電機參數辨識技術研究

郝振翔

(1.北京精密機電控制設備研究所，北京 100076； 2.航天伺服驅動與傳動技術實驗室，北京 100076)

0 引言

永磁同步電機(PMSM,permanent magnet synchronous motor)具有結構簡單、體積小、功率密度高、效率高、響應速度快等特點，廣泛應用于高性能伺服系統[1]。永磁材料性能的提高和控制技術的發展也促使PMSM伺服系統得到越來越多的應用。PMSM被廣泛應用于家電、數控機床、機器人以及航空航天等領域。

PMSM控制系統具有多變量和時變的特點，PMSM的很多控制策略依靠數學模型，而數學模型的建立需要電機定子電阻、交直軸電感、轉子磁鏈等參數。電機參數大多為設計階段的設計參數，在電機實際運行過程中，受不同因素的干擾電機參數會發生變化，例如溫度的變化會導致電阻與磁鏈的變化[2]。電機參數在實際運行過程中的變化會導致與模型參數不匹配影響控制系統的性能甚至可能損壞電機。獲取準確的電機參數可以改善電機的控制性能，例如電阻與電感可以用于比例積分控制參數的整定計算。因此需要通過參數辨識獲取電機的參數從而保證電機的控制性能。

PMSM參數辨識方法分為離線辨識和在線辨識。離線辨識相對容易實現，但無法獲得電機運行過程中變化的參數。文獻[3]利用傳統伏安法辨識了定子電阻，并優化了參數辨識流程，提高了電機零位、定子電阻、永磁體磁鏈和交直軸電感多參數辨識流程的效率。文獻[4]分別利用伏安法、階躍響應法和id=0矢量控制算法空載試驗離線辨識了定子電阻、交直軸電感和磁鏈。文獻[5]通過離線辨識獲取了控制所需的模型參數從而實現了控制器參數的自整定。在線辨識是在系統運行的時候實時檢測電壓、電流、轉速等信息，再按照公式計算電阻、電感和磁鏈等電機參數。常用的在線辨識算法包括最小二乘法[6]、模型參考自適應[7-9]、擴展卡爾曼濾波等。文獻[10]對比了基于遺忘因子遞推最小二乘法和模型參考自適應辨識慣量的結果，遺忘因子遞推最小二乘法的時變跟蹤能力強，適合慣量變化較快速的場合，但誤差整體高于模型參考自適應，且對噪聲敏感，辨識結果抖動大。文獻[11]基于模型參考自適應辨識電感參數，通過提高離散化方法的階數保證可調模型準確性，但磁鏈的輕微變化對電感辨識結果影響嚴重。文獻[12]利用級聯模型參考自適應辨識模型解決了多參數在線辨識中的欠秩問題。文獻[13]分別用李雅普諾夫函數和波波夫超穩定性理論設計了自適應律并對比了參數辨識的效果，得出了波波夫超穩定性理論設計自適應律具有更好的設計效果的結論。文獻[14]利用模型參考自適應辨識了定子電阻、定子電感和永磁體磁鏈，并驗證了該方法的實時性和跟蹤性能。文獻[15]通過死區補償增強了辨識算法的穩定性和準確性，減小了辨識結果的誤差。文獻[16]通過分步辨識方法解決方程欠秩問題，可以較快實現辨識。文獻[17]將遺忘因子遞推最小二乘法與模型參考自適應相結合進行在線辨識，可以辨識出全部所需的電氣參數，具有較強的抗干擾能力。

伏安法和階躍響應法是常用的離線辨識方法，模型參考自適應是常用的在線辨識方法。本文將利用這些算法對PMSM的參數進行辨識。

1 永磁同步電機數學模型

PMSM具有非線性、多變量、強耦合、參數時變等特點，數學模型復雜，為將PMSM作為理想電機簡化分析，需先做以下假設[18]：

1)定子繞組為Y形接法，三相繞組對稱分布且各繞組軸線在空間互差120°。

2)轉子永磁體在定轉子氣隙內產生正弦分布主磁場，轉子沒有阻尼繞組，假設磁路不飽和。

3)忽略定子鐵心與轉子鐵心的渦流損耗和磁滯損耗。

4)忽略電機參數變化。

建立在三相靜止坐標系上的PMSM數學模型經坐標變換后可變換到任意兩相坐標系中，從而簡化耦合情況。因為表貼式PMSM的直軸電感和交軸電感相等，所以在數學模型中可以統一用L表示。PMSM在旋轉坐標系下的電壓方程為：

(1)

其中：ud、uq分別表示直交軸的電壓分量，id、iq分別表示直交軸的電流分量，ωe表示轉子電角速度，R為電機的定子電阻，L=Ld=Lq表示電機的直交軸電感，ψf表示永磁體磁鏈。

