基于學生認知起點　培養數學運算能力

朱建玉

在小學數學中，乘法分配律是算術運算性質方面的重要內容，它聯系了乘和加兩種算術運算，貫穿了四則運算教學的全過程，可用于簡算，而且與中學的因式分解內容聯系緊密。乘法分配律內涵豐富，其表達式（a+b）×c=a×c+b×c，左邊有兩個運算符號（一個加號、一個乘號）和三個數，右邊運算符號（兩個乘號、一個加號）及數的個數（四個數），都發生了變化。如果重外形記憶，輕本質理解，那么學生受舊知的影響（如加法交換律、結合律以及乘法交換律、結合律，等式兩邊運算符號個數和數的種類與個數都是一致的），容易產生思維定勢。應用時學生出錯的現象特別多，經常出現這樣的等式：a×（b+c）=a×b+c。教師往往花費大量的精力“糾錯”，但收效甚微。要解決這樣的問題，教師就應基于學生的認知起點，探索小學數學運算能力的培養策略，厘清算法背后的算理，促進學生思維發展，提升數學核心素養。

一、“形”“質”并舉，關聯建構

如何把人們在積累運算經驗中歸納總結出來的靜態結果變為動態表達？如何從本質上理解乘法分配律的內容是什么、為什么是這樣的？我嘗試將代數關系a×c+b×c=（a+b）×c巧妙地融合在兩個矩形之間的面積關系之中，從“同數連加”的角度，借助乘法的意義、結合律、交換律得到分配律的表達式，在理解“分”與“配”的過程中，使學生感受數學知識中蘊含的內在邏輯推理。從單一的運算走向多維的運算，在教學中不僅要讓學生掌握分配律的“形”，更要理解形背后的“質”，“形”“質”并舉，關聯建構。

先出示“貼瓷磚”主題圖：

提出問題：兩面墻上一共貼了多少塊瓷磚？

學生列出等式（4+6）×9=4×9+6×9。

師：兩個不同的算式，結果卻相等，你知道其中的奧秘嗎？結合圖形說說你的想法。

課件展示圖形的動態變化，學生根據圖形作出解釋。

生：這兩個算式的結果之所以相等，是因為這兩個算式一個是把4列和6列合起來算，另一個是把4列和6列分開算。

生：我來補充，豎著看，一列有9塊瓷磚，（4+6）×9先算4加6，共10列，（4+6）×9表示10個9相加。4×9+6×9是4個9加6個9，即4×9+6×9=9+9+9+9+9+9+9+9+9+9，也是10個9相加，所以結果相等。

師：你們都是這樣豎著觀察的嗎（邊說邊用手圈出一個9）？如果橫著觀察，是否也能解釋兩個算式之間必然存在著相等關系？

生：如果橫著觀察，一行有1個4和1個6相配，9行是9個4和6的和，（4+6）×9是9個（4+6）。4×9+6×9是9個4加9個6，結果相等。

師：看來不管是豎著觀察，還是橫著觀察，用乘法的意義都能解釋為什么這兩個式子存在相等關系。

師：那上圖中這個大長方形除了可以分成長9寬4和長9寬6的兩個長方形外，還有其他的分拆方法嗎？換一種拆分的方法，是否也存在等式？自己動手分一分，寫出相應的等式。

生：我們是豎分的，又得到了四種分法，等式分別是（1+9）×9=1×9+9×9;（2+8）×9=2×9+8×9;（3+7）×9=3×9+7×9;（5+5）×9=5×9+5×9。

生：我們是橫分的，得到四種不同分法，等式分別是（1+8）×10=1×10+8×10;（2+7）×10=2×10+7×10;（3+6）×10=3×10+6×10;（4+5）×10=4×10+5×10。

師：觀察我們所寫的這些等式的特征，你有什么發現？

生：這些算式都可以合起來算，也可以分開算。

生：等號兩邊的算式運算順序不同，但結果相等。

生：無論是合起來還是分開算，得數都一樣。

生：兩個數的和同一個數相乘，可以用兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加，結果不變。

生：可以用字母表達（a+b）×c=a×c+b×c。

師：你們把這些等式的共同特征都用字母表達出來了。大家發現的這個規律是偶然的巧合還是必然的規律？

生：假設把墻面瓷磚分成a列和b列，每列c塊瓷磚，兩個式子都表示一共的塊數，所以相等。

生：左邊表示（a+b）個c，而右邊是a個c加b個c，也是（a+b）個c，因此是相等的。

師：誰聽明白了他要表達的意思？

生：我聽明白了。這樣的規律是一定存在的，我們可以借助剛才的長方形圖來解釋，兩個小長方形的長分別是a、b，寬是c，那么大長方形的面積可以用（a+b）×c表示，也可以用a×c+b×c來表示，所以（a+b）×c=a×c+b×c。

