非匹配擾動下變體無人機預設性能控制

李新凱,張宏立,*,范文慧

1.新疆大學 電氣工程學院,烏魯木齊 830047

2.清華大學 自動化系,北京100084

半傾轉旋翼變體無人機結合了傳統多旋翼無人機和固定翼無人機的優勢,具有可垂直起降、懸停、長航時、高速巡航等優異特性,成為執行監測任務的新機種。根據不同任務需求,變體無人機可自由切換飛行模式,在復雜環境和任務中能表現出良好的穩定性,靈活性和魯棒性。目前已創造出多種變體無人機,包括但不限于經典傾轉旋翼機,仿生撲翼機,矢量推進旋翼機,尾座式無人機等多種復合構型。由于變體無人機的飛行模式涉及機械結構切換、數學模型復雜度提升等問題,給設計更加魯棒、通用且高效的控制器提出了更高的挑戰。

半傾轉旋翼變體無人機欠驅動、強耦合等固有特性使其對外部擾動尤其是非匹配擾動更加敏感,增加了控制難度。匹配擾動是指擾動與控制輸入在同一通道中,而非匹配擾動是指異于控制輸入通道進入系統的擾動。非匹配擾動廣泛存在于實際工程系統中,如火箭系統和直升機系統等。為了處理系統擾動,研究者提出了多種控制方法,包括自適應控制、滑?？刂频?。然而這些方法只有當外部擾動滿足匹配條件時才能保證不變性,不能對非匹配擾動進行有效抑制。這是由于非匹配擾動無法利用反饋控制器直接消除,已有的傳統抑制匹配擾動的控制方法無法有效地處理非匹配擾動對系統性能的影響。為此,文獻[13]針對具有執行器故障、非匹配擾動和時變時滯的連續李普希茨非線性控制問題,提出了一種自適應積分滑模容錯控制技術,其中包含了兩個自適應律和補償器來補償觀測器的誤差以減小執行器故障的影響。文獻[14]針對非匹配擾動,分別設計了無記憶的積分滑模面和基于記憶的積分滑模控制器,在板球系統中進行了驗證。文獻[8,15]同樣采用擾動觀測器的滑模控制方法來抵消非匹配擾動。然而,文獻[13-15]提出的擾動觀測器針對的非匹配擾動類型較為單一,難以適用于工作環境復雜的強耦合非線性系統。文獻[8]利用多變量有限時間觀測器對非匹配和匹配擾動進行估計,但未能將非匹配擾動準確分離,僅當作外部綜合擾動進行處理。

浸入與不變(Immersion and Invariance,I&I)理論作為一種可對系統不確定性進行估計的非線性觀測器,其最大特點是允許估計值不依賴控制律而收斂到其真實值,自提出后得到了廣泛關注。近年來,學者提出動態尺度技術,并與I&I理論相結合用于估計系統中的非線性項,取得了較明顯的效果。文獻[21]針對重力場和旋轉速度未知的小行星,基于I&I理論并結合動態尺度技術設計了一種自適應律,與反步控制器結合來估計未知參數。文獻[22-23]采用I&I理論與動態尺度因子結合,針對無速度航天器設計了基于姿態四元數的角速度耦合觀測器。不可否認,結合動態尺度技術和I&I理論的觀測器對系統不確定性具有較高的估計精度。然而,動態尺度因子的自適應收斂具有被動屬性,不能使觀測器達到滿意的收斂速度,需要對其進行主動的監督和調節。

