《一個數除以整數》課堂實錄及評析

王春紅

（石家莊市北新街小學，河北 石家莊 050000）

教學內容：冀教版《義務教育教科書·數學》五年級下冊

學習目標：

1.通過讀題、理解題意并列出解決問題的算式，自主地理解分數除以整數的意義。

2.在教師的引導下，通過畫圖、分析、推理等理解一個數除以整數（0 除外）等于這個數乘整數的倒數。

3.通過多個分數除以整數和整數除以整數的計算，能掌握一個數除以整數（0 除外）等于這個數乘整數的倒數。

教學重點：通過多個分數除以整數和整數除以整數的計算，能掌握一個數除以整數（0 除外）等于這個數乘整數的倒數。

教學難點：在教師的引導下，通過畫圖、分析、推理等理解一個數除以整數（0 除外）等于這個數乘整數的倒數。

課前準備：

作業紙、課件、紅筆

教學過程：

一、談話導入

師：剛才我們都互相認識了，聊天過程中聊到了我們北方人的主食以面食為主，尤其比較喜歡吃大餅，咱們班同學也有很多同學喜歡吃，這節課我們就從分大餅開始。

二、自主探索

（一）初步探索算理

1.明晰學習要求

師：請同學們自己讀一讀題目和要求。

課件出示例題和要求：王老師買了1/2 張大餅，平均分給3 個人吃，每人吃多少張大餅？試著算一算，并想辦法解釋算法的合理性。（如寫一寫、畫一畫或折一折等）

師：你覺得兔博士的要求中哪個對你很重要？

生1：我覺著“并想辦法解釋算法的合理性很重要”。

師：哦，其他同學呢？

生2：我覺得“如寫一寫、畫一畫、折一折”這些方法也很重要。

師：同學們的審題能力都很強！請同學們自己試著算一算，并想辦法解釋算法的合理性。

2.自主探索

學生自己探索計算方法，并和同桌說說自己的想法，師巡視，找出不同方法的作品。

【評析】此環節先讓學生明晰了學習的任務，以及完成任務的基本方法，培養了學生閱讀、理解文本的能力，再給學生提供充分的自主操作時間，為交流性學習做好準備。

3.全班交流

師：我發現這幾位同學的的做法各有不同，請他們到前邊給大家說說是怎么想的，怎么做的。（投影展示第一份作品，學生到前邊講解）

（1）平均分半張餅的

師：聲音很洪亮，并且提前預習了今天的學習內容。知道結論很重要，但解釋其中的道理更重要。如果其他同學和他想法不一樣，可以向他提問題。

生2：我覺得你的算式是對的，但畫的半張餅不是平均分的。

生1：這點我承認，我畫的不太標準。

師：沒關系，我這里有根紅筆，你用它改一改。（生1 遲疑）提建議的同學你到前邊幫他分一分。（生2 到展臺修改圖形）

生1：謝謝你，我剛才有點緊張，筆誤。

師：不用緊張，這位同學幫我們平均分了這半張餅，雖然筆有點粗，但意思我們都能看明白。其他同學還有疑問嗎？

生3：你列的除法算式，為什么又變成了乘法算式？

師：英雄所見略同，我也有這個疑問，但解決咱們共同的問題前先來解決我的另一個疑問，平均分就分吧，分完不就得了，為什么列除法算式？

師：你表達的很完整，不但把事情敘述清楚了，還把問題也說明白了，只有這樣我們才知道把一個數平均分成幾份，求1 份是多少要用除法計算，這和整數除法的意義是一樣的。請剛才的同學再來說說你的問題。

生3：你列的是除法算式，為什么又變成了乘法？

師：解釋的很清楚，這位同學明白了嗎？

生3：明白了，把除法轉化成學過的乘法，分數除法就變得簡單多了。

師：剛才同學之間的對話讓我們明白了把半張餅平均分成3 份，求其中的1 份是多少，用除法計算。求半張餅中3 份里的1 份就是求的是多少，所以除法轉化成了乘法，除以3 變成了乘3 的倒數。（師邊小結邊板書計算過程）分數乘法過去學過，最后結果是張餅。好神奇呀，除法變成乘法。這位同學能給大家在圖里指出張餅在哪里嗎？（生1 在圖里打上勾）

【評析】通過半張餅的示意圖，解決了為什么用除法算和除法計算轉化為乘法計算的重點知識，特別是引發了學生對單位“1”的質疑，促使全體學生的思維向更深刻的一步推進。

（2）整張餅平均分成6 份

師：這里還有三位同學的畫法我覺得挺有趣，我們一起來看看。（投影同時展示3 份作業）有方餅、有圓餅，計算結果和剛才的都一樣，但是看著你們這三張圖，我有點不明白，明明我就買了半張餅，但你們畫的都是一張餅，你們的意思是讓我把另半張餅也買回來？

