基于模糊馬爾可夫鏈的獎懲系統*

南京信息工程大學數學與統計學院 張雨晴 董英華

現有文獻中，通常在一個精確的模型下對獎懲系統進行研究，忽略了獎懲系統中的不確定性。本文在索賠次數服從泊松分布的假設下，把分布參數量化成一個三角模糊數，將不確定性考慮進獎懲系統中。利用模糊馬爾可夫鏈來研究獎懲系統，并通過模糊轉移概率矩陣計算得到模糊穩態概率分布。將其與普通穩態概率分布對比，發現模糊穩態概率分布的1截集與普通穩態概率分布相等，驗證了普通獎懲系統是模糊獎懲系統的一個特例。從嚴厲性方面對獎懲系統進行比較，發現普通獎懲系統相較于模糊獎懲系統略嚴厲些。

在汽車保險中，通常用獎懲系統對先驗費率進行調節，使得投保人繳納的保費反映真實的風險水平，因此獎懲系統在車險費率厘定中占據重要位置。獎懲系統是根據保單的歷史索賠數據對續期保費進行調整的機制，即對上年或連續多年無索賠發生的投保人，續保時降低保費；對上年發生索賠的投保人，續保時提高保費。在我國，這種制度又稱為無賠款優待系統。

現有文獻中，多數在索賠次數或索賠額服從一個精確分布的條件下研究獎懲系統。Frangos等[1]在泊松-伽瑪分布假設下，利用先驗風險特征和索賠次數信息結合廣義線性回歸模型建立獎懲系統。孟生旺[2]在二項-貝塔分布和負二項-貝塔分布的假設下，分別建立獎懲系統。孟生旺和張永霞[3]在累計索賠額服從零調整逆高斯分布的條件下，結合風險特征信息研究獎懲系統。對模型中存在的不確定性，Adillon等[4]將參數量化成模態區間，在索賠次數服從泊松分布的條件下對獎懲系統進行研究。Villacorta等[5]引入模糊數對索賠次數分布的參數進行量化。

實際應用中，索賠次數或索賠額的模型中往往包含不確定性，這種不確定性可能由隨機性等原因造成的。因此本文在索賠次數服從泊松分布的假設下，采用Villacorta等中的方法，將分布參數量化成三角模糊數來研究獎懲系統。下文中，將基于模糊馬爾可夫鏈的獎懲系統稱為模糊獎懲系統。在給定轉移規則的條件下，利用模糊轉移概率矩陣計算模糊穩態概率分布。用相對穩定平均水平、對新投保人的隱性懲罰和變異系數指標從嚴厲性方面比較普通獎懲系統和模糊獎懲系統，發現模糊獎懲系統的嚴厲性略低于普通獎懲系統。

1 獎懲系統

獎懲系統中包含保費等級、獎懲系數和轉移規則[3，6]。

(1)保費等級。假設有s個保費等級，對新加入的投保人，進入初始保費等級。

(2)獎懲系數。第i個保費等級的獎懲系數為ri(i=1，2，...，s)。保費等級越高，獎懲系數越高，反之。其中，初始保費等級的獎懲系數為1。

(3)轉移規則。已知投保人索賠次數的情況下，決定投保人從原保費等級轉移到新保費等級的規則。

本文采用常用的-1/+2轉移規則，即投保人在上一投保期無索賠發生，續保時下降1個保費等級，若發生索賠，那每發生1次索賠，續保時上升2個保費等級。該轉移規則如表1所示（i，j，k均為整數）：

表1 -1/+2轉移規則Tab.1 -1/+2 transition rules

從表1可以看出，投保人最多上升（下降）到最高（低）保費等級。投保人在某一投保期內從保費等級i轉移到等級j的概率Pij(pij≥0)稱為一步轉移概率，矩陣P=(pij)稱為轉移概率矩陣。保單組合經過若干個投保期后，各保費等級的分布將趨于穩定，此時各保單所處狀態稱為穩定狀態，其概率分布稱為穩態概率分布π=(π1，...，πs)，滿足式(1)[7]：

2 模糊馬爾可夫鏈

2.1 模糊數

2.2 模糊馬爾可夫鏈

采用模糊馬爾可夫鏈進行研究時，只是在普通馬氏鏈的基礎上，將狀態變為模糊狀態或將轉移概率矩陣變為模糊轉移概率矩陣。本文采用后一種方法進行研究。

設{Xn，n=0，1，2，...}是一個馬氏鏈，對應的轉移概率矩陣為P=(pij)。若P=(pij)中的一些概率pij存在不確定性，則可通過模糊數來量化。此時P=(pij)轉變成模糊轉移概率矩陣其中通過獲得的穩態概率分布稱為模糊穩態概率分布的α截集為滿足