此外,復雜任務執行期間要求變體無人機的軌跡及姿態跟蹤系統具有優異的瞬態性能且能滿足性能約束。由于預設性能控制可同時表現出系統的穩態和瞬態性能的優異特性,自提出以來受到廣泛研究。文獻[26-27]將性能函數與自適應反步控制方法結合,分別對航天器、高速列車存在的執行器故障和系統不確定性問題進行了研究。文獻[28-29]將性能函數與滑?？刂品椒ㄏ嘟Y合,分別對空間機器人、四旋翼無人機系統存在的不確定性問題進行了研究。然而,文獻[26-29]都采用了原始文獻[24]中預設性能函數的基本形式(()=(-)e+),是對預設性能控制的基本推廣。文獻[30]首次引入具有有限時間收斂特性的預設性能函數(Finite-time Performance Function,FTPF),可在預設時間內達到跟蹤誤差的規定性能,隨后文獻[31-32]對其做了部分成果推廣。另外,障礙Lyapunov函數(Barrier Lyapunov Function,BLF)具有天然的約束屬性,同樣在解決系統狀態約束問題方面得到了發展。由于預設性能函數與BLF 在解決系統約束方面具有共通之處,有學者開始探索兩者結合的可能性。文獻[37-38]將性能約束嵌入到BLF的傳統對數形式中,然后與基礎的性能函數設計形式結合設計出相應的控制器。文獻[39]采用基礎的性能函數對系統滑模面進行約束,并將其以對數形式引入到控制器中。以上嘗試僅僅采用了兩種基本方法的簡單結合,沒有充分考慮BLF在不同擾動環境下所表現出的不同性能。如果能將FTPF 的形式進一步與BLF 思想有機融合,有望獲得更好的性能表現。

本文以變體無人機為研究對象,針對非匹配擾動和飛行模式切換易造成瞬態失穩的問題,構造基于復合I&I的非匹配/匹配擾動觀測器和融合BLF的新型有限時間預設性能控制器。主要貢獻如下：

1)提出復合I&I結合動態尺度因子的非匹配/匹配擾動觀測器,并提出監督因子對動態尺度因子進行有效調節,以提高非匹配/匹配擾動估計的收斂速度。

2)首次提出基于上下界的二分型FTPF 構型。對上下界性能約束函數分別進行有限時間理念的單獨設計,可優化跟蹤誤差的瞬態性能,同時提高穩態誤差的收斂精度。

3)將FTPF的約束和動態滑模面作為BLF的邊界條件,首次構造了新形式的BLF,使跟蹤誤差能夠在有限時間內獲得高品質的收斂性能。

1 變體無人機模型及預備知識

1.1 變體無人機物理模型

本文所研究的變體無人機旨在滿足長途、長航時等基本任務需求的同時,力求結構緊湊、機械結構簡單、操作可靠。一種四旋翼-固定翼復合模式的半(前)傾旋翼變體無人機,其三維結構形態如圖1 所示。前兩個電機安裝在機翼的前中邊緣,機翼依靠內部舵機齒輪動力在垂直-水平位置范圍內傾轉。機翼傾轉到垂直位置,變為垂直起降模式時只使用電機旋翼推力垂直起飛、降落和懸停；當需要高速長航時的水平飛行模式時,機翼逐漸傾斜到所需速度的適當角度以獲取機翼升力,與后兩個旋翼共同作業克服重力和阻力,并相應地調整電機推力。飛機總翼展為1.2 m,單機翼面積為0.08 m,四旋翼模式軸距792 mm,重量為3 kg。通過將大比重零部件(例如電池)后移,調整重心至垂直起降模式下各旋翼的中心點上,使其前后左右質量對稱分布。與傳統四傾旋翼無人機相比,其執行器結構簡單,總質量低,控制穩定。變體無人機的飛行模式切換過程如圖2所示,包含3種模式：垂直起降飛行模式,過渡飛行模式和水平飛行模式。

圖1 變體無人機CAD 結構設計Fig.1 CAD structural design of morphing aerospace vehicle

圖2 飛行模式切換示意圖Fig.2 Schematic diagram of flight mode switch

綜合考慮其飛行特性,翼型采用Clark-Y 型,通過Solidworks/Flow Simulation進行流體動力學仿真,對翼型提供升阻力的能力能否滿足飛行需求進行驗證。由圖3和圖4所示的流體仿真結果可知,風速為15 m/s,攻角為8.5°時,可獲得15.57 N的升力；風速為20 m/s,攻角為5°時,可獲得18.55 N的升力；機翼與后兩旋翼共同出力能夠滿足飛行需求,兩組仿真計算均能說明翼型選擇的合理性。

