考慮專家信息的威布爾型產(chǎn)品定時截尾可靠性驗收試驗方案設(shè)計

譚 堯, 趙 騫, 王文峰, 郭 波,*, 蔣 平

(1. 國防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院, 湖南 長沙 410005; 2. 國防科技大學(xué)信息通信學(xué)院,陜西 西安 710106; 3. 中國人民解放軍93209部隊, 北京 100085)

0 引 言

可靠性驗收試驗(reliability acceptance test, RAT)是檢驗產(chǎn)品可靠性是否達到要求水平的試驗。根據(jù)可靠性驗證試驗的結(jié)果可對參試產(chǎn)品做出接收或拒絕的結(jié)論。驗證試驗主要是根據(jù)以下假設(shè)檢驗的結(jié)果來做出判斷:

其中,是參數(shù)的可接受值,而是參數(shù)的拒絕值。如果根據(jù)試驗結(jié)果計算判斷是接受H,則接收該批產(chǎn)品;如果判斷是接受,則拒絕該批產(chǎn)品。在檢驗過程中,當H成立而接受H,此類錯誤稱為第一類錯誤;當H成立而接受H,此類錯誤稱為第二類錯誤。發(fā)生第一類錯誤和第二類錯誤的概率分別稱為“生產(chǎn)方風(fēng)險”和“使用方風(fēng)險”。只有當這兩類風(fēng)險都是受控的情況下,才能讓試驗方案被生產(chǎn)方和使用方接受。

在工程應(yīng)用中,國內(nèi)外都有標準來指導(dǎo)RAT。MIL-HDBK-781給出了較為完整的可靠性驗收方案,為美軍進行RAT提供了有力支持。GJB899A—2009《可靠性鑒定與驗收試驗》以定時截尾試驗為例,當生產(chǎn)、接受雙方確認驗收關(guān)鍵參數(shù),如壽命檢驗上下限、和生產(chǎn)方、使用方風(fēng)險、后,可確定試驗方案(,)。其中,為累計試驗時間,為接收故障數(shù)。在此試驗中對參加驗收試驗的產(chǎn)品進行定時截尾試驗。當累計試驗時間達到后試驗結(jié)束。如果試驗過程中故障數(shù)不大于,那么該批產(chǎn)品被接收,否則拒絕接收該批產(chǎn)品。

GJB899A給出的試驗方案是基于產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布的假設(shè)前提下得到的。但在實際應(yīng)用中,很多產(chǎn)品壽命并不服從指數(shù)分布。例如,雷達系統(tǒng)、汽車零部件的壽命往往服從威布爾分布。因此,本文基于威布爾分布,研究RAT設(shè)計問題。此外,GJB899A中定時截尾試驗方案的試驗時間都較長,短時試驗方案又存在兩類風(fēng)險較大的問題,實際應(yīng)用中頗受詬病。

對產(chǎn)品先驗信息的利用是通用且有效的。在工程實踐中,產(chǎn)品參加驗收前,生產(chǎn)方可能會提供一些產(chǎn)品信息,如參數(shù)統(tǒng)計信息。Jun等提出壽命服從威布爾分布且形狀參數(shù)已知條件下抽樣驗收方案。Tsai等提出了形狀參數(shù)已知,基于定時截尾缺失數(shù)據(jù),并且借助成本模型,完成了可靠性抽樣驗證方案的設(shè)計。Chen等利用貝葉斯決策理論和研制過程中產(chǎn)品壽命信息,制訂了基于定時截尾數(shù)據(jù)的鑒定方案。若產(chǎn)品狀態(tài)發(fā)生變化,驗收鑒定方案也會調(diào)整。Balamurali等提出多重遞延狀態(tài)重復(fù)群抽樣計劃。

上述工作主要是對產(chǎn)品進行抽樣檢驗以決定驗收方案。在實際操作中,由于經(jīng)費成本的限制,可投入的試驗樣本量往往較少,傳統(tǒng)試驗方法在解決小子樣問題上存在局限性。目前正在使用的驗收試驗方案是GJB899A中提出的,但由于只利用了系統(tǒng)級試驗數(shù)據(jù)來開展試驗,導(dǎo)致試驗時間過長,或者在短時間的試驗方案的兩類風(fēng)險較大,實際操作性不強。因此,有學(xué)者研究了利用先驗信息來開展可靠性試驗和評估。專家信息是一類基于專家長期經(jīng)驗的主觀信息,同時也是小子樣條件下裝備可靠性試驗中先驗信息的重要來源。專家信息的形式包括可靠度點估計、壽命點估計、可靠度置信下限等。明志茂等討論了利用先驗信息制定試驗方案的問題。Zhang等討論了專家評估是文本形式的情況,提出了四步結(jié)構(gòu)的可靠性評估框架。Zhao等將專家信息轉(zhuǎn)化為參數(shù)的分布,同時Zhao等還討論了不同形式專家數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為參數(shù)分布的方法。楊軍等在將專家信息轉(zhuǎn)化為概率分布的同時研究了對其進行融合的問題。

