關注數學理解，促運算能力提升
——以《分數乘分數》教學為例

○陳新濤

編者按：運算教學中應該抓住知識本質，以圖明理，借助數形結合，幫助學生將所學的知識結構化，形成知識體系，深化數學理解。

運算能力是學生必備能力之一，是學生學習數學的基礎，也是日常生活必需的基本技能。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“運算能力”作為十大核心概念提出，“數學運算”也被數學教育界的專家們認為是數學核心素養的一個重要方面。

在小學數學知識學習過程中，分數一直是學生學習的難點，分數乘法運算意義更是抽象難以理解。在分數乘法的運算中，若想提高分數乘法的計算能力，首先就要幫助學生實現對分數乘法意義的理解。課程標準中也明確強調應當重視學生是否理解運算的原理，是否能準確地得出運算結果，可見計算教學中的“理解算理”尤為重要。

然而，通過大量的課堂觀察可知，“分數乘法的意義理解”在現實教學中嚴重缺失，嚴重影響學生運算能力的培養。具體缺失表現在如下幾個方面：

（1）淺層次性。即理解比較膚淺，不夠深入。比如只通過例題進行淺層次的學習遷移，而缺少對分數乘法意義的深入理解。

（2）單一性。學生對分數乘法的理解方式單一，認為只要會計算就算掌握了，這也是為什么遇到稍復雜的分數乘法問題就無從下手的原因。

（3）呆板性。學生對知識的理解缺乏靈動性，只會解決比較呆板的問題，對分數乘法的認知屬于片狀的零散理解。

“分數乘法的意義理解”的重要性及其在現實教學中的缺失狀態，要求教師在日常教學中，根據學生的學習特點、理解水平幫助學生獲得運算意義的理解，根據課標要求和教材精心設計教學內容，選擇合適的教學方式，以此喚醒學生已有的數學活動經驗及生活經驗，讓學生在輕松愉悅中主動建構自己對于分數乘法意義的理解，進而實現運算能力的提升。

一、以圖明理，初步實現數學理解

小學階段的數學學習主要以直觀形象為主，對于一些較難理解的數學問題，教師可以借助直觀模型、動手操作或者畫圖等便于學生理解的學習方式，幫助學生實現數學理解。

教學《分數乘分數》一課，筆者有意識地借助“圖”豐富“分數乘分數”的原型，從而幫助學生初步實現數學理解。為此設計了如下的學習任務：

任務1：解決問題

張師傅準備在一塊長方形空地上種各種蔬菜。他打算拿這塊空地的種西紅柿，后來覺得西紅柿種得太多了，想從中拿出種黃瓜，黃瓜占這塊空地的幾分之幾？

這是一道常規的分數乘分數的問題，學生根據乘法意義不難列出乘法算式，列出的乘法算式表示的就是的是多少。事實上，乘法的意義除了表示求幾個相同加數的和，還可以求表示一個數的幾倍是多少的問題。顯然選擇這個情境能夠讓學生感受到求的是多少相當于求的倍的問題，只是通常情況下我們習慣把“倍”去掉，但依然符合乘法的意義，學生有了分數乘整數的學習經驗后，自然會遷移到分數乘分數中來。

這里選擇給學生提供一個長方形圖，其目的是為了給學生搭建一個學習的扶梯，尤其是給需要幫助的學生提供一個腳手架，促使他們能夠獨立解決問題。學生可以在已有的長方形圖上進行分析，在畫圖的過程中再次明晰分數乘法的含義，感受分數乘法的運算意義。同時，長方形圖還能啟發學生遇到問題時可以借助“圖”來幫助分析和理解問題，這不僅是對問題解決能力的提升，更是對學習方法和策略的點撥和提煉。

教材中所提供的情境以及各種各樣的學具都能夠較好地促進學生對運算意義的理解。此外，教師還要幫助學生積累豐富的生活經驗，促進學生更好地實現數學理解。比如，在加、減、乘、除四則運算的教學過程中，加法可以作為合并、增加、繼續數等模型；減法可以作為剩余、減少、往回數等模型；乘法可以作為相同加數的和、面積計算、倍數等模型；除法可以作為平均分、比率等模型。教師可以幫助學生積累豐富的原型，以“圖”明理，建構對四則運算的理解。

二、幾何直觀，實現“理”“法”共進

幾何直觀，是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，對研究對象（即空間形式和數量關系）進行直接感知、整體把握的能力。借助幾何直觀說理，可以為課堂提供豐富直觀的資源。教學中，教師應準確把握學生的認知起點，緊扣知識本質，引導學生主動溝通算理和算法。只有明晰了算理，才能融會貫通、靈活運用算法。

六年級學生已經學習過整數乘法、小數乘法、分數加減法、分數乘整數，為分數乘分數的學習打下了堅實的基礎。教師要充分相信學生，給學生充分的時間和空間，讓他們自主研究分數乘分數的算理和算法。

教學《分數乘分數》一課，筆者設計了如下的學習任務：

任務2：看圖寫算式并嘗試寫出結果。

這個任務看上去只是簡單的看圖寫算式，實際上是為了促進學生對分數乘分數模型的主動建構。學生對分數乘法的認知呈現呆板性，缺乏靈活性，主要原因在于沒有實現分數乘分數的數學理解。因此在學生看圖列出分數乘法算式后，教師要引導學生用自己的語言表達對乘法算式的理解，看圖對乘法運算意義的本質進行解釋和描述。有了幾何直觀的支撐，學生不僅能說出運算的結果，而且還能清楚地知道結果是怎樣得出來的。

需要說明的是，這里設計的線段圖不是抽象剝離出具體的情境，而是純數學意義上對分數乘法的一種表征。學生列出算式后會在頭腦中留下這幅線段圖的樣子，進而對這道乘法算式有了深刻的理解，在已有認知基礎上循“理”入“法”。

