初中數學教材中的問題編寫及其價值取向變化——以人教版（1978—2020年）“有理數”內容為例

石義娜，丁紅云，夏小剛

初中數學教材中的問題編寫及其價值取向變化——以人教版（1978—2020年）“有理數”內容為例

石義娜，丁紅云，夏小剛

（貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽 550025）

問題是教材的重要構成，是教材體現其育人價值的重要載體，通過以問題背景、數學認知、問題開放性為維度的三因素多水平教材問題分析框架，探析中國初中數學教材“有理數”內容中的數學問題，發現近40年來教材中問題編寫的價值取向變化．主要表現為逐步從關注數學知識掌握到更加注重數學與自然和社會聯系的知識體驗，從注重數學演題到更加強調數學探索與交流的學習方式，從注重數學知識理解到更加關注數學思維的開放性．

初中數學；教材；問題編寫；價值取向

數學問題是教材中的主要成分，教材作為中小學最關鍵的教育載體和社會價值傳輸的核心管道，集中反映了國家的意識形態和教育理念[1]，成為培養學生核心素養的重要載體．教材比較研究一直是數學教育研究的熱點之一，但是現有研究大多聚焦于教材的內容、結構、問題難易度以及欄目設計等方面的比較[2-4]，對教材中問題編寫及其價值取向變化的研究缺少更多的關注．基于此，以近40年來的數學教材為對象，運用內容分析法，對初中數學5本教材“有理數”內容中的數學問題進行分析和比較，進而考察數學教材中問題編寫及其價值取向變化．

1 研究設計與工具

1.1 樣本選取

選取人教版1978年、1982年、1992年、2004年、2020年的5套初一數學教材，重點考察教材有理數內容（從概念建立到運算體系）中的3類數學問題：①穿插在新知引入中的“觀察”“思考”“探究”等欄目問題，包括旁注的“問號型問題”[5]；②例題，即教材中含有“例”或者“例題”這類標記的數學題；③練習，即教材中有“練習”這類標記的數學題[6]．

1.2 研究方法

采取內容分析方法，從數學問題背景、數學認知、開放性等角度，對不同時期教材中有理數意義內容中的數學問題進行分類、編碼與統計分析，進而揭示教材中問題編寫及其價值取向的變化．

1.3 分析框架

2001年Nohara在PISA水平中首次提出了總體難度（overall difficulty）的概念，其中涉及4個難度因素：擴展性問題、實際背景、運算、多步推理[7]．鮑建生指出總體難度雖然涉及了多個難度因素，但缺少對數學探究水平的刻畫和反映數學知識綜合程度的指標，此外在每個因素的水平劃分上顯得比較粗糙，如“運算”因素上，只包含“有”“無”兩個水平．基于此，鮑建生做了進一步調整和改進，構建了一個數學課程綜合難度的多因素模型，包括“運算”“推理”“知識含量”“探究”“背景”5個因素．其中，前3個因素更多的代表了中國傳統的“雙基”，而后兩個因素反映了數學課程改革的一種趨向[8]．由于課程改革本質上是教育教學思想的時代變化，也側面體現了時代價值觀的變化，因此，研究者選擇“探究”與“背景”因素作為考察教材編寫及價值取向變化的主要因素．在后續發展中，王建磬與鮑建生根據青浦實驗得出的數學認知水平框架對數學課程綜合難度的多因素模型進行了修正，將“探究”因素修改為“數學認知”因素．考慮到數學問題的開放性對發展學生數學能力的重要意義，在借鑒鮑建生數學課程的綜合難度模型基礎上，將其原有“探究”因素中的開放性剝離出來，成為一個單獨因素，構建了一個三因素多水平教材問題分析框架（見表1），用以研究教材中數學問題編寫及價值取向的變化．

