基于DUEA 的天線伺服控制系統仿真

李寧,劉志勇,王娜,*,楊壘

1.中國科學院 新疆天文臺,烏魯木齊 830011

2.中國科學院大學 天文與空間科學學院,北京 100083

射電望遠鏡在不同頻率觀測時,要求指向精度與對應頻率的半功率波束寬(Half-Power Beam Width,HPBW)正相關,而拋物面天線的半功率波束寬約等于觀測波長與射電望遠鏡天線口徑的比值。因此天線口徑的增大及觀測頻率的提高對天線指向精度提出了更高的需求,如擬建的110 m 口徑奇臺射電望遠鏡(Qi Tai radio Telescope,QTT),要求觀測100 GHz頻率電磁波時的最終指向精度達到1.5″。與此同時,天線口徑增大帶來的問題為實現天線高指向精度帶來新的挑戰。

天線伺服系統是一種典型的高精度運動控制系統,其控制精度常受到諸如陣風、重力及冰雪等載荷、結構柔性、未建模動態、摩擦死區、齒隙等非線性因素的制約。而天線口徑的增大不僅使天線受到重力及陣風等載荷的影響增大,還導致系統機械諧振頻率的降低,限制了系統的響應速度,又使得系統控制性能受到非線性摩擦的影響更為突出。除此之外,天線長時間觀測運轉造成的設備磨損老化以及溫度梯度造成系統參數攝動,使得系統不確定性對天線指向性能的影響更加明顯。分析可知,以上因素對天線指向控制的影響主要表現為2種情形：①磨損老化以及溫度梯度使天線伺服系統的系統參數發生變化；②陣風、摩擦等以擾動的形式作用于天線的伺服系統。因此降低天線系統的不確定以及擾動對天線伺服系統輸出的不利影響,是實現天線高指向精度的前提。常用方法是在伺服控制中引入相應補償策略或利用先進控制算法進行主動控制,從而提高系統的控制性能。

比例-積分-微分(PID)控制是天線伺服控制常用的控制方法,然而當性能指標提高時,PID 控制明顯不能滿足控制需求,因此基于非線性PID、迭代學習-模糊PID、線性二次型高斯(LQG)、、定量反饋理論(QFT)以及自抗擾控制(ADRC)等先進控制算法被用于提升系統的控制性能,此外,在傳統線性控制的基礎上引入速度、加速度前饋的方法也被用于提高天線的跟蹤精度。正如文獻[14,18]指出,PI簡單可靠,但控制性能有限；LQG 與能夠很好地提升控制性能,但當參數發生攝動時,由于LQG 對系統模型有很強的依賴性,使得LQG的控制性能變化較大,使用混合靈敏度控制的性能指標也發生了較大變化。相較于,由于對系統參數攝動具有較好的魯棒性,因此二階ADRC的控制性能變化不大,但其上升時間等暫態性能差點。分析發現控制設計通常對具有加性或乘性不確定的系統求解滿足一定魯棒性能的高階控制器,因此能獲得良好的暫態特性,而對其他問題則顯得保守。LADRC 由于其控制器結構優勢,能夠觀測和補償與認知模型不相符的不確定和擾動(即總擾動),從而提高了系統性能的魯棒性。因此為提升天線伺服系統的控制性能,有必要綜合兩者的優點來設計天線伺服系統的控制器。

1 射電望遠鏡伺服系統建模

典型射電望遠鏡天線的伺服系統由方位和俯仰2個伺服子系統組成,通過電機驅動2個子系統實現天線的指向。方位軸和俯仰軸在幾何上相互正交,系統結構上具有相似性,因此只需對其中一個子系統進行建模分析。

