分擔值與亞純函數的正規性

張海俠

(許昌學院 數理學院,河南 許昌 461000)

亞純函數的正規族理論是復分析的一個重要組成部分,也是研究復分析問題的一個主要工具.上世紀初廣泛應用在復動力系統中.P.Montel引進了正規族的概念并且給出了一個判定函數族正規的基本定則,即Montel正規定則，1931年F.Marty在Montel定則的基礎上建立了另一個著名Marty正規定則.后來,陳懷惠和顧永興[1]對Marty定則進行了推廣與改進.W.Schwick[2]把亞純函數正規族與分擔值結合起來考慮亞純函數正規族理論問題,研究發現分擔值與正規定則之間的聯系，隨后,FANG M L等[3],PANG X C等[4],FANG M L等[5]把雙向分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規性問題并取得了一系列的研究成果，把單項分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規性問題，得到與導數有單向分擔值的亞純函數族的正規定則.

1 預備知識

設f(z)和g(z)是區域D內的兩個亞純函數,a是一個復數,若f(z)-a與g(z)-a在D內有相同的零點,則稱f(z)與g(z)在區域D內分擔a,或稱IM分擔a.記為

f(z)=a?g(z)=a.

如果f(z)-a的零點為zn(n=1,2,…),且zn(n=1,2,…)也是g(z)的零點(不計重數),則記為

f(z)=a?g(z)=a.

引理4[7](Hurwitz定理) 設函數序列{fn(z)}在區域D內解析,并且在D內閉一致收斂到一個不恒為零的函數,γ是D內可求長的閉曲線,其內部屬于D,且不經過f(z)的零點,則存在正整數N,使得當n≥N時,在γ內部,fn(z)和f(z)的零點個數是相同的.

引理5[8]設F是區域D上的亞純函數,且h(z)為D上的亞純函數,k∈N若對于任意的z∈D,有h(z)≠0，假設對任意的f∈F，滿足f(z)=0?f′(z)=h(z)?|f″(z)|≤c(c為常數)，則F在D上正規.

引理7[10]若F滿足引理5的條件,則F在D-0上正規.

2 亞純函數的正規性

2005年,張國明、孫偉、龐學誠給出了下面結論：

命題[8]設F是平面上區域D上的亞純函數族,如果對于任意的f∈F,都有

f(z)=0 ?f′(z)=z? |f″(z)|≤c,

其中c為常數且f(0)≠0，則F在D上正規.

該結論是把雙向分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規性問題，若把單項分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規性問題，將得到一個新的有價值的新結論，即是與導數有單向分擔值的亞純函數族的正規定則.

定理1 設F是區域D上的一族亞純函數,若對于任意的f∈F,有

(1)f(z)=0?f′(z)=z?f″(z)=0.

(2)若f(0)≠0，則F在D上正規.(不再限制零點的級).

在復平面C的意緊子集上依球面距離內閉一致成立，其中，g為非常數的整函數g#(ζ)≤g#(0)=2.

因此，g(ζ)=0?g′(ζ)=1.

g(ζ)=0 ?g′(ζ)=1 ?g″(ζ)=0，

由引理2,引理3知g(ζ)=ζ-b,所以g#(ζ)≤1與g#(0)=2矛盾，從而結論成立.

類似方法(ⅰ)，可得出G=0 ?G′=z?G″=0.

(2)若G為多項式，結合G′(ζ)=ζ為非常數,則G的次數k至少為2.

若G(0)≠0,由G(ζ)=0 ?G′(ζ)=ζ,所以G的零點均為單零點.

又因G的次數為k,知方程G(ζ)=0有k個不同的解,而方程G′(ζ)=ζ有k-1個不同的解,與G(ζ)=0 ?G′(ζ)=ζ矛盾，所以，G(0)=0且G′(0)=0,ζ=0為G(ζ)的至少二重零點.

由此可見，g#(0)≤1與g#(0)=2矛盾.則F1在z=0處正規，從而定理結論(2)成立.

通過上面的討論可以看到，在利用亞純函數正規族的有關理論、亞純函數正規族及其導數與分擔值結合考慮的前提下,得出了涉及導數與單向分擔值的亞純函數的正規性定理,把亞純函數正規性的范圍做了一些推廣,得到了關于亞純函數正規性的重要理論結果.