上述研究討論了如何利用專家信息確定參數(shù)的分布,但對如何利用其進行RAT的研究相對較少。為同時解決有效利用先驗信息、小子樣驗收方案設(shè)計兩個問題,本文提出了基于專家信息的威布爾型產(chǎn)品可靠性驗收方案。

1 威布爾分布與參數(shù)分布

威布爾分布在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用,尤其適用于描述機電類產(chǎn)品壽命分布。因而,本文基于威布爾型產(chǎn)品,研究驗收試驗方案設(shè)計方法。

1.1 威布爾分布

威布爾分布的累積分布函數(shù)(cumulative distribution function, CDF)表示為

(1)

式中：為形狀參數(shù)；為尺度參數(shù)。

通常令=1,有

()=1-exp(-)

(2)

則威布爾分布時刻可靠度函數(shù)可表示為

()=1-()=exp(-)

(3)

1.2 參數(shù)的分布

當前驗收試驗樣本量較小,傳統(tǒng)可靠性驗收方案由于未能利用先驗信息,導(dǎo)致試驗時間長、成本高。現(xiàn)利用融合專家信息的方式對傳統(tǒng)方案進行改進。專家信息可用來確定參數(shù)的分布,在這之前,首先需要明確參數(shù)分布的形式。

可假設(shè)威布爾分布形狀參數(shù)的分布服從均勻分布,即

(4)

式中：參數(shù),可通過工程實踐經(jīng)驗來確定。

Zhao等從產(chǎn)品可靠度的分布出發(fā),推導(dǎo)壽命分布參數(shù)的分布函數(shù),該方法便于操作且取得了較好的效果。根據(jù)共軛先驗理論,系統(tǒng)在時刻可靠度先驗分布可認為服從負對數(shù)伽馬(negative log Gamma, NLG)分布,具體表示為

(5)

式中：,是NLG分布的兩個參數(shù)。參數(shù)的分布已知,為了得到參數(shù)的分布,參考式(3),對關(guān)于求導(dǎo)可得

(6)

由式(6)可知,隨的增大而減小,故有

(7)

對式(7)關(guān)于求導(dǎo)，可得

(8)

因此,參數(shù)的分布可表示為

(9)

結(jié)合式(4)可得和聯(lián)合分布為

(10)

式中:∈[0,∞],∈[,]。由此可見,確定分布的核心便是根據(jù)先驗信息計算分布參數(shù)和。

2 基于專家信息的參數(shù)分布確定

本節(jié)研究如何利用不同類型專家信息確定參數(shù)的分布,為制定更加合理的驗收方案提供幫助。

2.1 基于可靠度點估計確定參數(shù)分布

當專家信息為“產(chǎn)品時刻的可靠度為”時，有

(11)

通過使用最大熵方法,可以將確定參數(shù)分布問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃:

(12)

對式(12)進行化簡可得

(13)

2.2 基于壽命點估計確定參數(shù)分布

當專家信息為“產(chǎn)品的壽命為”時,根據(jù)威布爾分布基本性質(zhì)可知壽命點估計為

(14)

參考時刻可靠度點估計形式專家信息的處理方法,同樣可利用極大熵方法確定參數(shù)分布,具體形式為

(15)

將式(10)和式(14)代入式(15),可化簡為

(16)

進一步可得

(17)

2.3 基于可靠度置信下限確定參數(shù)分布

當專家信息為“產(chǎn)品在時刻置信度為100(1-)%的可靠度置信下限為”時，有

(18)

利用極大熵方法可得

(19)

對式(19)進一步簡化為

max=-ln+ln()+-s.t(,-ln)=1-

(20)

其中,

(21)

為下不完全伽馬函數(shù)。

3 兩類風(fēng)險計算與試驗方案的確定

第1節(jié)介紹了威布爾分布性質(zhì)以及參數(shù)分布的確定,本節(jié)將給出兩類風(fēng)險的計算過程。計算過程利用了第2節(jié)由專家信息確定的參數(shù)分布,并將其作為確定驗收方案的重要依據(jù)。