【評析】在算理的探討中，弄清單位“1”是誰是思維上的一個坎兒，教師用看似糊涂的一個問題，直接把學生思維的焦點引向對單位“1”的思考，教師“裝糊涂”的方式很巧妙。

生1：另半張餅是想象出來的。

師：另半張餅沒有買，為什么要想象著畫出來？

師：（師向這個學生豎大拇指）咱倆心有靈犀，你和我想到一塊兒了。你的圖畫錯了嗎？

生2：我的圖沒有畫錯，我補充一下就行。（生拿筆繼續分餅）

師：你為什么不把想象的半張餅平均分成4份、5 份呢？為什么平均分成了3 份？（生2 抓頭，又搖頭。）還沒想好，其他同學幫他解釋一下。

生4：因為買來的半張餅平均分成了3 份，如果想象的半張餅不平均分成3 份，那么整張餅就不是平均分了。

師：你說的很有道理，看來所有的事情都是和平均分有關系的，那他這樣補充完整后，陰影面積就是整張餅的了。

生5：老師，他想象的半張餅是用虛線畫的，所以平均分的線也應該是虛線，應該和下邊這幅圖里的圓餅一樣。

生2：剛才是筆誤，我改過來。（生重新畫分割線）

師：關于他畫的圖還有疑問嗎？右邊這幅圖畫的也是方餅，說說你的想法。

師：你說的很詳細，但剛才你提到了整張餅平均分成了6 份，這個6 是怎么來的，你能再說說嗎？

生6：買來的半張餅平均分成了3 份，想象的半張餅也得平均3 份，那么整張餅就平均分成了2 個3 份，也就是6 份。

師：說的更清楚了，謝謝你。再來請這位畫圓餅的同學說說自己的想法。

生7：老師，我的算式只寫了乘法，應該用除法計算，我把它改過來。（生改正錯誤）

師：好細致的小男孩，好樣的！

生7：我用圓形表示一張餅，把它平均分成2 份，用陰影表示買來的半張餅，再把買來的半張餅平均分成3 份，想象出的半張餅也平均分成3 份，整張餅就平均分成了6 份。每人吃其中的1 份，再涂上一層陰影，這個雙陰影就占整張餅的。

生8：應該是整張餅。

師：大家的推理能力真是太棒了，我們聊明白了單位“1”。既然要求大家解釋算法的合理性，那這幾張作品中，你覺著誰的更合理一些。

生9：我覺得這個圓餅的比較合理，他用虛線表示出了想象的半張餅，還用虛線進行平均分，因為都是想象的，所以用虛線更合理。

生10：我也覺得這個圓餅更合理，不但用到了實線和虛線，還用單陰影和雙陰影區分了買來的半張餅和每人吃的餅，這樣更清楚。

（3）線段圖法

師：兩位同學說的真好，其他同學課下可以借鑒他的方法，把自己的圖形進行修改。還有一位同學也用到了實線和虛線，但他畫的卻不是大餅，我們一起來看看。（展臺展示線段圖畫法）這位同學在圖上清楚地寫出了自己的想法，還有補充的嗎？

師：借助實線和虛線不但進行了平均分，還驗證了結果是否正確，你很有思想。

（4）借助分數基本性質和分數意義來解釋

師：還有一位同學的算法很獨特。大家能看懂嗎？（投影展示作品）

4.小結

【評析】學生在一個情緒上輕松自然，思維上積極投入的氛圍中，先從半張餅的圖形中建構一個數除以整數的數學模型，再通過對比幾種不同的圓形和方形餅的分法，自己找到比較合理的解釋，最后從平面圖形抽象到線段再到分數意義的推理，發現了知識間的內在邏輯，學生的數學推理能力得到了很好地發展。本環節落實了第2 條學習目標：在教師的引導下，通過畫圖、交流等理解一個數除以整數（0 除外）等于這個數乘整數的倒數。

（二）再次驗證算理

師：剛才我們把半張餅平均分給3 個人吃，如果分餅的人數多一些，你還會算嗎？（課件出示試一試的題）同學們默讀題目，自己算一算，把計算過程寫在作業紙上。（投影展示一個學生的計算）