在組織匯報環節，教師重點引導學生根據自己的研究回答兩個問題：為什么用分母乘分母相乘的積作分母？為什么用分子與分子相乘的積作分子？學生自然會借線段圖來說理，在說理的過程中，學生會將線段圖進行擴充，找到積的分母的原型，最終理解為什么要用3×5算出15作為積的分母。這是很多教師容易忽視的地方，也恰恰是幫助學生真正理解算理的重要環節。

曹培英先生曾指出：算法和算理是構成運算教學的雙翼。運算能力的培養是以理解算理為基礎，而不是僅僅掌握算法進行正確地計算。運算能力的發展需要在理解的基礎上巧思活用，而不是依靠機械的重復訓練達到一定的熟練程度。因此在計算教學中，應該將二者有機結合，在理解算理的基礎上發現算法、掌握算法。借助幾何直觀幫助學生直觀理解算理從而發現算法，目的就是將“算理”和“算法”進行融合，實現“理”“法”共進。

三、數形結合，理解運算的意義

學生獲得數學理解應該是對直接經驗和間接經驗的加工，當學生獲得數學理解的同時一定經歷了概念抽象，或者相關定義、法則概括及其他新知構建的過程，這個構建過程就是學生對于原有經驗和現有經驗加工的整合。因此，數學知識的教學應注重學生對所學知識的理解及理解程度，體會數學知識之間的關聯。數形結合可以通過“以形助數”或“以數解形”的方法，將復雜問題簡單化，將抽象問題具體化。

在《分數乘分數》的教學中，筆者設計了如下的學習任務：

任務3：畫圖并探索出結果。

這樣的設計看上去只是簡單的一道計算題，但要求畫圖探索出結果，就明確讓學生用數形結合的思想理解運算的意義，從而探索出運算結果。學生經歷了充分的探究過程，用不同的表征方式展開個性化的研究，當他們體會到數形結合對理解分數乘法的意義和價值后，在解決問題時就會多一條思路，不會局限在某種固定的思維中，而是靈活選擇學過的知識解決問題，逐漸學會觸類旁通、融會貫通。

從學生呈現出的豐富多樣的作品中可以看出，不同層次的學生均有了不同水平的表達，這正好凸顯了學生個性化的理解。從學生作品中能關注到每一名學生的學習動態，是對“因材施教”的呼應，也是對“學科育人”的響應和落實。

四、整體架構，形成知識體系

美國教育家布魯納曾說：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”學科的基本結構是指該學科的基本概念、基本原理及其相互之間的關聯。因此，教師在備課時，要主動幫助學生建構完整的知識體系，不僅有前后知識的關聯，還有新舊知識之間的溝通。

就本節課而言，教師不僅要幫助學生打通新舊知識之間的關聯，還要幫助學生認識各種不同的運算之間存在的關聯，認識不同形式的運算之間的相同之處，以便學生掌握“算理”和“算法”，從整體上理解分數乘法運算的意義。

在《分數乘分數》的教學中，筆者設計了這樣一道題：

這是一道簡單的問題，背后卻隱藏著教師設計的智慧。選擇需要基于理解，而說理更是需要深度理解的支撐。在學生解決完問題后，教師并沒有到此結束，而是順勢追問：仔細觀察這兩幅圖有什么相同點和不同點？這個問題再次引導學生將目光聚焦到兩幅圖中，學生經歷觀察、對比和分析的學習過程，感受到雖然這兩幅圖兩次涂色的過程不同，但是最后涂色的結果都是一樣的，從而讓學生感受到的動態形成過程，既可以表示的是多少，也可以表示是多少。這是分數乘分數中另一個難以理解的點，借助圖可以幫助學生實現數學理解，最關鍵的是在一個完整的結構中讓學生感受分數乘法的完整意義。

我們都知道，學生的學習倘若一直是固定的模式，會對知識整體結構造成定式甚至會帶來負面的影響。上面的教學設計，將“分數乘分數”置于“乘法”的知識框架之中，引導學生借助圖尋找乘法計算的共性，幫助學生初步體會無論是的還是，都可以用乘法算式來表達，同樣的道理，算式也是如此，它們都表示求一個數是另一個數的幾倍的數學問題。學生在這樣的學習環境下理解分數乘法計算的本質，將分數乘法這部分知識結構化，從而真正促進學生“數學理解”的深度發生。

總之，核心素養下的數學運算教學，不僅僅是為了提高學生的運算速度和正確率，更重要的是讓學生理解數學運算的意義，掌握數學運算的本質，優化數學運算的方法，將數學運算的知識進行結構化。唯有這樣才能逐步提升學生的數學核心素養。

運算能力作為數學核心素養的重要方面，它的發展不是一朝一夕、一蹴而就的，需要教師把握知識本質，設計符合學生認知規律的學習任務，關注數學理解，從而促進學生運算能力的提升。

資料存盤

1.《分數乘分數》課標解讀。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第二學段”中提出：

理解分數、小數、百分數的意義，掌握必要的運算技能；能進行簡單的小數和分數（不含帶分數）的加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）；能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性；經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程；能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性。

2.我國古代的分數乘法。

在《九章算術》的第一卷“方田章”中，有關于約分、通分、分數加減法、分數乘除法、分數的大小比較、求分數的平均數等分數運算法則的記載。“方田”是講田畝面積的計算，其中關于分數的乘法法則稱為“乘分術”，是這樣描述的：“乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。”這里的“實”是指分子，“法”是指分母，“實如法而一”就是用法去除實，進行除法運算。而且，《九章算術》還注意到了運算結果，如“不滿法者，以法命之”，就是說，分子小于分母時便以分數形式保留。