假設(shè)在產(chǎn)品驗收時,采用了試驗時間為的定時截尾驗收試驗方案。在時間(0,)內(nèi)發(fā)生次故障的概率可根據(jù)二項分布計算得到,即

(22)

式中：為參與試驗樣本數(shù);()，()分別為產(chǎn)品的壽命CDF和可靠度函數(shù)。

3.1 兩類風(fēng)險的計算

311 生產(chǎn)方風(fēng)險的計算

生產(chǎn)方風(fēng)險表征產(chǎn)品壽命符合標準時產(chǎn)品被拒收的概率。根據(jù)生產(chǎn)方風(fēng)險定義及威布爾分布假設(shè),生產(chǎn)方風(fēng)險可表示為

(23)

式中：為驗收試驗發(fā)生故障的產(chǎn)品個數(shù)；為接收產(chǎn)品的最大故障數(shù)；和分別為產(chǎn)品壽命檢驗的上限和下限。其中,當>時,拒絕接收產(chǎn)品。

結(jié)合式(10)及式(14),式(23)分母部分可表示為

(24)

式中：=((1+1))；(,)為下不完全伽馬函數(shù),表達式同式(21)。求解分子部分即為求解

(25)

將式(10)及式(22)代入式(25)可得分子部分解析式。

312 使用方風(fēng)險的計算

使用方風(fēng)險表征產(chǎn)品壽命不符合標準時產(chǎn)品被接收的概率。使用方風(fēng)險的計算方式與生產(chǎn)方風(fēng)險的計算方式相同。根據(jù)使用方風(fēng)險的定義可知:

(26)

結(jié)合式(10)及式(14),式(26)分母部分可表示為

(27)

其中,

(28)

為上不完全伽馬函數(shù)。參考生產(chǎn)方風(fēng)險計算過程,式(26)分子部分可進一步表示為

(29)

將式(10)及式(22)代入式(29)可得分子解析式。

3.2 基于抽樣的兩類風(fēng)險計算

由于上述計算兩類風(fēng)險的解析式比較復(fù)雜,本文擬使用基于抽樣的算法,確定參數(shù),的分布(,)以及仿真次數(shù),該算法具體步驟如下所示。

算法 1 基于抽樣的兩類風(fēng)險計算方法1. 根據(jù)先驗分布π(λ,m)抽出容量為S的樣本組(λi,mi)。2. 將步驟1中的樣本代入式(14),根據(jù)判斷條件θ>θ0,θ<θ1選出符合條件的兩個樣本組。3. 將兩個樣本組代入式(22)并分別求均值,可得式(23)和式(26),即生產(chǎn)方、接收方風(fēng)險分子的估計值[19]。4. 將步驟2中篩選出的符合判斷條件θ>θ0,θ<θ1的樣本組分別除以總樣本數(shù),可得式(24)和式(27),即生產(chǎn)方、接收方風(fēng)險分母的估計值。5. 根據(jù)步驟3和步驟4求得結(jié)果可計算兩類風(fēng)險值。

顯然,算法1的核心問題在于如何從參數(shù)的分布中抽取隨機樣本。

參考式(10),從先驗分布(,)中抽樣得到隨機樣本組(,),具體過程如下:

(,)∝(|)()

(30)

式中：()參考式(4)；(|)參考式(9),同時

(31)

由式(31)可知,(|)服從伽馬分布。故在算法1步驟1求得(,)后,可以從式(4)中隨機抽樣得到樣本。將代入式(31)中可以對進行抽樣,這樣就得到了一組樣本(,)。

3.3 試驗方案(T,n,C)的確定

在GJB899A中,產(chǎn)品驗收方案由兩類風(fēng)險,以及壽命檢驗上限、下限4個參數(shù)共同確定。本文基本思路與GJB899A相似,產(chǎn)品驗收試驗方式采取定時截尾試驗。同時,由于所接受產(chǎn)品工作時長小于是不可接受的,故將截尾時間設(shè)為壽命檢驗下限。檢驗上限為產(chǎn)品壽命期望值。具體步驟參考算法2。

算法 2 產(chǎn)品驗收試驗方案(t0,n,C)的確定1. 根據(jù)產(chǎn)品設(shè)計參數(shù)及驗收方案鑒別比確定壽命檢驗上下限θ0,θ1及截尾試驗時間t0。2. 確定生產(chǎn)方提供的參與試驗樣本數(shù)n。3. C從1開始取值,逐一遞增,到n為止。結(jié)合專家信息計算并記錄C取不同值時的兩類風(fēng)險值。(實現(xiàn)過程可參考第4.1節(jié),圖1展示了仿真結(jié)果)4. 生產(chǎn)方、接收方協(xié)商選擇合適的驗收方案并實施,若故障數(shù)超過C則拒收產(chǎn)品。