師：真了不起，大家發現了數學上一個重要的運算定律——“乘法分配律”。

這樣的教學不僅讓學生掌握乘法分配律的“形”的特點，還讓學生知道左右兩邊為什么相等，怎樣轉化，從而掌握乘法分配律的內在的“質”，在頭腦中建立意義上的聯系，做到有效建構，為正確使用打下堅實的基礎。

二、變式訓練，整體融通

四年級下學期，學生就已經學習了整數領域的乘法分配律，在開始學習小數和分數領域中的乘法分配律時，教材僅用了一個例題、一句“整數加法、乘法的運算律，對小數加法、乘法同樣適用”作為具體內容。學習乘法分配律時，僅憑這種簡單的語言和個別案例進行過渡的方式，學生很難實現思維從整數到小數和分數的遷移。如何幫助學生整體建構乘法分配律，讓規律在不同的數領域靈活運用，是亟待解決的問題。

心理學研究表明，前面學過的知識會影響后面學習的知識，產生前攝抑制;后面學習的知識對以前學過的舊知也會出現倒干擾或者倒排斥，從而產生倒攝抑制。到了乘法分配律的推廣階段，學生已經學習了四則混合運算的運算順序和所有的運算律及其運用，前攝抑制和倒攝抑制嚴重影響了學生合理、靈活地進行相關的運算。所以教師應充分考慮到這一點，要設計一些有針對性的辨錯訓練，幫助學生積累解題經驗。

如5.4×0.9+0.1和5.4×（0.9+0.1）這兩道題可幫助學生辨清：不能看到0.9和0.1能配成1就不顧運算順序，盲目配成1。前面一題根本不符合使用乘法分配律的條件，并非所有的題都可以簡便運算。125×4×25×8和125×8+25×4 這兩道題可幫助學生辨清什么時候應用乘法結合律，什么時候應用乘法分配律。（27+[9/14]）÷9 和9÷（27+[9/14]）這兩道題可幫助學生辨清什么時候可以直接把除法轉化成乘法，不能一看到除號，就想直接轉化成乘法。1.25×8÷1.25×8和1.25×8÷（1.25×8）這兩道題則可幫助學生辨清除法性質的應用。

在辨錯訓練時，教師要根據學生的“最近發展區”，通過探索、求異的思維活動，使學生進一步理解運算律的真正含義，從而掌握簡便運算的精髓。

三、保持敏感，洞察奧秘

教學中，學生學習了乘法分配律并且經常應用乘法分配律進行簡便運算，熟練背出字母表達式之后，我發現并非每個學生都真正理解了乘法分配律。學生之所以在應用時出現這樣那樣的錯誤，究其根本原因就是對乘法分配律的理解并不透徹。

培養學生對算式認真觀察的能力，提高對算式中一些數據的敏感性，區分一些易混淆的題目是提高學生簡便運算能力的關鍵。所以，教師要有意識地幫助學生洞察算式的奧秘，使學生能靈活應用定律進行簡便運算。我們要力爭使學生在此過程中體會到簡便運算的價值，把簡便運算當做是自發需求，在此過程中碰撞出創造性思維的火花。

首先，要幫助學生學會熟練轉化。整數運算律推廣到小數和分數四則混合運算后，往往有學生一看見一道題目中既有分數又有小數或者百分數，就眼花繚亂。這就要求學生熟練掌握分數、百分數和小數之間的相互轉化。一些常用的數據更須熟記于心。例如，0.25=[1/4]=25%，0.125=[1/8]=12.5%等。

其次，要幫助學生學會巧妙拆數。在簡便運算中，學生經常出現拆數錯誤，因此在推廣時對拆數的原則一定要進行復習。拆數一般使用加減乘法，運用加減法拆數一般應用乘法分配律，運用乘法拆數一般應用乘法結合律。拆數原則是拆數前后一定要保持相等，一般把一個約等于1或約等于整十整百的數拆成1、10、100加上或減去零頭數。例如，10.1拆成10+0.1; 999拆成1000-1，等等。

最后，要幫助學生學會“一眼看穿”。125和8、25和4是非常特殊的兩組數，遇上了要特別注意（當然0.125和0.8、2.5和0.04之類也同樣）。只要題目中有能配成整十、整百、整千數的，小數能配成1或其它一些整數的，分數遇到同分母分數加減的或者除法改寫成乘法后能約分的，都要引起高度重視，這往往就是解此類題的關鍵所在。

這些專項訓練對培養和發展學生的求異思維、發散思維和逆向思維相當有益，能使學生全方位、多角度地思考問題。同時，這些專項訓練也是提高數學練習效率的有效途徑。只要教師充分發揮主導作用，引導學生總結并尋找解題突破口的方法，及時歸納題目的共性和異性，學生解題時就能融會貫通，觸類旁通。

教師應該充分把握知識的“生長點”與“延伸點”，在課堂上對學生進行價值引導、智慧啟迪和思維點撥，使學生不僅能正確、熟練地計算，還能根據題目條件尋求合理、簡潔的運算途徑去解決問題。

（責任編輯：楊強）