淺議如何激發大學生學習高等數學的熱情

耿志超 趙紀坤

（鄭州大學數學與統計學院，河南 鄭州 450066）

0 引言

高等數學是一門重要的大學基礎課程。物理、化學、機械、建筑及人工智能等理工學科，都需有高等數學的基礎才能夠進行深入的學習和研究。人文社會科學也需要借助高等數學知識轉換視角、融入理性思考，從而帶來新發現。然而，高等數學具有高度抽象性、嚴密邏輯性等特點。這使得許多大學生在學習高等數學時常常感到晦澀難懂、因而缺乏興趣，甚至懼怕。作為承擔高等數學教學任務的一線教師，要保證教學效果需要在“夯實專業素質”和“激發學生學習熱情”兩個方面下功夫。

在專業素質上，要做到“實力過硬”。具體表現為，一方面，要具備扎實的數學專業知識，并不斷地充實自己的數學知識庫。另一方面，要清楚地了解涵蓋小學、中學、大學以及研究生階段的完整數學體系，了解各個階段的學生數學思維方式和數學能力要求。特別是，隨著中學教育改革的深入以及高等教育的普及化，高等數學與初等數學之間的界限逐漸模糊，中學教材中逐漸出現一些高等數學中的基礎知識[1]。這就要求教師在高等數學教學中，適時地從高等數學的角度重新審視一些中學數學問題，這樣既能提高教學效果，又能與學生產生共鳴。比如，關于不等式的證明，中學多用放縮法、數學歸納法、反證法、分析法以及導數法與函數單調性等方法[2]；而高等數學中除了用導數法與函數單調性外，還常用微分中值定理、泰勒展開式以及利用柯西不等式、伯努利不等式等特殊不等式的結論來證明不等式。

在激發大學生學習高等數學的熱情上，作者認為可以考慮以下幾個方面。

1 生動的課堂教學

課堂是教師傳授知識的最重要場所，高效的課堂教學是保證教學質量的必要條件。講課對教師而言是一門藝術，講課技巧和藝術對數學教師而言尤為重要。如何才能將枯燥深奧的數學知識生動形象地講出來，是對數學教師的最高要求。

筆者認為，講課要做到“生動”：首先，需要注意語言表達。盡量用簡潔明了的語言講解數學定義、公式及定理等，忌諱語言表達啰唆、詞不達意。經常有這樣的情況發生，教師已經花了很長時間講解某個知識點，學生仍一頭霧水。究其原因在于，教師可能對相關知識點沒有深層次的理解或無法用簡潔的語言對該知識點進行表述。前者需進一步修煉“內功”，后者需提升“外力”。筆者的經驗是，每當講到較難的知識點時，會有意識地觀察學生的神情變化。一旦發現多數學生的臉上呈現困惑之意，就會提醒自己此處沒有講透徹，要及時改用更簡單的語言來表述，并在課后重新審視對相關知識點的理解是否真正抓住了本質。比如，在講泰勒公式時，曾經有學生問道，泰勒公式形式如此復雜，到底是要揭示什么現象。筆者突然意識到，可能自己過于注重公式本身地講解了，而沒明確指出“泰勒公式實質是用簡單的多項式函數近似相對復雜的函數”。

其次，需要注意語調語速的變化。盡管給大學生講課不必像給小學生講課那樣聲情并茂，但適當地變化語調語速還是必要的，這樣有助于調節課堂氛圍。如果教師整節課始終保持不變的平和語調語速，可能會使學生感覺平淡，甚至可能“催眠”一些學生。筆者的做法是，當看到有學生注意力不集中時，就故意提高嗓門用以提醒；當講解到重要知識點時，又故意降低語速拉長聲音用以引起學生的重視。

筆者認為，講課要做到“形象”：需要注意將數學知識與日常生活相結合，多用生活例子來打比方。這樣可以使學生輕松理解相關數學原理。比如，在講復合函數求導數的鏈式法則和不定積分的湊微分法則時，筆者常用收到朋友送的生日禮物和為朋友準備生日禮物來打比方。求復合函數y=f[u（x）]的導數，如同收到朋友送的生日禮物后，迫不及待地打開盒子——對外函數求導數f'[u（x）]，卻發現里面還有個小盒子，接著打開小盒子——對內函數求導數u'（x），終于精美的禮品展現在了面前，很是感動！而計算不定積分∫f（u（x））u'（x）dx，又如同為朋友準備生日禮物，先用小盒子裝起來∫f（u（x））du（x），因擔心在運送的過程中禮物受損，再把小盒子裝進了一個大盒子中。再比如，在講到格林公式時，筆者常用外表與內心之間的關系來打比方。格林公式的左端是沿曲線封閉曲線L進行積分，如同人的外表；格林公式的右端是對L包圍的平面區域D進行積分，如同人的內心。格林公式連接了L上的曲線積分與D內的二重積分，這就如同一個人的外表與內心是相伴相隨的。既擁有美麗的外表，又擁有善良的內心，是每個人的愿望。但是，當父母沒有給自己帶來美麗的外表時，也要時刻保持一顆善良的心。