圖1為雙反射面射電望遠鏡天線的方位伺服系統簡化模型。天線方位系統的徑向臂通常有2組,其中組為驅動天線方位運轉的驅動力臂,組為起平衡作用的平衡臂,圖中為示意僅畫出一組驅動力臂。每一組力臂上的電機帶動滾輪轉動,從而實現天線的方位指向,組驅動力臂在電機選型和結構組成上完全相同。圖中：、分別表示包括主面、副面撐腿和副面等上部結構的轉動慣量和角位移；、、分別為包括天線A-型架在內的主面下部結構的扭轉剛度、阻尼系數以及角位移；、分別為電機轉子的轉動慣量和角位移；、分別為滾輪的轉動慣量和角位移；、分別表示電機和滾輪之間的扭轉剛度和阻尼系數；、分別表示滾輪驅動部位的旋轉慣量和角位移；、分別為下部結構與驅動力臂間的扭轉剛度和阻尼。

圖1 射電望遠鏡方位模型描述Fig.1 Azimuth model for radio telescope

由圖1中所示物理量寫出系統的動能、勢能以及耗散能：

設滾輪和輪軌的半徑比為,則有=,取系統的廣義坐標向量為=[],系統的運動方程以及歐拉-拉格朗日方程分別為

其中：、、、分別表示系統的質量、阻尼、剛度矩陣以及廣義輸入力,=1,2,…,4表示廣義坐標分量的編號。化簡式(5),有

系統的輸入量為

式中：表示電機的輸出力矩；表示力矩的輸入矩陣；為控制輸入量。整理系統運動方程有

進一步記作

式中：表示系統矩陣；表示系統控制輸入矩陣；代表系統輸出矩陣；為系統的直通項。該狀態方程對應的傳遞函數為

2 控制器設計

2.1 基于回路成形的混合靈敏度H∞主控制器

典型反饋控制的結構框圖如圖2 所示。圖中：表示反饋控制器；表示被控對象；、、、、分別表示系統的參考輸入指令、輸出響應、跟蹤誤差、控制輸入量以及量測噪聲。假定被控對象確定,也不受外擾影響,整個控制系統只受量測噪聲影響,對標稱模型求解滿足性能指標要求的控制器。

圖2 帶有加權輸出的反饋控制系統結構框圖Fig.2 Block diagram of feedback control system with weighting outputs

該控制系統的開環傳遞函數()、跟蹤誤差傳遞函數()、控制器輸出傳遞函數()、系統輸出響應傳遞函數()分別為

跟蹤誤差傳遞函數不僅表示了系統從輸入到跟蹤誤差的頻域響應,也表示了系統對輸出擾動的抑制能力,及系統的靈敏度函數()；控制器輸出傳遞函數也稱為控制靈敏度函數(),表示控制器輸出的頻域響應；輸出響應傳遞函數也稱補靈敏度函數(),表示系統對輸入參考指令跟蹤的頻域特性,也可以表示從量測噪聲到系統輸出的傳遞函數。若要求系統的跟蹤誤差、控制信號、系統對量測噪聲的響應在相應頻率上小于某一給定值,可以分別對相應傳遞函數設計加權函數()、()和(),使得歸一化后輸入到加權輸出、、的傳遞函數的最大奇異值小于給定值(一般為1),進而可以設計基于回路成形思想的控制器。而傳遞函數的最大奇異值等于其范數,因此設計指標可記為

由于是對3 個靈敏度函數進行范數設計,因此該設計方法也稱為混合靈敏度設計。對式(15)作下分式變換,得到傳遞矩陣

因此混合靈敏度控制問題可以表述為,設計控制器,使得：① 閉環系統內穩定；②閉環系統的傳遞函數矩陣的范數小于給定值。

選擇合適的加權函數后再使用MATLAB軟件中的mixsyn 函數即可解得滿足標稱系統指標要求的控制器。由此可知基于回路成形認識的混合靈敏度控制設計具有非常直觀的解釋,對標稱模型來說是一種非常有效的控制設計方法。盡管關于混合靈敏度控制的常見視角是抑制被控對象某種假設的不確定,如逆乘性不確定()、乘性不確定()、加性不確定(),但正如文獻[20]所言,該假設的前提是系統的不確定滿足范數有界,性能可由閉環傳遞函數的范數測量；此外,當系統存在不確定時,雖然基于抑制系統不確定視角設計的控制器能得到可接受的控制性能,但攝動后的系統控制性能較標稱性能必然會發生變化。因此本文從回路成形的視角理解混合靈敏度控制設計方法并用于對標稱模型設計主控制器,為保證基于標稱模型設計的控制性能,需要對因參數攝動和外部擾動造成的系統輸出變化進行額外補償。