根據機電能量的轉換和電機統一理論的原則，電機的電磁轉矩方程可以表示為：

(2)

其中：Pn表示PMSM的極對數。

電機的轉子機械運動方程為：

(3)

其中：Te表示PMSM的電磁轉矩，Tl表示PMSM的電磁轉矩，B表示粘滯摩擦系數，J表示轉動慣量。

PMSM的控制受到定子電阻、直交軸電感、轉子磁鏈等參數的影響，這些參數在電機運行過程中會受到各種因素的影響發生變化，所以需要進行辨識。但旋轉坐標系下的電流方程為二維方程，對多個未知量求解時不能保證結果唯一，所以在辨識時需要固定某一參數進行辨識或添加新的線性無關方程。

2 離線參數辨識

常用的離線辨識方法主要包括有限元分析和實驗測定法。有限元分析需要進行較多的計算，主要應用于電機的設計。傳統的實驗測定是讓電機在保持靜止的狀態下用特定回路對電機施加直流激勵或交流激勵，通過記錄電機的狀態響應離線辨識電阻和電感，但靜止的電機無法辨識磁鏈[19]。

使用伏安法辨識定子電阻時，電機處于鎖死狀態，通入勵磁電壓后，電機不轉動。給電機三相繞組通入較低的直流電壓，定子電流達到穩態后轉速為0，可得：

ud=R1id

(4)

PMSM電樞回路可等效為Y型連接的電阻與電感的電路，電壓穩定時等效為電阻電路。定子電阻辨識用的直流電壓由逆變器產生，通過控制逆變器開關管的通斷使通電辨識時電機僅有兩相導通，得到定子電阻為：

(5)

在使用伏安法辨識定子電阻時，可同步利用脈沖電壓法辨識電感。施加固定電壓并持續一段時間后，對電機d軸進行定位，電機保持靜止不動，永磁體磁鏈與d軸方向重合。此時電機的d軸電壓表達式變為：

(6)

當給電機施加固定電壓時，定子電流逐漸上升至穩態，此時定子電流為與時間相關的函數，電流表達式為：

(7)

采集到電流上升至穩態電流的0.632倍時的時間，可計算電感：

It=0.632*I，Ld=R*t0.632

(8)

電阻由伏安法離線辨識得到，因此只需要得到t0.632即可計算電感值。因為所用電機為表貼式PMSM，直軸電感和交軸電感相等，因此可直接看作所需辨識的電感。

磁鏈辨識常采用電機拖動法測量，即在電機空載時依靠電機反電動勢與轉速的線性關系獲得電機磁鏈。當電機空載時，通過拖動電機將待測電機拖至目標速度，再測量待測電機任意兩端子間的線電壓，則可以求出電機磁鏈。但這種方法需要額外的拖動電機和電壓測量設備。

采用id=0矢量控制，當電機運行至穩態時，由PMSM的數學模型得：

uq=Riq+ωeψf

(9)

所以可以得到永磁體磁鏈的計算公式為:

(10)

其中：uq、iq分別表示q軸電壓和q軸電流，R表示電機定子電阻，Pn表示PMSM的極對數，n表示電機轉速。

由此可得，在進行矢量控制空載實驗的時候，在保證id=0的條件下，當電機運行到穩態時，通過測量q軸電流、q軸電壓和電機轉速等數值，即可計算得到永磁體磁鏈。這種方法可以在無其他外界條件的情況下辨識出永磁體磁鏈。

離線辨識一般比較簡單容易實現，獲得的電機初始參數也比較準確。但離線辨識不適合辨識電機運行過程中的動態電機參數，因此針對離線辨識結果設置的控制器參數在電機參數變化時控制性能會受到影響。離線辨識獲得的參數有一定的局限性，其主要應用于初始參數的獲取。

3 模型參考自適應在線辨識

3.1 模型參考自適應系統

電機辨識所需的主要電機參數有定子電阻、直交軸電感、轉子磁鏈等。在線辨識電機參數需要的輸入信號包括直交軸電流、直交軸電壓和電角速度，經坐標變換獲得電壓與電流等數據后，利用辨識算法在線辨識參數。

模型參考自適應由可調模型、參考模型和自適應律三部分組成，如圖1所示。模型參考自適應具有較高的精度，其主要過程是根據辨識差值設計自適應律辨識待辨識參數。把不含待辨識參數的物理系統也就是PMSM本身作為參考模型，PMSM在旋轉坐標系下的電流狀態方程中含有待辨識參數，可以作為可調模型。電機和狀態方程都以直交軸電壓作為輸入，輸出結果分別為電機的直交軸電流和經電壓方程計算得到的直交軸電流。當可調模型輸出電流逼近于電機輸出的實際電流時，則可認為可調模型中的參數即為要辨識出的實際參數。