2 熱烈的課后討論

課后輔導是輔助課堂教學的有效手段。教師課后輔導可以采取批改作業、答疑、與學生談心等多種方式。但筆者認為，最有效的方式是，借助一些典型題目叫學生發表不同意見，定期進行討論，從而提高學生學習高等數學的熱情。這盡管會占用教師的部分業余時間，但對提高學生學習效果很有作用。筆者的做法是，專門建立了班級微信群，定期圍繞相關數學問題進行討論。比如，在初學用精確定義（∈-N說法）證明數列極限問題時，學生常常無法準確地確定N的值。針對此種情況，筆者精選了一道題目[3]：用定義證明數列｝的極限等于1，供學生討論。 許多學生給出了自己的證明方法，其中一種有代表性的錯誤證法如下：

這種證法表面上看起來沒問題，實質上是錯誤的。因為，當ε≤1時，上面選擇的沒有意義。產生這種錯誤的原因是，證明過程中不恰當的放大，導致放大后的量的極限不再等于零了，自然地不會再恒小于∈了。 通過討論，學生普遍認識到了，在利用定義證明數列極限時，鑒于N的值的不唯一性，為了更容易地確定N的值，可以在保證數列通項與極限值之差的絕對值的極限是無窮小量的前提下進行適當放大。

再比如，在求分段函數在分界點處的導數時，一般的思路是：先分別利用定義求出該點處的左導數和右導數，再驗證左導數與右導數是否相等，從而確定函數在該點處的可導性。不過曾經就有同學對此提出了不同意見，他認為還有其他更有效的求導數方法。筆者首先肯定了該同學的探究精神，然后在班級微信群里給出了如下題目[4]：

筆者的評價是，這道題采用上面這種方法來求解是正確的，但是它不具有通用性。這種方法是基于導數與導函數的極限之間的關系進行了。事實上，可以證明右導數與導函數的右極限之間存在如下關系：

同樣地，左導數與導函數的左極限之間也存在類似關系。但是上面的結論的逆命題不正確。

通過課后的討論，調動了學生學習高等數學的積極性，也培養了學生的探索研究精神。

3 豐富的數學文化熏陶

數學文化是高等數學密不可分的組成部分。在高等數學的教學中融入諸如名人故事、人文風情、典故悖論等數學文化以及人生哲理，不僅可以使枯燥乏味的高等數學課變得妙趣橫生，也能傳承數學文化價值，進而提高學生的數學乃至文化素養。比如，在講到費馬原理時，筆者曾向學生講到，費馬被譽為“業余數學家之王”。他的職業是律師，數學研究是業余愛好。費馬在解析幾何、概率論、微積分、光學等領域都做出了很大貢獻。費馬最大貢獻是開辟了數學分支-數論。他在數論方面的成果是巨大的，其中費馬大定理、費馬小定理影響深遠。此外，筆者還提到，費馬有句名言“我確信已找到了一個極佳的證明，但書的空白太窄，寫不下”。在介紹完費馬的生平后，筆者看到許多學生的臉上洋溢著喜悅之情，熱情高漲。再比如，在講解定積分時，筆者融入了人生哲理[5]：一個函數在給定閉區間上的定積分，就如同人的一生，一個人由生到死的積分就是他的總價值，人的一生怎樣度過才有意義？無非就是延伸“生命的長度”或增大“生命的寬度”。所有的生命從起點到終點的積分都為零，所以不要在意結果如何，生命的意義在于過程。保持平和積極心態，看淡世事滄桑。

4 全面認識高等數學的應用性

作為基礎學科，數學往往不能在短期內產生經濟價值，這使得人們對其應用性往往認識不足。許多大學生在接觸高等數學這門課時，也常常提出疑問“高等數學在將來工作中能用上嗎？”。改變這種狀況，需要教師在課堂教學中不能僅停留在講授理論知識上，還要對高等數學廣闊應用前景進行介紹，使大學生全面地認識高等數學的應用性。然而，如果教師只是泛泛地講“數學無處不在，滲透到日常生活的方方面面”等，學生沒有直觀感受，效果不佳。首先，借助具體的實例來說明，常常會產生良好效果。筆者曾在課堂上舉過下面的例子，華為公司當年用高出俄羅斯公司5倍的價格，聘請了俄羅斯的一位非常優秀的年輕數學家。平時，這位數學家就是自己埋頭琢磨自己的事情，也沒有太多的交流，就這樣默默無聞干了10幾年，也沒有做出什么成果。在所有人都要絕望時，突然一天，這位年輕數學家拿出來一套自己的算法，用在當時剛出現的3G通信上。華為公司立刻拿到上海去測試，大獲成功。其次，組織、引導學生參加數學建模活動。筆者的經驗是，在高等數學的教學過程中，結合實際教學內容，為學生提供或設置一些與其他學科及生產生活密切相關的開放性題目，引導學生通過建立數學模型，找到解決實際問題的方法和對策。通過這樣的活動，學生能夠切身體驗如何運用數學知識來解決實際問題，從而激發學習的興趣。

5 結語

本文從課堂教學、課后輔導、融入數學文化和全面認識數學的應用性四個方面，結合個人工作經驗，探討了如何激發大學生學習高等數學的熱情，從而提高高等數學教學質量。然而，教育是一個綜合系統工程。教書與育人是教育工作的核心要義和永恒主題，二者密不可分。筆者認為，在高等數學教學上，“教書”即如何有效傳授數學知識，提高教學效果，培養學生嚴謹的邏輯思維能力及探究創新能力；而“育人”則是要給予學生正能量，引導其形成正確的價值觀、積極自信的人生態度以及強烈的家國情懷。