概念格的概念特征與概念約簡

汪秋分

概念格的概念特征與概念約簡

汪秋分

（廈門工學院 數據科學與智能工程學院，福建 廈門 361000）

概念約簡就是尋找極小形式概念子集以確保原數據形式不變．從形式背景的二元關系出發，定義了包含二元關系的極小概念集，討論了此極小概念集與核心概念、相對必要概念以及不必要概念之間的關系，給出了判別3種概念的充分必要條件．利用析取及合取的邏輯運算，提出了概念格的概念約簡的可行方法，并舉例驗證了結果．

形式背景；二元關系；概念格；概念特征；概念約簡

1　引言及預備知識

基于對哲學中“概念”一詞的理解，德國數學家Wille提出了一種對數據進行處理和分析的有效工具——形式概念分析（FCA）[1-2]．至今，該理論已經在信息檢索、數據挖掘和知識發現等領域得到了廣泛的應用．

形式概念分析中最基本的概念是形式背景和形式概念．對象集、屬性集及其二元關系組成了形式背景，外延和內涵共同構成形式概念．目前，許多學者已經對形式概念分析進行了深入研究，主要集中在概念格的構建[3-4]、屬性約簡[5-7]以及規則提取[8-9]等方面．另外，形式概念分析和其它相關理論的結合研究也廣受歡迎，已經產生了許多優秀的成果和新的研究方向[10-13]．

隨著大數據時代的來臨，人們對數據的處理難度逐漸增大．因此，有效減少數據的數量顯得尤為重要，即利用盡可能少的知識體現盡可能多的數據．概念格的概念約簡就是尋找極小形式概念子集，以保持原背景數據不變．曹麗[14]等從形式概念的角度提出了保持二元關系不變的概念約簡，給出了概念約簡的定義及概念協調集的判定定理，并研究了3種概念的概念特征；魏玲[15]等分別從算子和布爾矩陣角度研究了對象（屬性）概念的概念特征，并給出了一種求解概念約簡的方法和算法；謝小賢[16]等利用布爾矩陣運算，研究了保持二元關系不變的概念約簡及概念特征問題，給出了概念約簡的方法；王霞[17]等定義了概念可辨識矩陣，研究了其與概念協調集之間的關系，討論了3種概念的概念特征，并給出了概念約簡的步驟．

本文繼續研究概念格的概念特征及概念約簡等問題．首先從二元關系的角度，定義了一種包含二元關系的極小概念集；然后討論了極小概念集與核心概念、相對必要概念以及不必要概念之間的關系，給出了相應概念特征的判別方法；最后借助析取及合取運算，提出了一種由極小概念集得到概念約簡的簡潔方法，并通過實例驗證了結果．

2 概念特征的判別方法

研究形式背景導出的3種概念的概念特征，即討論概念格中核心概念、相對必要概念和不必要概念的判別方法．

表1 形式背景

2.1　核心概念的概念特征

由定理1容易得到推論1～2．

2.2　相對必要概念的概念特征

由定理3容易得到推論3．

證明由定理2可知，充分性成立．

2.3　不必要概念的概念特征

3 概念約簡的方法

魏玲[15]1827等提出從包含所有二元對的概念中各取一個再組合，得到一個概念協調集，然后再求其概念約簡，即有命題1．

命題１所給出的方法，需要對所有包含二元關系的概念集作運算．而由上節討論可知，可以通過包含二元關系的極小概念集得出形式背景導出的3種概念．又由于不必要概念不屬于任何概念約簡，即任意概念約簡均不含不必要概念，且任意一個包含二元關系的極小概念集中的概念要么是核心概念，要么是相對必要概念．因此，可以從每一個包含二元關系的極小概念集中任取一個概念，進行組合便可得到一個概念協調集，然后得出全部的概念約簡．

4 結語

本文主要研究了保持二元關系不變的概念約簡及其概念特征．基于形式背景的二元關系，定義了一種包含二元關系的極小概念集．討論了此極小概念集與形式背景導出的3種概念之間的聯系，給出了相應概念特征的判別方法，提出了一種由此極小概念集得到形式背景的概念約簡的方法．在此基礎上，可以進一步探討概念約簡的其它方法及其相應的算法等問題，這將是后期的工作．

