“量”“率”均衡 通透分數中的關系

華春紅

【摘? 要】分數不同于一般的數，因為其有“量”和“率”雙重身份。但在教學時，教師對分數的“身份”的理解和關注程度參差不一，難免會出現偏廢現象，使學生分數學習出現一定的困難，使學生對分數的特殊性難以理解，而無法透徹理解分數的意義。對此，教師在進行教學時，應對分數所代表的“量”和“率”之間的關系進行深度剖析，在充分理解“量”和“率”的意義的基礎上，將“量”和“率”均衡發展、融合貫通，用“關系”建立關系，讓學生將分數學通透。

【關鍵詞】“量”;“率”;分數;關系

“分數”是“數與代數”領域的核心內容之一，同時也是難點內容。關于分數的教與學，可謂“百家爭鳴”，著名教育家葉圣陶先生說的“教學有法、教無定法、貴在得法”，主要表達的是，對眾多的教學方法我們不能全盤照抄，只有適合的才是最好的，說得通、理得順，能發展思維就是我們追求的目標。對此，作為一線教育工作者，更應注重“因材施教”，尊重學生的個性差異，考慮到其能力發展現狀，選擇適宜其進行分數學習的教學策略，以引導其同樣能找到適合自己的學習方法。除此以外，特級教師許衛兵說“數學是一門關系學”，我嘗試對這句話進行思考和解讀，與之相關的問題層出不窮地在我腦海里翻涌：分數作為“率”就是一種關系，那么作為“量”呢？兩者是否可以異中求同呢？作為“量”又是如何產生的呢？……帶著這些問題，抓住“關系”這一關鍵詞，我開啟了對分數作為“率”和“量”時方方面面的研究之旅。

一、教材內容分析

五下《分數的意義和性質》教材安排為兩個主體部分：一是分數的意義，二是分數的基本性質。在此之前，學生在二年級學習過“平均分”可以用除法來計算;三年級初步認識了分數，知道把一個物體、一個圖形或者由幾個物體組成的整體平均分成幾份后，其中的一份或幾份可以用幾分之一或幾分之幾來表示。在此之后，學生還將繼續學習分數的四則運算、混合運算以及簡便運算，學習依據分數知識解決相關的實際問題，理解百分數的意義。就本冊教材來看，共116頁，與分數學習有關的從第52頁開始到第84頁結束，占到總頁數的近三分之一，其重要性不言而喻;就整個小學階段學習來看，本單元的學習承上啟下，是學生建立分數知識結構的重要一環。通過這部分的學習，學生腦中的數系得到擴張，由整數到小數再到分數，這之間的聯系和區別需要厘清，同時要學會解決生活中的相關實際問題，從而有效提升他們的抽象思維水平，更好地實現對現實生活中的數量關系的進一步理解和運用，提升其數學綜合素養。

二、教學現象解讀

分數難，難在什么地方呢？究其原因則是分數本身的特殊性，它既可以作為“率”又可以作為“量”，多重身份常常讓學生遇到分數如墜云霧里，導致其在學習中，容易進入被動學習的狀態，從而難以實現思維的有效運轉。在實際教學中，我們常常會出現以下一些現象：

（一）重“分數定義”輕“分數單位”

翻開各大版本的教材，給分數的定義基本相同：“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫作分數”，然后接下來基本上會繼續要求學生認識分數單位。教學時，教師會花相當大的精力，讓學生描述一個分數是如何得到的。與此同時，教師還會把三年級習慣描述的“取這樣的幾份”糾正為“表示這樣的幾份”，為學生后續的假分數學習做準備。而教師對 “分數單位”的認識教學只是一帶而過，甚至可能就是直接告知，不給學生回顧、思考或是質疑的機會。本來對于概念教學，在教師的教學認知中，似乎就是讓學生知道一個已經約定俗成的知識，沒有可以探索的空間，所以造就了重“分數定義”輕“分數單位”這種現象。這樣教學所產生的弊端在第一課時或者短期內都不會輕易被發現，但當遇到用分數來計數、分數加減法、解決分數實際問題等學習要點時，“分數單位”的地位又瞬間提升，這時可能又要將“分數單位”再強化。經歷了這樣“被打斷”到“再回顧”的過程，大部分學生更容易產生混亂的學習思緒，從而使其在學習分數時，形成一定的學習焦慮，導致其跟不上教師的“節奏”。分數教學的“地基”都未打牢，卻妄想加蓋“一棟高樓”，這便是數學教學中的“大忌”，基于此，分數教學“難于上青天”便被坐實了“罪名”。

（二）重“率”輕“量”

上文中已經提及分數的定義，從定義中我們很容易看出該定義刻畫的是“部分與整體”或者“部分與部分”的倍比關系，也就是作為“率”在學習。回顧三年級學習分數時，學生就會比較同分母分數以及分子是1的異分母分數的大小，既然可以比較大小，那就表明確確實實代表的是一個“量”，但在實際教學時，我們又甚少涉及“量”的體現，我們有重“率”輕“量”的嫌疑。張奠宙教授也在《小學數學教材中的大道理》中提出“分數是用來比較大小的，為什么要回避呢？”分數的產生，實質是數系的擴展，也就是說，分數和整數一樣都具有數的本質特征，都可以表示物體（數量）的大小，對于“量”和“率”，對此，反思我們一貫的教學走向，應當認識到兩者是同等重要的，缺一不可。因而為了學生能夠實現高效學習，我們更不能厚此薄彼。

