由一個Hermite-Hadamard型不等式生成的差的不等式

時統(tǒng)業(yè)

(海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800)

0 引言和引理

設(shè)f是[a，b]上的凸函數(shù)，則

(1)

式(1)稱為Hermite-Hadamard不等式[1-4]。

定義1設(shè)f是定義在[a,b]上的函數(shù)，如果存在常數(shù)M，使得對于任意x1,x2∈[a,b]，有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|，則稱f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)。

f(pa+(1-p)b)≤C(p)≤pf(a)+(1-p)f(b)，

(2)

其中f是[a,b]上的凸函數(shù)，p∈(0,1)，

文獻(xiàn)[8]引入了包括C(p)在內(nèi)的3個加細(xì)式(2)的函數(shù)，在f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)時，給出了有關(guān)C(p)的不等式。

文獻(xiàn)[9]考慮了定義在[0,1]上的函數(shù)

文獻(xiàn)[11]引進(jìn)了另一個與Hermite-Hadamard不等式相關(guān)的函數(shù)，

其中p,q∈(0,1)，p+q=1，且ξ=pa+qb。

(3)

由式(3)生成兩個差值

1 主要結(jié)果

定理1設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，0≤t1

(4)

其中

先考慮0

再考慮t1=0,t2∈(0,1]情形。

綜上所述，對任意0≤t1

(5)

(6)

先考慮0

再考慮t1=0,t2∈(0,1]的情形。

綜上所述，對任意0≤t1

(7)

(8)

將式(6)和式(8)分別乘以p和q，然后將所得不等式相加，則式(4)從右邊數(shù)起第二個不等式得證。利用函數(shù)x2的凸性，式(4)右邊第一個不等式得證。

推論1設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，0≤t1

推論2設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，則有

定理2設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，則對于任意t∈(0,1]有

(9)

其中

(10)

推論3設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，則對于任意t∈(0,1]有

其中

定理3設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，則對于任意t∈(0,1]有

(11)

其中

(12)

當(dāng)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)時，(-f)也是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，對(-f)使用已證明的結(jié)果則得

故式(11)得證。

定理4設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，則對于任意t∈(0,1]有

(13)

其中

證明當(dāng)ε∈[0,q(b-a)]時，有

當(dāng)ε∈[-q(b-a),0]時，有

綜上所述，對任意ε∈[-q(b-a),q(b-a)]時，有

(14)

當(dāng)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)時，(-f)也是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，對(-f)使用已證明的結(jié)果得

故式(13)得證。

定理5設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，則對于任意t∈(0,1]有

(15)

其中

q[t(f(ξ)-f(b))+f(tb+(1-t)ξ)-f(ξ)]}。

證明當(dāng)ε∈[0,q(b-a)]時，有

(16)

推論4設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)，則對于任意t∈(0,1]，有

(17)