圖3 翼型流體仿真Fig.3 Airfoil fluid simulation

圖4 翼型流體動力學仿真結果Fig.4 Simulation results of airfoil fluid dynamics

1.2 變體無人機數學模型

圖5 變體無人機的坐標系框架與機體受力示意圖Fig.5 Schematic diagram of body force and coordinates of morphing aerospace vehicle

忽略機翼力,設置=π/2,垂直起降模式的動力學方程為

過渡和水平飛行狀態的動力學方程可寫為

從動力學模型(1)和(2)可知,垂直起降飛行模式可看作是當=π/2時在過渡和水平飛行模式下數學模型的一種特殊形式。在水平飛行模式下,由機翼產生的升阻力及其轉矩可表達為

式中：表示機體坐標系到世界坐標系的轉換矩陣,具體表達式為

機翼與機體夾角作為變體無人機的關鍵變量決定了過渡和水平飛行模式的飛行品質。飛行模式切換過程中,在初進入過渡飛行模式時,匹配擾動會對機體產生較大的擾動影響,根據的變化,將變形過程中對機體造成的綜合影響作為擾動來處理,可以達到更好的飛行品質。

帶有非匹配/匹配擾動的變體無人機的動態模型可表示為如下的緊湊形式：

式中：,=1,2,3,4,5,6表示每個子系統通道(,,,,,)；表示每個子系統通道的一階微分；,分別為系統的非匹配擾動和匹配擾動,[,,,,,]=[,,,,,],[,,,,,]=[1/,1/,1/,1/I,1/I,1/I],

外部非匹配/匹配擾動,是連續可微的,且對其Lipschitz常數Δ有sup{||,||}≤Δ,其中Δ為外部擾動的上界。

本文采用內外環控制,將位置控制設置為外環,姿態控制為內環,控制結構框圖如圖6所示。

圖6 本文方法的控制原理框圖Fig.6 Schematic diagram of the proposed control strategy

將位置外環轉化為虛擬控制輸入,通過預設軌跡可解算出對應的理想輸入姿態角。轉換的等效虛擬控制輸入如下：

解算出總推力輸入和對應的姿態角分別為

1.3 引理與命題

考慮如下二階非線性系統

式中：：→R 在原點的開鄰域內連續。假設系統(11)對所有初始條件都有唯一解。為的初始值。

2 基于復合I&I的擾動觀測器

本節構建復合形式的I&I擾動觀測器,對非匹配擾動和匹配擾動同時進行估計。

傳統基于I&I理論的觀測器僅僅是由跟蹤誤差的信息驅動的。然而,參數估計誤差,即預測誤差,也包含了參數自適應的有用信息。當2種信息源結合使用時,往往能獲得較好的參數估計結果。在本節中,首先構造了由跟蹤誤差和預測誤差共同驅動的復合I&I擾動觀測器,首次與動態尺度因子進行結合,并利用監督因子對動態尺度因子進行調節,提高觀測器的觀測性能。

考慮式(6)中存在非匹配和匹配擾動的系統,定義非匹配擾動和匹配擾動的估計誤差分別為

如果以下誤差流形集具有吸引與不變性,

將式(16),式(17)分別代入(14),式(15),得到

選擇補償函數為

式中：a＞0。將式(20)代入到式(19)中,可得

選擇與式(21)中第1項相似的跟蹤估計誤差形式,預測誤差的估計律可以選擇為

引入動態尺度技術來提高對非匹配/匹配擾動的估計精度,動態估計誤差可被重新設計為

對動態估計誤差z 求導,并將式(21)～式(22)代入,可得

監督因子α具有主動性,動態尺度因子r是被動的,當α被設置時r 自適應地收斂到某定值。兩者共同作用保證I&I擾動觀測器能夠準確地對非匹配/匹配擾動進行估計。

為保證尺度估計誤差z 的收斂以及r ()∈,定義軌跡跟蹤狀態和誤差動態的估計表達式分別為

式中：k ＞0。

構建有限時間動態尺度因子r ()的形式為

估計誤差z 是漸近穩定的。

3 有限時間預設性能函數與控制器設計

預設性能控制方法能夠通過定量約束來刻畫變體無人機的穩態和瞬態性能,且不限制具體的控制器設計方法,這些特性都使得預設性能控制方法可以實現高品質的控制性能。傳統預設性能約束關系(如文獻[26-29]等)依賴于跟蹤誤差初始值的正負性,且上下界的關系只是同一個性能函數簡單的線性尺度縮放關系。其原理上只能使系統跟蹤誤差單側的上界/下界受到合適的約束,而另一側不能自適應“貼合”下界/上界約束,影響初始階段即有限時間內的瞬態性能。