2.2 系統擾動/不確定的觀測與補償

考慮嚴真(=0)被控對象,當系統受到輸入擾動,且系統存在參數不確定(簡單起見,假設系統未受到輸出參數不確定)及非線性特性,即如下情形

式中：、、為 辨 識 得 到 的 系 統 參 數；(,)為系統的不可線性化部分,對式(17)變形有

辨識得到的標稱模型的狀態方程為

可見,(-y)的產生主要由(Δx+Δ u++(,))造成,直接確定(Δx+Δ u++(,))是一件完全不可能的事,然而方便的是確定其對系統輸出的影響。因此基于等效輸入擾動(EID)的思想,假設對于任意的時間,總是存在一個等效的輸入擾動,滿足如下狀態方程

使用GESO 觀測的等效輸入擾動可以補償輸入擾動、系統參數攝動及非線性部分對系統輸出造成的影響,實際上,還可以補償任意影響系統輸出的擾動和不確定。基于GESO 的擾動/不確定觀測和補償的結構框圖如圖3所示。

圖3 基于廣義擴張狀態觀測器的擾動/不確定觀測補償結構框圖Fig.3 Block diagram of disturbance/uncertainty estimation and attenuation based on generalized extended state observer

3 仿真與分析

本文以某35 m 口徑天線的方位軸傳遞函數為研究對象,其傳遞函數為

利用混合靈敏度設計方法設計滿足如下性能指標的控制器：

1)上升時間小于2 s。

2)超調量小于20%。

3)調節時間小于4 s。

確定權函數的常用公式是

式中：表示靈敏度函數的峰值,一般要求小于2；表示靈敏度函數帶寬；表示允許的穩態誤差。

為了構造要求的穩定度,使得/的比值等于穩定裕度,并且取為補靈敏度函數的帶寬；為保證為真函數且滿足一定的高頻抑制能力,在分子中添加/項,表示對高頻信號的抑制度。通常要求小于一個常數。通過對系統綜合分析,得到如下權函數

將GESO 的極點配置到系統控制帶寬的整數倍,得到如下觀測器增益

最終的控制系統結構框圖如圖4所示。其中主控制器用于實現標稱系統的性能,GESO 用于對系統的不確定和受到的擾動進行觀測和補償。

圖4 最終的控制系統結構框圖Fig.4 Block diagram of final control system

由第1節射電望遠鏡伺服系統建模結果可知系統參數的不確定可以表示成系統互質因子型不確定,因此考慮系統參數(19.712,111.736,6.54,151,580,1 370)發生攝動,考察2個極限攝動對象的單位階躍響應。性能指標有上升時間(Rising Time)、超調量(Overshoot)、調節時間(Settling Time)以及絕對誤差時間積分值(ITAE)。對比使用控制器與使用-GESO 控制器時系統性能指標的變化。

首先考慮參數未發生攝動的情況,仿真結果見圖5。由圖5可知2種控制器作用下的系統響應完全一致,這表明由于無參數攝動造成響應誤差,因此GESO 沒有起作用。

圖5 2種控制器分別作用下的響應曲線Fig.5 Response curves under action of two controllers respectively