3 實證分析

本文用澳大利亞某保險公司一年期的車輛保單數據進行實證分析，該數據可從文獻[10]中獲得，數據中保單索賠次數信息如表2所示。

表2 保單索賠次數信息Tab.2 Number of claims information

計算得該組數據均值約為0.07，方差約為0.077，均值與方差相差較小，可用泊松分布擬合。假設索賠次數N服從參數為λ的泊松分布，即N～P(λ)，概率分布為

用極大似然法求得參數λ的估計值為0.07，故本文中的索賠次數N～P(0.07)。

本文采用我國2015版獎懲系統的保費等級及獎懲系數數據（如下表所示）進行研究，數據可從文獻[11]中獲得。由表1可得獎懲系統的具體轉移規則如表3所示。

表3 獎懲系統的具體轉移規則Tab.3 Specific transition rules for the Bonus-malus system

表3的獎懲系統中，投保人的續期保費等級只與當期的保費等級和索賠次數有關。設Xn表示投保人在第n個保險期內的保費等級，則{Xn，n=0，1，2，...}為一個馬氏鏈，該馬氏鏈的狀態空間S為保費等級的集合，即S={1，2，...，8}。由表3可得馬氏鏈對應的轉移概率矩陣為

其中pk=P(N=k)，k=0，...，3，qn=P(N≥n)， n=1，...4。由式(6)得p0=0.9323938，p1= 0.0652676，p2=0.0022844，p3=0.0000533，q1=0.0676062，q2=0.0023386，q3=0.0000542，q4=0.0000009。由式(1)和式(7)得穩態概率分布為π=(π1，π2，π3，π4，π5，π6，π7，π8)

由式（6）得P0=e-λ，在區間[λL，λU]=[0.068，0.072]內所以由式(3)得P0的α截集為因為P0=e-λ為非線性函數，所以采用三角近似法計算由式(4)得。同理可得：

用R軟件的FuzzyStatProb包可計算模糊穩態概率分布中的α截集上下界的真實值，結合式（1）和式（8）計算得的近似三角模糊數如下

表4的α截集的上下界及誤差Tab.4 α-cuts of it's upper and lower bounds and errors

表4的α截集的上下界及誤差Tab.4 α-cuts of it's upper and lower bounds and errors

images/BZ_122_1503_2767_1587_2819.pngimages/BZ_122_1191_2761_1284_2817.pngimages/BZ_122_891_2772_974_2822.pngimages/BZ_122_591_2760_676_2812.pngα 0 0.8461048 0.8544213 0.8461048 0.8544213 0 0 0.25 0.8469736 0.8531283 0.8470724 0.8533098 0.012% 0.021%0.5 0.8480278 0.8522171 0.84804 0.8521982 0.001% 0.002%0.75 0.8490109 0.851098 0.8490075 0.8510867 0.0004% 0.001%1 0.8499751 0.8499751 0.8499751 0.8499751 0 0(errα)(errα)

本文從嚴厲性方面將普通獎懲系統與模糊獎懲系統進行比較。選用相對穩定平均水平(RASL)、對新投保人的隱性懲罰(ECL)、變異系數(CV)指標評價獎懲系統的嚴厲性，計算公式分別為

令標準保費為1，則保費等級j的保費Pj=rjP，j=1，...，8，穩態平均保費取三角模糊數對應的非模糊數計算模糊穩態平均保費根據表3中的獎懲系數和模糊穩態概率分布的結果計算得保費Pj和非模糊數π'j如表5所示：

根據式（9）、式（10）和式（11）并結合表5中的數值，得獎懲系統嚴厲性的各指標值如表6所示

表5 穩定狀態下各變量的數值Tab.5 Numerical value of each variable in stationary state

表6 獎懲系統嚴厲性指標值Tab.6 Severity index value of the Bonus-malus system

從表6可以看出，模糊獎懲系統的RASL值略高于普通獎懲系統，說明在模糊獎懲系統達到穩定狀態時，投保人所處保費等級分布比普通獎懲系統略均勻；其ECL值略低于普通獎懲系統，說明對新投保人的隱性懲罰略低；其CV值也略低于普通獎懲系統，說明普通獎懲系統較為嚴厲些。

4 結語

對于獎懲系統的研究，現有文獻中，大多數是在具有精確參數的分布下進行的，忽略了模型中的不確定性?？紤]到模型中存在的不確定性，本文將索賠次數的分布參數量化成一個三角模糊數來研究獎懲系統。利用模糊轉移概率矩陣、三角近似法及FuzzyStatProb包計算得到模糊穩態概率分布將的結果與普通獎懲系統的穩態概率分布π=(πj)對比，發現的1截集πj(1)與πj相等，驗證了普通獎懲系統是模糊獎懲系統的一個特例。的0截集給出了穩態概率分布的最大模糊性。

本文從嚴厲性方面對獎懲系統進行比較，選取RASL、ECL、CV指標對獎懲系統的嚴厲性進行評價。通過比較各指標值發現普通獎懲系統比模糊獎懲系統略嚴厲些，對新投保人的隱性懲罰略高。因此，將參數量化成模糊數可以使獎懲系統中包含參數的不確定性，還可以略降低獎懲系統的嚴厲性。