4 案例分析

案例中產(chǎn)品驗收試驗采用定時截尾試驗方案。假設(shè)產(chǎn)品壽命分布參數(shù)為=800,=15。檢驗上限為產(chǎn)品壽命期望值722 h。以GJB899A中方案12為例,其鑒別比為2,故檢驗下限為361 h,同時截尾時間為361 h。假設(shè)得到的專家信息為產(chǎn)品工作100 h時的可靠度=0.956 8。根據(jù)文獻[20],對威布爾分布型產(chǎn)品進行定時截尾試驗,若截尾時間較短(<05),可用指數(shù)分布代替威布爾分布。又361<05,故本文試驗方案可與GJB899A試驗方案進行對比。仿真試驗步驟可參考算法2。

4.1 給定參加試驗產(chǎn)品數(shù)n確定驗收方案

當截尾時間及試驗產(chǎn)品數(shù)確定后,兩類風(fēng)險值隨的變化如圖1所示。

圖1 鑒別比d=2,測試產(chǎn)品數(shù)n=20,驗收方案兩類 風(fēng)險值隨故障數(shù)變化情況Fig.1 Variation of two types of risks given different settings of fault numbers with d=2, n=20

由圖1可以發(fā)現(xiàn),當投入試驗產(chǎn)品數(shù)不變時,對兩類風(fēng)險計算的影響很大。同時,當取8時兩類風(fēng)險值最為接近。但是具體選擇拒接收數(shù)可以根據(jù)實際情況由生產(chǎn)方、使用方專家共同決定。如要更加傾向于降低使用方風(fēng)險,可選=7的方案。

4.2 給定拒絕接受產(chǎn)品故障數(shù)C確定驗收方案

若確定,兩類風(fēng)險值會隨參加驗收試驗產(chǎn)品數(shù)的變化而變化,如圖2所示。假設(shè)=5,可以看出兩類風(fēng)險值在測試產(chǎn)品數(shù)=9時最為接近。

圖2 鑒別比d=2,拒收數(shù)C=5,驗收方案兩類風(fēng)險值隨參與 試驗產(chǎn)品數(shù)變化情況Fig.2 Variation of two types of risks given different settings of component numbers with d=2, C=5

取鑒別比=2,生產(chǎn)方、接收方商定要求兩類風(fēng)險,<01的情況下,在投入試驗產(chǎn)品數(shù)取不同值時,可通過算法2依次進行仿真試驗。表1展示了當試驗產(chǎn)品數(shù)取4～20情況下的最佳試驗方案。

表1 鑒別比d=2，兩類風(fēng)險α, β<0.1時RAT方案Table 1 Plan of the RAT when discrimination ratio d=2 and two types of risks α, β<0.1

表1中代表總試驗時間。由表1可知,當融合專家信息的驗收方案在試驗時間與GJB899A對比方案接近時,可以明顯降低兩類風(fēng)險。同時,在本文提出的驗收方案下,兩類風(fēng)險值之和隨試驗樣本數(shù)和總試驗時間的減少而增加。此時,需要生產(chǎn)方及接收方根據(jù)實際情況決定采取何種方案:如果傾向于降低風(fēng)險,可以考慮提高試驗產(chǎn)品數(shù),降低兩類風(fēng)險;如果傾向于控制成本,可以考慮在兩類風(fēng)險不超過要求的前提下減少試驗樣本數(shù)。

對于鑒別比=3,生產(chǎn)方、接收方商定要求兩類風(fēng)險,<0.1時,類比上述計算步驟,可以得到表2。由表2結(jié)果可知,融合專家信息的產(chǎn)品驗收試驗方案顯著降低了兩類風(fēng)險及試驗時間,進一步驗證了所提方案的有效性。

表2 鑒別比d=3，兩類風(fēng)險α,β<0.1時RAT方案Table 2 Plan of the RAT when discrimination ratio d=3 and two types of risks α, β<0.1

4.3 專家信息與產(chǎn)品實際狀態(tài)有出入時對驗收方案設(shè)計的影響及解決

在工程應(yīng)用中,專家信息由于存在一定的主觀性,并不絕對可靠。本節(jié)討論了當專家信息與產(chǎn)品實際情況有出入時對驗收方案設(shè)計的影響。