再次考慮系統參數攝動的情況,當參數攝動5%時,使用控制器和-GESO 控制器的仿真結果分別如圖6(a)、圖7(a)所示,對應的上升時間-調節時間,超調量-ITAE 的散點圖見圖6(b)、圖6(c)、圖7(b)、圖7(c)所示。去除極端點后,由圖中數據給出表1所示4個性能指標的變化范圍(最大值-最小值)以及-GESO/性能指標的分散比值。為方便比較,表1中也給出文獻[18]中展示的相同攝動情況下的傳統整數階PID的控制指標的變化范圍。由實驗數據可知參數攝動時使用控制器和-GESO 控制器都能獲得滿足要求的性能指標,而使用-GESO 控制的各項性能指標變化范圍更小,-GESO 的指標分散度最大為指標分散度的66.7%,最小僅為40%,因而獲得更好的控制性能。雖然PID控制的上升時間變化范圍較小,但其他3項指標的變化范圍均比和-GESO 的大。此外,文獻[18]中PID 控制為了取得較小的上升時間和要求的調節時間,使得控制系統的超調量超過天線伺服控制要求的最大超調量,實際中這樣的控制器不能應用于真實天線伺服控制系統。

表1 使用不同控制策略的性能指標變化范圍Table 1 Variation range of performance indexes using different control strategies

最后分析參數攝動5%時系統對輸入擾動的抑制能力,主要考慮天線系統受到階躍擾動和隨機擾動2種。

首先,分析系統受到階躍輸入擾動的情況,結果如圖6(d)、圖7(d)所示。由圖6(d)可知設計的控制器只是在一定程度上抑制了擾動,但不能完全抑制輸入擾動對系統輸出的影響,而圖7(d)表明-GESO 控制器不僅可以做到無凈差抑制擾動,而且能更快地實現對系統不確定和受到擾動的觀測和抑制。

圖6 使用H∞控制器的仿真結果Fig.6 Simulation results using H∞controller

圖7 使用H∞-GESO 控制器的仿真結果Fig.7 Simulation results using H∞-GESO controller

其次,分析系統受到隨機輸入擾動,用以模擬天線伺服系統受到的風荷擾動。天線系統一段時間內受到的風荷可以表示成平均風和陣風的組合,因而可以用階躍信號表示作用于天線系統的平均風,用隨機平穩序列表示系統受到的陣風載荷,陣風載荷可通過高斯白噪聲和Davenport功率譜得到。作用于天線主反射面的風荷在主面上形成風壓,進而形成影響系統方位、俯仰輸出的力矩,因此可以將風致力矩轉換到天線伺服系統速度環,等效為速度環的輸入擾動。圖8為系統抑制輸入隨機擾動的結果,同樣為比較,本文給出PID 控制的結果。由圖8可知,雖然隨機風對伺服系統一直有影響,但遠不如平均風對系統的影響大。雖然使用PID 控制可以抑制風載作用,但相較和-GESO,PID 對 隨 機 輸 入 擾 動 的抑制效果相對更差。

圖8 隨機擾動抑制結果Fig.8 Simulation results of random-disturbance rejection

同時,由圖6(d)和圖7(d)也可以看到,單獨使用控制的結果能更快到達響應穩態值,而使用-GESO 控制的結果雖然呈現1‰的波動,但能收斂到0值。分析可知原因在于GESO對擾動的持續調節所致,也是分散控制器設計方法的不足,相信還有較本文控制性能更優的控制器設計方法。

4 結 論

本文研究了射電望遠鏡天線系統參數不確定和外部擾動影響時射電望遠鏡天線伺服系統的控制性能。

1)理論分析表明：無論對于系統的參數不確定,高階未建模部分還是外部擾動,均可將其等效為輸入擾動(EID),設計廣義擴張狀態觀測器(GESO)對其進行觀測,進而補償其對系統輸出的影響。

2)仿真結果表明,無論對于系統參數的不確定,還是系統受到的輸入階躍擾動或隨機擾動,單獨使用混合靈敏度控制器可以獲得滿足性能指標要求的控制性能,而使用-GESO 控制器可以獲得較單獨使用控制器更優的控制性能,其性能指標的分散度僅為指標分散度的66.7%及以下,因而更好地保證了射電望遠鏡的指向穩定度和指向精度。

致 謝

感謝在本文寫作過程中提供建議的聞成、王艷、馮金平三位博士。