEAN-SC-CG計算波束形成及篩選聚焦網格點的運算量增加，CLEAN-SC計算波束形成及每次迭代更新聲功率和“干凈”波束的運算量同樣逐漸增加。但是，由于壓縮了參與算法迭代的聚焦網格點數，CLEAN-SC-CG的計算時間始終小于CLEAN-SC的計算時間。同時，隨著J的增加，CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計算時間相差越大，CLEAN-SC-CG的計算速度優勢越發明顯。根據壓縮比的變化曲線可知，由于聚焦網格點數增加，壓縮比逐漸增大，CLEAN-SC-CG壓縮網格效果越顯著，剔除冗余聚焦網格點數越多，與相同聚焦網格點數下CLEAN-SC的運算量相比越少，所以CLEAN-SC-CG的計算速度優勢越明顯。在仿真中，當網格點數J=1 681時，CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計算時間相差最小，差值約為0.97 s，計算效率η≈1.36，壓縮比σ=14.49，即計算效率至少可以提升1.36倍。由此可得，CLEAN-SC-CG可以有效提升計算效率。

圖4 CLEAN-SC和CLEAN-SC-CG的計算時間、聚焦網格點壓縮比

3 試驗驗證

3.1 試驗設置

雙揚聲器識別試驗布局如圖5所示，采用不相干信號激勵的兩個揚聲器作為聲源。激勵信號的頻率f=2 000 Hz，兩個揚聲器分別位于(0.2 m,0,1.0 m)、 (-0.2 m,0,1.0 m)。試驗在半消聲室(9.8 m×8.6 m×3.5 m，長×寬×高)內進行，采用與仿真相同型號的面陣列及LMS SCADAS Mobile數據采集儀測量聲壓信號。兩個揚聲器距離0.4 m

圖5 試驗布局圖

3.2 試驗結果分析

圖6(a)、6(b)分別為CLEAN-SC、CLEAN-SC-CG的揚聲器識別圖像，“o”為目標聲源位置，“*”為算法定位聲源位置，動態顯示范圍為50 dB。由圖6(a)可得，CLEAN-SC識別揚聲器的圖像分辨率不理想，定位結果分別為(0.21 m,0.04 m,1.00 m)和(-0.19 m,0,1.00 m)，計算時間為35.45 s，最大聲壓級估計值為86.41 dB。與圖6(a)相比，圖6(b)CLEAN-SC-CG識別揚聲器的圖像分辨率明顯提升，定位結果為(0.20 m,0.03 m,1.00 m)和(-0.2 m,0,1.0 m)，定位誤差更小，最大聲壓級估計值為87 dB。CLEAN-SCG-CG的壓縮比σ=78.45，計算時間為7.24 s，計算效率η≈3.90，即與CLEAN-SC相比，CLEAN-SC-CG有效的縮減了參與計算的聚焦網格點數量，計算效率提升了約3.90倍。根據定位結果，造成y軸定位誤差的原因可能為正半軸揚聲器非嚴格位于x=0的軸線上，即測量誤差。試驗結果與仿真結果基本一致，驗證了仿真結論的正確性。