[1] Wille R．Restructuring lattice theory：An approach based on hierarchies of concepts[C]//RIVAL I．Ordered Sets．Reidel：Dordrecht-Boston，1982：445-470．

[2] Ganter B，Wille R．Formal Concept Analysis：mathematical foundations[M]．Berlin：Springer-Verlag，1999．

[3] Yao Y Y．Concept lattices in rough set theory[C]//Proceedings of Annual Meeting of the North American Fuzzy Information Processing Society．New York：North American Fuzzy Information Processing Society，2004：796-801．

[4] 鄒先霞，杜威，魏長華．一種基于粗集理論的概念格構造方法[J]．華中師范大學學報（自然科學版），2001（2）：146-149．

[5] Zhang W X，Wei L，Qi J J．Attribute reduction theory and approach to concept lattice[J]．Science in China Series F：Information Sciences，2005，48（6）：713-726．

[6] Wei L，Qi J J，Zhang W X．Attribute reduction theory of concept lattice based on decision formal contexts[J]．Science in China Series F：Information Sciences，2008，51（7）：910-923．

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[8] Li J H，Mei C L，Wang J H，et al．Rule-preserved object compression in formal decision contexts using concept lattices[J]．Knowledge-Based Systems，2014（71）：435-445．

[9] 劉琳，魏玲，錢婷．決策形式背景中具有置信度的三支規則提取[J]．山東大學學報（理學版），2017，52（2）：101-110．

[10] Yao Y Y．An outline of a theory of three-way decisions[C]//Proceedings of Rough Sets and Current Trends in Computing．Chengdu：Springer，2012：1-17．

[11] Li J H，Mei C L，Xu W Z，et al．Concept learning via granular computing：a cognitive viewpoint[J]．Information Sciences，2015（298）：447-467．

[12] Zhi H L，Li J H．Granule description based on formal concept analysis[J]．Knowledge-Based Systems，2016（104）：62-73．

[13] Qi J J，Wei L，Wan Q．Multi-level granularity in formal concept analysis[J]．Granular Computing，2019，4（3）：351-362．

[14] 曹麗，魏玲，祁建軍．保持二元關系不變的概念約簡[J]．模式識別與人工智能，2018，31（6）：516-524．

[15] 魏玲，曹麗，祁建軍，等．形式概念分析中的概念約簡與概念特征[J]．中國科學：信息科學，2020，50（12）：1817-1833．

[16] 謝小賢，李進金，陳東曉，等．基于布爾矩陣的保持二元關系不變的概念約簡[J]．山東大學學報（理學版），2020，55（5）：32-45．

[17] 王霞，彭致華，李俊余，等．一種基于概念可辨識矩陣的概念約簡方法[J]．計算機科學，2021，48（1）：125-130．

Concept characteristics and concept reduction of concept lattice

WANG Qiufen

（School of data Science and Intelligent Engineering，Xiamen Institute of Technology，Xiamen 361000，China）

Concept reduction is to find a minimal subset of formal concept to ensure that the original data form unchanged．Based on the binary relation in the formal context，a minimal set of concepts including binary relation is defined．The relationship between this minimal concept set and core concepts, relative necessary concepts and unnecessary concepts are discussed，the necessity and sufficiency to distinguish the three concepts are given．Finally，by using the logical operation of disjunction and conjunction，a feasible method of concept reduction is proposed，and the result is illustrated．

formal context；binary relation；concept lattice；concept characteristics；concept reduction

1007-9831（2022）03-0008-05

O29∶TP18

A

10.3969/j.jssn.1007-9831.2022.03.003

2021-10-21

福建省中青年教師教育科研項目（JAT190960）——形式背景與概念格的約簡理論研究；廈門工學院基于大數據的模糊系統理論及其應用科研創新團隊項目（KYTD202005）；院級科研基金項目（SZKY202101）——面向屬性概念約簡的研究

汪秋分（1987-），男，湖北黃岡人，副教授，碩士，從事形式概念分析與粗糙集理論研究．E-mail：356672150@qq.com