圖1 模型參考自適應結構框圖

常用的自適應律設計方法主要有局部參數最優化設計法、李雅普諾夫穩定性理論設計法和波波夫超穩定性理論設計法。局部參數最優法在早期自適應控制中應用較多，但這種方法不考慮系統穩定性，因此穩定性較差而在當前設計中較少采用。利用李雅普諾夫穩定性理論設計得到的系統具有很好的穩定性，但李雅普諾夫函數求解難度較高，尋找合適的函數推導方式較為困難，對使用者要求較高。波波夫超穩定性理論可以解決系統穩定性問題，并且在設計自適應律的時候能結合實際情況。波波夫超穩定性理論在應用時較為簡單，相較于李雅普諾夫函數更容易求解，較為適合確定模型參考自適應的自適應律。

3.2 基于模型參考自適應的在線辨識

對表貼式PMSM直交軸電感相等。當電機穩態運行時，電流微分量為0。由于定子電阻、直交軸電感和轉子磁鏈相互影響，且穩態方程欠秩，而磁鏈較小影響電流環，因此假設磁鏈為固定值以辨識電阻和電感，PMSM在旋轉坐標系下的狀態方程可表示為：

(11)

令a=R/L,b=1/L，求得a、b則可得到電阻與電感，上式可以化為：

(12)

寫成向量形式為：

(13)

其中：i表示輸出向量和狀態向量，u表示輸入的電壓向量，A表示狀態向量的系數矩陣，B表示輸入向量的系數矩陣。

以實際運行的電機作為參考模型，則基于該狀態方程得到的可調模型為：

(14)

采用波波夫超穩定性理論設計待辨識參數自適應律需要將系統化為標準非線性反饋系統。將電機實際輸出的電流和可調模型估計得到的電流作差，誤差模型如下：

(15)

(16)

(17)

由上式組成的非線性時變反饋系統，只有在等價的非線性反饋通道滿足波波夫不等式且等價的線性前向通道傳函嚴格正實的條件下才系統穩定。若滿足線性部分傳函嚴格正實，必須使傳函的分子分母階次差小于等于1，若大于1則需要引入線性補償器使線性部分傳函嚴格正實。

假設需要引入補償器D，則線性前向通道的輸出為：

v=De

則線性前向通道的方程描述為：

(18)

傳遞函數矩陣為H(s)=D(sI-A)-1I，其中I為單位陣，A為滿秩的參考模型狀態向量系數矩陣。D為待設計的補償器，所以(A,I)可控，(A,D)可觀。

依據波波夫正實定理，H(s)嚴格正實需要存在正定對稱陣P和Q滿足下式:

PA+ATP=-Q

PI=D

(19)

(20)

則任何正實數k均滿足條件使線性部分傳遞函數嚴格正實，取k=1，可得補償器D為二階單位陣，模型參考自適應可保證全局漸進穩定。

線性部分條件滿足后，根據波波夫積分不等式設計待辨識參數自適應律：

?t1≥0

(21)

分解為:

(22)

(23)

電流誤差向量e趨近于0時，對參數起調節作用需要自適應律含有記憶功能的積分環節，因此待辨識參數自適應律設計為PI形式：

(24)

(25)

自適應律的設計即是確定f1(t)、f2(t)、g1(t)、g2(t)的具體形式。

ηa(0,t1) =

(26)

分為兩個不等式得：

(27)

(28)

因此參數a自適應律為：

(29)

同理參數b自適應律為：

(30)

在可調模型輸出電流與電機實際輸出電流近乎相等時，a與b的值也保持穩定，可由其分別求得定子電阻和直交軸電感的辨識值。

3.3 方程離散化

模型參考自適應參數辨識的可調模型和自適應律均為連續方程，在電機控制過程中需要編程實現。在電機電流空間狀態方程的基礎上得到的可調模型方程包含微分運算。因為DSP無法計算微分，因此需要離散化方程，得到的離散化后的可調模型方程為:

(31)

(32)

同理，自適應律中存在積分計算，DSP中無法進行連續積分運算，需要將積分計算轉化為離散增量運算，則自適應律的中間變量為：

(33)

g(k)=ed(k)ud(k)+eq(k)uq(k)-

eq(k)ψ(k)ωe(k)

(34)

圖2 伏安法仿真模型

則經過離散化處理后的自適應律為：

(35)

(36)

4 仿真結果分析

4.1 離線辨識仿真

利用Matlab仿真驗證離線辨識的辨識模型。電機電阻設置為0.15 Ω，電機電感設置為400 μH，永磁體磁鏈設置為0.1 Wb，仿真模型及結果如圖2、3所示。

通過直流電源施加直流電壓311 V，此時BC相導通，可以看到施加直流電壓后定子電流上升至穩態值，穩態時的電流為1 030 A，電流達到0.632倍的時間為0.002 64 s，辨識結果為：