生：我就是按剛才大家說的方法算出來的，半張餅平均分給5 個人吃，每個人吃的就是的是多少，所以除法轉化成了乘法，結果就是張餅。

師：你不但寫的整齊，解釋的也很清晰，真好！他的想法和大家的一樣嗎？（生表示一樣）計算結果呢？（生都點頭）

（三）逐步完善算法

師：剛才我們把人數增多了，如果買餅的張數再多些呢？（課件出示例2：王老師買來2 張餅，平均分給5 個人，每人吃多少張餅？）請同學們們繼續幫著分一分。

師：給大家講講你是怎么分的這2 張餅？

生1：把2 張餅平均分給5 個人，求每個人吃多少張餅用除法計算。2÷5 就是取2 張大餅中的，所以÷5 變成了，最后得出張大餅。大家明白了嗎？

師：剛才大家慌忙計算時，我發現一位同學早早就算完了，他是直接寫出結果的，我們請他說說是怎么想的？

生3：被除數作分子，除數作分母，除號相當于分數線，所以直接得出這個結果。

師：我明白了，這是我們過去學過的一個知識，他利用了分數和除法的關系，學以致用，真好！原來這部分知識我們是通過觀察幾組除法算式和分數得到了它們之間的關系，但并不知道為什么，今天學習了分數除以整數的計算方法后，證明了我們過去的算法也是對的。學習數學就是這樣，前后之間的知識都是有聯系的。

【評析】通過學習，學生體會到新方法很好地解釋了舊知識的正確性，建立起新舊知識間的聯系。

（四）歸納算法

師：這節課我們一直在自己嘗試著算呀、算呀（師手指板書），算著算著有點兒發現嗎？

生1：分數除以整數，就等于分數乘這個整數的倒數。

師：說的挺有道理，還有補充嗎？

生4：我覺得整數除以整數也可以這樣，黑板上第二個算式就是整數除以整數，也可以轉化為整數乘另一個整數的倒數。

師：分數和整數既然都可以，那我們就把它們叫做一個數，這就是我們這節課一起研究的一個數除以整數的計算方法。（板貼計算法則并板書課題）請同學們自己讀一讀計算方法，用自己的方法記憶一下。（生自己默讀或做筆記）

師：我寫的計算方法中有0 除外，都知道什么意思吧？（生都表示明白）

【評析】結合算理推導過程和板書，學生自主歸納出一個數除以整數的計算法則，落實學習目標3，這種“動態的結果”防止了學生機械的記憶，加深了對算理的理解。

三、拓展延伸

師：今天我們一直在分大餅，分著分著就學習了一個數除以整數的相關知識。生活中還有很多這樣的事情，請你找到這樣的例子，寫一篇小日記。這節課就上到這，下課！

【評析】在學生已有知識和生活經驗的基礎上布置作業，使所學的知識得到拓展與延伸。

總評：

《一個數除以整數》是在學生學習了整數除法、分數乘法的計算方法以及倒數知識的基礎上進行教學的。在計算教學中培養學生的推理能力，提高其數學素養，是數學教學的研究方向之一。王老師執教的這節課以發展學生的推理能力作為教學設計的核心，有兩個突出亮點：

1.巧妙點撥，真正實現了生生互動式學習

課堂教學常常以對話為主要互動方式，王老師擯棄傳統的互動方式，讓學生在動手操作的基礎上進行展示性交流，并站在學生的角度考慮問題，用幾個疑問“你們的意思是讓我把另半張餅也買回來？另半張餅沒有買，為什么要想象著畫出來？”向學生請教，學生有了一種安全感和愉悅感，激發出思維的潛能，打開了“話匣子”；教師的這幾個問題看似向學生請教，實質上是抓住課堂中學生生成的每一個思維的關鍵點，給學生創造發現問題、提出問題的機會，在教師的巧妙點撥下，學生在問題間自由往返，主動發現各種聯系，建構了數學推理的路徑，實現了同伴互助下的學習。

2.充分尊重學生個體的體感經驗，讓每個學生都明晰算理

分數除法計算的教學中有一個重要的問題，即“為什么要把分數除法計算轉化為乘法計算”。多年來因為教師的不重視，常常導致課上除法計算轉化為乘法計算的演變過程的缺失，學生因此失去了深入探討算理的機會，導致死記硬背算法的現象頻出。本節課王老師設計了寫、畫、折的直觀操作和交流活動，以發展學生的推理能力作為教學設計的核心，有利于學生理解算理。交流過程中當一個學生質疑發言學生“你列的除法算式，為什么又變成了乘法算式？”時，王老師回應“英雄所見略同，我也有這個疑問。”當一個學生評價發言學生的做法“我覺得你說的有點問題，張餅平均分成3 份，每個人吃的是1 份，而不是份”時，王老師稱贊并引領“解釋的很清楚，這位同學明白了嗎？”像這樣，王老師理解、贊賞、尊重學生不同感受的例子比比皆是，于是學生們從畫圖到講理，從畫形狀像大餅的圓形圖到抽象一點的長方形圖，再到更抽象的線段圖，最后到不畫圖用分數的基本性質講理，每個人探究算理的切入點不同，運用已有知識和經驗解決問題的水平不同，但都得到王老師的尊重和恰當地引導，正真做到了“理解算理，一個也不能少”。