在本文中,分別定義不同的FTPF 來組成上下性能邊界,具有指數級的有限時間收斂屬性,而無需判定初始跟蹤誤差的正負。

由定義1,一種新的上界FTPF可設計為

式中：＞0,()＜0,()是狀態誤差e()的下界約束。和可以調節在有限時間內的收斂速率,使(),()成為2個指數級收斂可控的性能函數。

此處與第2節中的e不同。表示系統與期望狀態之間的真實誤差,而第2節中e表示系統狀態與估計值之間的估計誤差,用于設計有限時間擾動觀測器,對非匹配和匹配的擾動進行估計和補償。

選擇如下形式的動態滑模面：

將式(33)代入到式(34)中,并求導,可得

基于滑模理論,設計一種帶有超螺旋項的二階滑?？刂破鳛?/p>

式中：＞0,()＞0,()為狀態誤差e()的上界約束。

由定義2,下界FTPF可設計為

傳統性能函數只對系統誤差進行性能約束,忽略了系統狀態一階導數的瞬態表現,難以實現對系統全狀態的性能約束。而滑模面的設計形式決定了其本質是對系統跟蹤誤差及其速度誤差的偽線性綜合。本文將滑模面作為系統的性能指標,能充分展現控制狀態的穩態和瞬態性能。

帶有性能函數約束的動態滑模面滿足如下約束形式：

式中：0＜|s(0)|＜min{■ρ(0),?σ(0)},0≤■,?≤1,選取ρ(0)=11×s(0)。

本文取消傳統性能函數的誤差轉換函數,首次將FTPF 與BLF 相結合,并首次將上下界有限時間性能函數的差值作為BLF 的邊界條件,使跟蹤誤差獲得高品質的收斂性能。

考慮帶有外部非匹配/匹配擾動的系統(6),且滿足假設1 和性能函數約束條件(39),則有以下結論成立：1)動態滑模面s有界且漸近穩定；2)系統(6)狀態變量有限時間一致穩定。

1)首次提出與上下界FTPF 相匹配的BLF形式：

當∈[0,)時,對式(40)求時間導數,有

考慮Lyapunov函數W =L +V ,求導并代入式(35)和式(36),可得

式中：為正定矩陣：

式中：1＜＜2,即2/3＜(+1)/＜2。根據引理1和命題1,系統(6)的狀態變量是有限時間一致穩定的。證畢。

4 仿真結果與分析

變體無人機的機體參數為：=3.0 kg,==0.28 m,=1.293 kg/m,=0.08 m,I =I =1.75 N·s/rad,I =3.5 N·s/rad。

為說明本文所提方法有效性,本節采用2種對比方法。第1種為傳統的I&I方法設計擾動觀測器并結合滑?？刂?SMC)方法(標記為I&ISMC),對比測試本文方法對外部擾動,尤其是非匹配擾動的估計性能。

第2種對比方法是為了驗證本文所提出的預設性能方案的有效性。由于本文采用新形式的FTPF和BLF,為了提高瞬態性能,將滑模面作為被約束指標,暫時找不到相對應的文獻方法。因此,第2種對比方案采用與本文方法相同控制器形式,相同參數,但不采用預設性能函數(標記為Without PPF)的約束來進行對比。

為了綜合測試變體無人機飛行模式的性能,選擇一組多任務復合的參考軌跡,包含“起飛—平滑加速—過渡切換—平飛—圓形盤旋—平飛”等幾項任務：

式中：= (20exp(4))/(exp(4)+1),=50ln(exp(4)+1)-0.907 5,機體的初始位置設為(1,1,0)m。系統受到的非匹配擾動和匹配擾動分別設為