圖3 仿真波形圖

圖4 磁鏈辨識仿真模型

R=0.151Ω

L=398.64 μH

相對誤差分別為：

η=(0.151-0.15)÷0.15×100%=0.67%

η=(398.64-400)÷400×100%=-0.34%

辨識磁鏈時采用id=0矢量控制，設定直軸電流環給定指令為0，速度指令為1 000。當電機運行到穩態的時候，分別測量交軸電流，電機轉速和交軸電壓，代入計算公式后得到永磁體磁鏈。磁鏈辨識仿真模型和波形如圖4、5所示。

圖5 磁鏈辨識波形圖

由于辨識結果有波動，取一段數據后得平均值為0.1 Wb，由仿真結果可得，能夠辨識出永磁體磁鏈。

4.2 在線辨識仿真

利用Matlab仿真驗證在線辨識模型。Matlab/Simulink自帶的電機模塊一般是在仿真開始前設置參數，但在對時變系統進行仿真時需要參數動態變化，例如電阻值隨溫度變化發生改變時屬于變參數仿真。系統集成的電機模塊不支持參數在線修改而難以驗證辨識算法對變化量的辨識效果。另一方面，集成的電機模塊定義的坐標變換角與國內常規定義不同，在仿真過程中會帶來不便。因此需在Matlab中搭建更具有泛用性的電機模型[20]。根據PMSM數學模型，在PMSM的直交軸等效方程的基礎上搭建不受Matlab自帶模型限制的電機模型，從而模擬電機運行過程中電機參數的變化。當電機運行趨于穩定時，等效模型在直交軸電流、電壓信號為直流量，更有利于參數辨識的進行[21]。

在線辨識時采用id=0矢量控制，將離線辨識得到的磁鏈值視為定值，對電阻與電感進行辨識。將離線辨識得到的電阻值與電感值作為初值設置在自適應律中。電機電感設置為400 μH，電阻設置為0.15 Ω，磁鏈設置為0.1 Wb。將直交軸電流、直交軸電壓、轉速作為輸入，在線辨識仿真波形如圖6所示。由圖可知，辨識結果分別為0.15 Ω和399.9 μH，可以看出辨識收斂速度較快，且精度較高。

圖6 在線辨識仿真結果

為驗證辨識算法在參數發生變化時能否辨識出變化的實際參數，分別在仿真過程中使電阻與電感以不同方式在一定范圍內發生變化，以驗證跟隨性與可靠性，并通過參數波形圖觀察結果。

圖7為定子電阻突變時的波形，在0.5 s的時候定子電阻由0.15 Ω突變為0.18 Ω，1 s時的電阻辨識結果和電感辨識結果分別為0.179 9 Ω和399.9 μH，從圖中可以看出定子電阻的辨識值可以跟上突變的實際值。

圖7 電阻突變時在線辨識仿真結果

圖8為定子電阻以0.03 Ω/s速率上升時的辨識值，經1 s后由0.15 Ω升至0.18 Ω。1 s時的電阻辨識結果和電感辨識結果分別為0.179 8 Ω和399.9 μH，從圖中可以看出定子電阻的辨識值可以跟上持續變化的實際值。

圖8 電阻持續上升時在線辨識仿真結果

圖9為電感突變時的波形。在0.5 s的時候電感由400 μH突變為450 μH，1 s時的電阻辨識結果和電感辨識結果分別為0.150 6 Ω和449.4 μH，從圖中可以看出電感的辨識值可以跟上突變的實際值。

圖9 電感突變時在線辨識仿真結果

圖10為電感以50 μH/s速率上升時的辨識值，經1 s后由400 μH升至450 μH.1 s時的電阻辨識結果和電感辨識結果分別為0.151 9 Ω和446.4 μH，從圖中可以看出電感的辨識值可以跟上持續變化的實際值。

圖10 電感持續上升時在線辨識仿真結果

從仿真結果看，基于波波夫超穩定性理論設計的自適應律可以跟隨變化的參數，辨識結果較好地跟隨實際值，可以看出這種算法可以在線辨識電機參數。

5 結束語

本文分別驗證了離線辨識和在線辨識算法。通過仿真與實驗驗證，證實了離線參數辨識的可行性。以波波夫超穩定性理論為基礎設計了基于模型參考自適應的PMSM在線辨識方法，并通過仿真進行了驗證。通過仿真可以驗證算法的穩定性，具有較快的辨識速度和較高的辨識精度，實現了對定子電阻和電感的在線辨識，是一種可行的PMSM參數辨識方法。

在線辨識是在將磁鏈視為定值的情況下進行的，在實際運行過程中磁鏈值會發生變化并因此影響辨識效果，需將磁鏈的變化加以考慮并改進辨識算法。