三、教學策略構建

直面以上問題，思考分數的教學顯得很有必要。我們常說數學真奇妙，關系最重要。構建分數教學策略，筆者嘗試在整體建構教學理念的指導下，把握關系建構整體、借助整體明晰關系，并妥善引導作為學習主體的學生，在學分數時能理順關系建立聯系、培養發展關系思維，這樣面對分數時不再望而卻步，反而能增強其學習自主性。

（一）深入教材研讀，把準概念教學，夯實“率”的認識

分數的認識在小學階段一般都分成兩步走，第一次學習是在三年級時對分數進行初步認識，那時的學習多是以分物體，如“分蛋糕”“分大餅”等開始的，借助生活中的直觀模型幫助學生理解分數所呈現的部分與整體的關系，也就是“率”的認識，這時可謂“知其然”。而到了第二個分數學習階段，學生的理解能力和思維能力的發展，均已呈現上升的趨勢，因而安排五年級學生學習的是分數的意義，在第一階段的基礎上，進行了內容和知識應用等方面的“升級”，要求學生將前一階段所學知識與這一階段需要學習的內容聯結起來，從而實現其對“分數”學習基礎的加固，促進其提升對新知識的學習把握度，這應謂之“知其所以然”。這時的一個物體、一些物體、一個圖形、一條線段等都可以看成是一個整體，即生成“單位1”，誰作為“單位1”，這既是認識分數的核心，也是認識分數的難點。

實際教學時，要做好教材前后內容的銜接，既要做到不重復簡單、基本的知識點的講解，也要保證新知與舊知之間不斷層。比如利用直觀圖形認識分數是三年級的學習內容，可以畫但沒有必要反復畫，避免造成課堂時間不必要的浪費。而五年級的學習追求的是從具體走向概括，從具體的實物走向概括的定義，這于學生而言，在知識認知上將會產生“質”的飛躍。對此，教師應當設計好兩者相關的問題，將學生的數學思維從表層帶入深層。“同學們所畫出的圖形都可以用3/4來表示（圖1、圖2），我們都會描述3/4，你能用一句話把所有的分數都概括出來嗎？”在教師問題的引導下，很多同學想到我們學過用字母表示數，“把單位1平均分成m份，表示這樣的n份，就用分數n/m來表示。”經歷這樣的問題探討，學生的思維就進行了一次跨越，從具體走向抽象，建立起前后知識間的聯系與生長，準確把握分數的定義，同時提升了語言表達能力。

（二）利用認數經驗，體驗數系擴展，建立“量”的地位

華羅庚曾說過，數起源于數，量起源于量。華應龍又說過，分數就是先分后數的數。基于名人大家對分數的理論分析，筆者不由得陷入深思：分什么？數什么？分數從屬于“數”的范圍我們不可且無法回避，比大小、分數計算中的分數都是被作為“量”來看待的。我們在對分數作為“量”時進行深度認識之時，可以通過將其置身于學生已有的認數體系中，要求和引導學生從組成、讀寫、大小、應用等方面進行學習，利用前后知識間的結構、已經形成的認數經驗對分數進行掌握、理解與應用。

提及計數，就需要計數單位，分數的計數單位和之前學生所接觸的計數單位有所不同，這又是一次跨越。以前不管是整數還是小數，我們多用“十進制”來計數，而分數需要創造分數單位，分數單位之間沒有固定的進率，大小相同的分數也可以用不同的形式呈現，分數單位都是不同的，個數是無限的，這也是造成學生不習慣分數是“數”的原因。由此，我們也可以看出“分數單位”的重要地位。“分數是先分后數的數”，分的是“單位1”，根據現實情境確定將“單位1”平均分成若干份，也就產生了合適的分數單位，再數有多少個分數單位，這樣我們就可以很好地將分數理解為分數單位的累加。如圖3所示：圖中的分數3/4用來表示，計數單位是1/4，也就是3個1/4的累加。至于分數的讀寫、大小以及應用，我們都可以借助于頭腦中已經形成的認數經驗進行遷移。

（三）“量”“率”整合，分數就是一種“關系”

關系的正常表現是兩個或者是幾個元素之間的，當分數作為“率”時，我們很容易看出是“部分和整體”或者“部分與部分”這兩個元素之間的，而當分數作為“量”時，我們是否能從中也能找到關系的存在？異中求同，將兩者統一起來更深入地理解分數呢？

分數和除法都是以“平均分”為出發點的，在學習分數與除法的關系時：把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得3/4塊餅，這里的3/4塊我們既可以理解為把1塊餅平均分成4份，表示這樣的3份，也就是1塊餅的3/4（圖4）;也可以理解為把3塊餅平均分成4份，表示這樣的1份，就是3塊餅的1/4（圖5）。這樣的理解不帶量綱，實質又回歸到了部分與整體的關系，也就正如許衛兵所說的“量”的表現歸根也是一種關系，帶著這樣的學習深度，對于分數的認識應該會通透。

綜上所述，“量”的意義與“率”的意義是分數意義的兩個方面，不可偏向于任一方面，要能做到均衡發展。而“量”和“率”在根本上又有著共通之處，借用“關系”聯結起分數知識間嚴密的邏輯體系，用舊知遷移新知，發展數系結構，實現學生的思維“自能化”，能夠讓分數學習更有趣，讓學生與分數更親近。

【參考文獻】

[1]華應龍.我不只是數學[M].北京：中國人民大學出版社，2018：176-201.

[2]許衛兵.數學是一門“關系學”——基于整體建構的視角[J].小學教學參考，2020（9）：1-3.