表1 三因素多水平教材問題分析框架

在此基礎上，以加權平均的方法提出了一個關于教材中問題編寫的數學模型：

樣本數量統計情況如表2所示．

表2 樣本數量統計

2 結果與分析

下面按照問題類型和各因素比較的特征，分別對5本教材有理數意義章節的數學問題進行定量分析和定性描述，然后綜合背景、數學認知和開放性因素進行整體分析．

2.1 背景比較

首先，把數學問題的背景分為數學背景、社會生活背景、公共常識性背景以及科學情境4類．在此基礎上，對不同年代教材中的相關數學問題進行統計，具體見圖1．

圖1 教材中基于背景因素的數學問題統計結果

從圖1中不難發現5本教材中數學背景類問題居多，占比均在70%以上，公共常識類問題占比最低，占比均為0．其中，20世紀90年代初及之前，教材中社會生活類問題背景主要體現的是數學知識在社會生活中的應用，較少涉及知識源于社會生活的話題，且所受關注程度呈遞減趨勢，相比之下，教材對數學背景類則給予了越來越多的關注．但是，自20世紀90年代以來，教材對數學類問題背景的關注開始呈下降趨勢，對社會生活和科學類問題背景則給予了越來越多的關注．盡管近40年來教材中數學問題的背景呈波動狀態，但近20年來教材中問題的數學類背景、社會生活類背景和科學類背景的變化呈現相對穩定的趨勢．

2.2 數學認知比較

根據數學認知可將數學問題分為4類：（1）操作—運算類，即按照課本要求的程序或方法進行基本計算或對問題中的元素進行常規操作；（2）概念—認識類，即考察學生對課本概念、規則、表達形式記憶的問題；（3）領會—說明類，即能理解概念、原理、法則和數學結構的內涵；轉化問題的不同形式，并比較、分析常規問題的不同變式；（4）分析—探究類，即能分析、創造性地解決非常規問題，也包括開放題，數學問題一般化或特殊化等[9]．

圖2呈現了各年代教材中的數學問題在數學認知因素上的統計結果．

圖2 教材中基于數學認知因素的問題統計結果

從圖2可看出，在數學認知因素上，5本教材在操作—運算類認知水平占比最高，領會—說明問題類認知水平占比相對較低．20世紀90年代以前，前兩類認知水平占主導，后兩類認知水平占比接近于零，但20世紀90年代以后，操作—運算類占比有了明顯下降，領會—說明和分析—探究類占比呈遞增趨勢，使得4個認知水平的占比在近幾年越來越接近．由此表明，近40年來教材中數學問題的整體認知要求有了很大提高，在問題設置上重視知識和技能培養的同時，逐漸關注思維和能力的提升以及素養的培養．

2.3 開放性比較

數學開放題沒有統一的定義，但普遍認為開放題是指答案不唯一，或在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題[10]．圖3呈現了不同版本教材中的數學問題在開放性上的統計情況．

圖3 教材中基于開放性因素的問題統計結果

觀察圖3可以發現，教材中封閉性問題的占比遠高于開放性問題的占比，但開放性問題數量逐年上升，封閉性問題的數量逐年下降．應該說，在20世紀70—90年代，教材中的問題還是以封閉式為主，但是90年代以來，教材中兩類問題占比差距逐年縮小，并呈現出開放題和封閉題占比相對穩定的發展趨勢．近20年來，隨著基礎教育數學課程改革的實施，教材中數學問題的開放性、探究性得到進一步加強，數學問題也從注重知識理解到更為強調知識探索，這反映了教育理念和價值取向的時代轉變．

2.4 綜合性分析

前面將問題背景、數學認知以及問題開放性3個因素的數據進行分析和描述，下面從綜合的角度出發，求加權平均值后得到下面的雷達圖（圖4，圖5）．

圖4 各年代教材中數學問題的綜合比較

圖5 各年代教材數學問題水平的比較

從圖4可以看出，后兩本教材在3個因素的加權平均值上均高于其它3本，其中2020年的教材是綜合水平最高的，2004年的教材次之．顯然，這與2001年的課改前后教育理念的變化有關，課改前較為注重知識體系，因此知識性題目占絕大多數，而課改后，不僅關注知識與技能，還注重能力與素養的發展．各本教材中數學問題各水平的比較情況可以從圖5看出，5本教材均是水平1的加權平均值最大，水平2的加權平均值波動較小，水平3和水平4的加權平均值隨教材版本的更新逐漸提高．其中，20世紀70—90年代水平1的加權平均值最高，其次是水平2，水平3與水平4的加權平均值接近于零，90年代以來，水平3與水平4的加權平均值有了很大提高，幾個水平之間的跨度愈加接近，也體現出教材中數學問題的編寫開始關注4個水平的均衡發展．