式中：sigmoid=1/(1+exp(-))。非匹配/匹配擾動觀測器初始值全部設置為0。

本文方法的控制增益如表1所示。根據文獻[43],將機翼升阻力系數C,C隨攻角的變化曲線部分合理線性化,得C=0.1+0.3,C=0.002+0.004。取值范圍為[0°,90°]。本文所研究的變體無人機的機翼與機身夾角在垂直起飛模式下保持為90°,8 s時開始進入過渡飛行模式,設計切換曲線為

表1 本文方法控制增益Table 1 Control gains of the proposed method

在切換為平飛模式過程中根據機體的飛行速度動態地調整。另外,設置有限時間動態尺度因子r()中的=3,FTPF的有限時間=2。

圖7和圖8展示了3種方法對參考軌跡的跟蹤性能對比。可以觀察到,I&I-SMC 方法和Without PPF方法往往在初始階段振幅較大,收斂速度較慢。而且,在圓形盤旋階段,Without PPF方法在軸方向產生了較大的軌跡跟蹤偏離。箱線圖統計了10%～90%的跟蹤誤差數據。從箱線圖分析可知,本文方法在最大、最小值,中位數和誤差精度方面均具有明顯的性能優勢。

圖7 3種方法的軌跡跟蹤效果Fig.7 Trajectory tracking effect of the three methods

圖8 3種方法的位置跟蹤誤差及箱線圖分析Fig.8 Position tracking errors and boxplot analysis of the three methods

圖9展示了3種方法的期望姿態角及其跟蹤誤差的響應。該方法求解的期望姿態角比較平滑,表明該方法具有較強的抗干擾能力。Without PPF方法由于缺少性能約束,在橫滾角跟蹤時的圓形盤旋階段,進圓和出圓時產生了瞬間的誤差振蕩；在俯仰角跟蹤初始階段也有較大的抖振,但穩定后有不錯的跟蹤誤差效果。I&I-SMC方法在姿態跟蹤過程中誤差較大且持續抖振。綜合分析可知,本文方法跟蹤誤差較小,既不會在符合任務軌跡切換時產生振蕩,也不會在初始階段產生瞬時超調,證實了本文方法在軌跡及姿態跟蹤效果和穩定性方面具有明顯優勢。

圖9 解算出的期望姿態角及其跟蹤誤差Fig.9 Solved attitude angles and their tracking errors

姿態系統的期望輸入角是由位置系統的虛擬控制律推導出來的。由于控制策略的不同以及擾動的影響,所求出的期望姿態角也不同。因此,必須使用仿真曲線來分別顯示3種方法的期望姿態角。

圖10和圖11分別展示了非匹配擾動和匹配擾動觀測器的估計性能。為了更清晰展現擾動估計誤差的細節,在小窗口中展示結果曲線的整體輪廓。與傳統I&I觀測器對比分析,本文方法在誤差估計方面具有更高的精度,更快的收斂速度和更小的瞬時振蕩。基于復合I&I,并引入有限時間動態尺度因子和監督因子的非匹配/匹配擾動觀測器具有更優異的估計效果。另外,從圖11的匹配擾動觀測結果可以看出,在垂直起降模式下誤差估計精度較高；進入過渡切換模式后,模式切換對機體造成了較大的綜合擾動,因此匹配擾動估計誤差產生了明顯的抖振；切換到水平飛行模式后,擾動估計誤差趨于平穩。在20 s“畫”圓時,機翼與機體夾角不斷自適應調整,同樣造成了擾動估計誤差的抖振。

圖10 非匹配擾動觀測器的估計性能對比Fig.10 Comparison of estimated performance of mismatched disturbance observer

圖11 匹配擾動觀測器的估計性能對比Fig.11 Comparison of estimated performance of matched disturbance observer