4.3.1 專家信息變化對方案的影響

在第4節(jié)案例分析中,給出的專家信息為產(chǎn)品工作100 h時的可靠度=0.956 8。此為結(jié)合式(3)仿真計算產(chǎn)生的精確專家信息。但實際專家可能難以給出如此精確的數(shù)據(jù)。為驗證專家信息與實際產(chǎn)品狀態(tài)有偏差時對可靠性驗收方案的影響,本節(jié)進行對比試驗,分別計算專家信息為產(chǎn)品工作100 h時=097,09,085,08,07情況對可靠性驗收方案的影響情況。

根據(jù)圖1所示,當投入樣本數(shù)=20,鑒別比=2時。若專家信息為=0956 8,驗收試驗方案選擇標準為生產(chǎn)方、使用方風(fēng)險盡量接近,使用方風(fēng)險略小,那么應(yīng)該選擇=8的驗收方案。在保持=20,=2不變的情況下,對上述提到不同可靠度取值對應(yīng)的兩類風(fēng)險進行計算,結(jié)果如表3所示。

表3 d=2,n=20時,驗收方案隨專家信息變化情況Table 3 Variation of RAT with the changes of expert information while d=2, n=20

在表3中,當專家信息為=0.956 8,故障數(shù)取8～11時，計算所得兩類風(fēng)險最為準確,且風(fēng)險都在可控范圍內(nèi),可作為參考。其中，=8由于滿足驗收方案選擇條件,是最合適的方案。當專家信息為=097,09,08,07,06時,根據(jù)兩類風(fēng)險計算結(jié)果,取9,10,偏離實際最優(yōu)方案=8,但依然可接受。當專家信息為=055時取11,此時雖未超過<01,<01的限制,但生產(chǎn)方、使用方風(fēng)險較懸殊,不宜采納。

由上述結(jié)果可知,當專家信息與實際情況偏差在一定范圍內(nèi)(Δ=0356 8)時,對驗收方案的設(shè)計有影響,但影響在可接受范圍內(nèi)。這也間接證明了本文所提出方法的穩(wěn)定性。

4.3.2 利用融合的先驗分布優(yōu)化驗收方案

專家信息是根據(jù)專家長期經(jīng)驗進行總結(jié)而得到的信息?？赡軙霈F(xiàn)個別專家信息置信度不高,或與實際出入過大的情況。第4.3.1節(jié)證明了專家信息存在偏差時,驗收方案兩類風(fēng)險值依然可以保持在限定范圍內(nèi)。若個別專家信息偏差較大,對多個專家信息進行融合較為合理。這樣可以降低置信度較低的專家信息帶來的影響。融合的先驗分布形式為

(32)

式中：為通過第2節(jié)方法確定的先驗分布；為其對應(yīng)的權(quán)重。由此可知融合的核心為確定先驗分布權(quán)重。具體方法可參考于春雨等應(yīng)用基于D-S證據(jù)推理理論的權(quán)重求解方法。

以生產(chǎn)方風(fēng)險為例,通過推導(dǎo)可知融合的先驗分布條件下有

(33)

式中：為先驗分布通過第311節(jié)所提出的算法計算的生產(chǎn)方風(fēng)險,使用方風(fēng)險同理。故融合先驗分布兩類風(fēng)險計算相當于各先驗分布獨立計算兩類風(fēng)險后再進行加權(quán)。在利用第3.2節(jié)提出的算法1進行兩類風(fēng)險計算后,結(jié)合式(33)可得融合的兩類風(fēng)險。利用第3.3節(jié)提出的試驗方案確定法可得到融合多專家信息的試驗方案。

5 結(jié) 論

由于GJB899A的定時截尾試驗方案的制訂僅考慮產(chǎn)品壽命分布類型(如指數(shù)分布)信息,導(dǎo)致驗收試驗時間長、風(fēng)險大,已經(jīng)難以適用于大型復(fù)雜裝備的可靠性鑒定驗收。本文基于不同類型專家信息,對產(chǎn)品RAT方法進行了改進。通過將本文提出的驗收方案與GJB899A中的方案對比,可以發(fā)現(xiàn)有效利用專家信息可以顯著降低兩類風(fēng)險值、縮短試驗時間。案例分析中列舉的兩種試驗條件下進行的試驗方案充分證明了所提出理論的有效性。

下一步準備在現(xiàn)有基礎(chǔ)上繼續(xù)深入,針對不同分布類型的產(chǎn)品,如正態(tài)分布型產(chǎn)品等,開展試驗鑒定方案制定方法研究。

此外,為降低單個專家信息置信度不高所帶來的不確定性,后續(xù)研究將對第4.3.2節(jié)進行更加細致的研究,提出更準確、更合理的融合多個專家信息的可靠性驗收方案制訂法,充分挖掘?qū)＜倚畔ⅲ赃_到最大化利用的目的。