綜上，教材中數學問題的編寫在背景、數學認知及開放性因素上均有不同程度的變化，如在圖5中，5本教材水平1的加權平均值并沒有多大改變，而水平2、水平3和水平4的加權平均值都有所提高，其中水平3和水平4最為突出，這一問題編寫變化體現了對學生思維、能力以及素養的要求均有所提高，在重視基本知識和基本技能的基礎上，進一步滲透基本活動經驗和基本思想．簡言之，教材中問題編寫不斷從知識本位過渡到能力本位和素養本位，無疑，這體現了數學教育由“知識本位”向“素養本位”轉變的人才質量觀的時代變化．

3 教材中問題編寫價值取向變化

統計過程中，有理數運算體系板塊問題側重于對法則的運用，練習題多數與例題形式相同且占比不少，強調演題和訓練；而數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具[11]，更能突出編者的意圖和價值判斷，也更能反映時代特征和價值觀．因此，研究者選擇有理數概念建立板塊，即“有理數的意義”內容中的數學問題進行分析和研究教材中問題編寫的價值取向變化．從前面的數據分析可知，無論是問題的背景、認知要求還是開放性，后兩本（2004年和2020年）教材中的問題編寫與前3本（1978年、1982年和1992年）相比具有明顯的差異和變化，從中折射出近40年來數學教材中問題編寫的價值取向變化．

3.1 從關注數學知識的掌握到更為注重數學與自然和社會聯系的知識體驗

數學問題背景的選取應貼近學生現實，以使學生感受到數學的價值和趣味[12]．從問題背景因素上看，社會生活類、公共常識類和科學情境類比數學背景類更為突出數學與自然和社會的聯系，因此社會生活、公共常識和科學情境3者問題數之和與數學背景問題數的比值變化能直接體現價值取向的變化．其中，5本教材的對應比值分別為0.45、0.32、0.23、0.70、0.71，盡管前3本教材的比值呈遞減趨勢，但總體上后兩本的比值高于前3本，說明數學問題背景設置愈發注重學生在數學與自然和社會聯系中的知識體驗．例如各年代教材在正、負數概念之后的例題設置上，前3本教材均設置為將給定的數表示在正數集合和負數集合的圈中，后兩本則是設置了一個現實生活中人體重的變化和一個科學情境中國家商品進出口總額的變化情況．顯然，前3本的例題背景設置關注的是數學知識本身的理解，反觀后兩本的問題設置，問題背景取材于生活，且問題聚焦于正負數的本質意義，即“負”與“正”是相對的關系，體現了價值取向從關注數學知識的掌握到更為注重數學與自然和諧相處的知識體驗．

3.2 從注重數學演題到更為強調主動探索與合作交流的學習方式

張玲、宋乃慶、蔡金法等人提到：“設置高認知需求的學習任務，可以幫助學生通過形成問題、表達和推理的過程中厘清思維、促進更深的理解．”[13]所以問題對學生的數學認知要求水平越高時，學生的原有認知會受到刺激，從而產生認知沖突，這種狀態下更易激發學生學習的興趣、促進學生主動探索和合作交流，進一步培養學生數學素養[14–26]．在有理數比較法則獲得的問題設置上，1978年和1982年均是給出具體的有理數進行比較，如比較+6和+2，+4和-10，-3和-8的大小？接著教材就直接呈現任意有理數大小的比較法則；1992年先呈現法則，再給一個例題（比較-3，0，2的大小）進行法則的運用；后兩本則是先設置了任意兩個有理數怎樣比較大小的問題，再從一周溫度值的比較過渡到正數、0、負數的比較，最后歸納得出一般的有理數的比較法則．顯然，前3本并沒有將具體有理數比較過渡到任意有理數比較的過程體現出來，導致學生在認知上出現斷層，而后兩本問題較前3本問題更具探究性，對認知的要求也更高，需要學生親身體驗和探索任意有理數比較法則的獲得過程，遵循了從特殊到一般、具體到抽象的推理過程，加強了思考方法的引導，促進學生學會思考、學習．數學認知中操作—運算和概念—認識是對問題進行常規性的和形式記憶的考察，此類題的解答只需學生了解課本上的相關知識點，沒有對知識進行深入理解和掌握；而領會—說明和分析—探究的題目就需學生理解數學知識和結構的內涵，并能創造性地解決，因此，后兩類與前兩類問題數的比值變化能展現學生學習方式的變化．其中，5本教材的對應比值分別為0.00、0.00、0.04、0.31、0.50，從1978—2020年數值逐年上升，體現數學問題在認知要求上有了明顯的提高，打破學生已有認知和經驗，不僅激發學生主動學習和思考，還促進學生主動探索和合作交流．