為了展示本文所提出的預設性能函數FTPF的約束效果,選取滑模面及其上界FTPF1 和下界FTPF,=0.1,=-0.1,如圖12所示。本文方法的滑模面在2 s內貼合上下2個FTPF,在20 s-(20+2π)s內軌跡切換時同樣始終被1 和限制在約束之內。然而,由于缺乏性能約束,I&I-SMC方法和Without PPF方法在性能收斂階段和20 s-(20+2π)s內均出現了不同程度的振蕩和性能約束溢出。在有限時間內,本文方法沒有大的瞬時振蕩,因而擁有更好的瞬態性能,證實了所提預設性能控制方案的有效性。

圖12 滑模面s1 及其性能函數的約束響應Fig.12 Constraint response of sliding surface s1 and its performance function

由圖13展示的3種方法的控制輸入信號,可以分析模式切換過程對控制造成的影響。由本文方法的控制信號曲線可知,垂直起降模式下控制信號較為平穩；進入過渡飛行模式,關鍵變形量的變化對機體產生了明顯的綜合擾動,相應信號產生了較為明顯的變化,切換至水平飛行模式后趨于平穩；在20 s后由于“畫”圓在軸方向突然施加較大的力,控制輸入信號產生了較大的變化,其動態響應變化與其他曲線結果的分析一一對應。由于控制策略的不同以及復雜擾動的影響,I&I-SMC和Without PPF 方法為了能使飛行器快速達到穩定,控制輸入信號出現較大的抖振。本文提出的非匹配/匹配擾動觀測器對復雜擾動優異的估計效果大大降低了擾動對控制輸入信號的影響,控制輸入較為平滑,穩定性好。

圖13 3種方法控制信號的輸入歷史響應Fig.13 Control signal history responses of the three methods

本文所研究的變體無人機的機翼與機身夾角及其飛行速度關于時間的對應關系如圖14的雙軸曲線所示。機翼在8 s時開始平滑傾轉,根據飛行軌跡和飛行速度的不斷反饋而實時變化。可以看出,I&I-SMC方法和Without PPF方法在水平飛行階段的變化出現小幅高頻抖振；本文方法速度和的變化較為平穩。結合圖13中3種方法的控制輸入信號分析,可知本文方法在平飛過程中有較高的穩定性。

圖14 機翼與機身夾角θf 及機體合成總速率的對應關系Fig.14 Relationship between the angle of wing and fuselageθf and the total synthesis rate of fuselage

由于數據較多,選取有限時間動態尺度因子在圖15中作為展示：本文所提出的有限時間動態尺度因子隨著不同有限時間設定值變化的收斂效果?？梢钥闯?有限時間動態尺度因子均能在不同設定值內平滑收斂。驗證了本文動態尺度因子基于有限時間收斂性能的有效性。

圖15 不同T f 設定值時動態尺度因子r 11的收斂效果Fig.15 Convergence effect of dynamic scaling factor r11 for different values of T f

最后,本文在圖16 中展示了不同監督因子設定值時,相應的有限時間動態尺度因子及擾動的尺度估計誤差的響應。越大,收斂越平滑,同時擾動估計的尺度估計誤差收斂速度越快越精確。

圖16 不同監督因子α11設定值時相應的有限時間動態尺度因子及擾動的尺度估計誤差z 11的響應(T f=3)Fig.16 Responses of finite-time dynamic scaling factor r 11 and disturbance scaling estimation error z 11 for different supervision factorsα11(T f=3)

上述仿真結果說明本文所提出的非匹配/匹配擾動觀測器具有穩定而精準的擾動估計性能,基于FTPF的新型預設性能控制策略是明顯有效的且性能表現優異。

5 結 論

1)基于復合I&I并結合有限時間動態尺度因子和監督因子的非匹配/匹配擾動觀測器,在處理非匹配擾動方面具有明顯優越性,動態尺度因子的有限時間特性在理論和仿真中得到驗證。

2)理論和仿真結果表明,基于上下界的二分型FTPF構型擺脫了傳統性能函數依賴性能誤差初始值正負性的劣勢,且在有限時間收斂過程中有更好的瞬態性能。

3)結合FTPF 約束和動態滑模面構造的BLF能使跟蹤誤差在有限時間內獲得高品質的收斂性能。