3.3 從注重知識理解到更為關注數學思維的開放性

數學開放題是在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的數學問題，無論條件還是結論都留有空間，方法不唯一、答案多樣化，因此教材中開放式的數學問題對學生思維和能力的要求更高．5本教材中開放性與封閉性題數的比值分別為0.00、0.00、0.04、0.17、0.20，比值也是逐年上升，且在20世紀90年代后提升較為明顯．封閉題定向強，更多的是加深對知識的理解與運用，而開放題是一種探索性問題，需要學生在知識探索過程中發散思維，在體驗中發現問題并提出問題．因此，從數據上的差異可以看出，教材中問題編寫的價值取向已從過去強調對知識的理解，發展到現今更為注重對知識的探索和思維的發散．

總之，教材的編寫越來越注重社會生活與科學的滲入，逐漸注重學生主體地位的體現以及思維和能力的培養，不僅體現了知識體驗和學習方式的轉變，還透露出各時代的鮮明特征和價值取向的變化．這與研究的5本教材所對應的教學大綱（課標）目標的要求和理念的變化有直接對應關系．

4 結論與思考

價值取向是教育教學的風向標，引領著教育教學的前進方向．近40年以來，數學教材中問題編寫逐步從關注數學知識掌握到更加注重數學與自然和社會聯系的知識體驗、從注重數學演題到更加強調探索與交流的學習方式、從注重知識理解到更加關注數學思維的開放性．結合對5本教材中“有理數”板塊問題的數據統計和比較研究，予以教材編寫以下幾點建議．

無疑，這給數學教學提出了進一步的要求，換言之，教師不僅要合理開發和利用教材，關注數學問題的內容本質，注重問題教學中價值滲透，而且要在知識掌握與知識體驗、數學演題與交流探索、知識理解與思維開放中保持適度的平衡，唯有如此，教材中的數學問題才能更好地促進學生數學素養的發展．

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The Compilation of Problems in Junior High Schools’ Mathematics Textbooks and the Change of Their Value Orientation——Taking the Content of Rational Number of People’s Education Press (1978—2020) as an Example

SHI Yi-na, DING Hong-yun, XIA Xiao-gang

(School of Mathematics Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550025, China)

The mathematical problems are an important component of the mathematical textbook and an important carrier of the educational value of mathematical sciences. This paper analyzes the mathematical problems of “the content of rational number” appearing in the mathematical textbook of junior high schools through using the three-factor and multi-level textbook problem analysis framework with the three dimensions—problem background, mathematical recognition, and problem openness. This study finds the value orientation of problem compilation in the mathematics textbook has changed in the past 40 years. This change is mainly manifested by the following facts: the focus is changed from the mastery of mathematical knowledge to the knowledge experiencethat pays more attention to the relations among mathematics, nature and society, from mathematical problems to more emphasis on the learning method of mathematical exploration and communication, and from the understanding of mathematical knowledge to more on the openness of mathematical thinking.

junior high school mathematic; textbook; problem to write; the value orientation

2021–10–19

全國教育科學“十三五”規劃課題——面向核心素養的數學問題情境教學測評模型研究（XHA180286）

石義娜（1996—），女，貴州遵義人，碩士生，主要從事數學教育研究．夏小剛為本文通訊作者．

G632

A

1004–9894（2022）02–0035–05

石義娜，丁紅云，夏小剛．初中數學教材中的問題編寫及其價值取向變化——以人教版（1978—2020年）“有理數”內容為例[J]．數學教育學報，2022，31（2）：35-39．

[責任編校：周學智、張楠]