基于正態變換的瑪納斯河水文頻率研究

蔡國濤　喬長錄

關鍵詞：正態變換;水文頻率計算;適線法;非一致性修正;瑪納斯河

中圖分類號：P333.9 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2022.03.005

引用格式：蔡國濤，喬長錄.基于正態變換的瑪納斯河水文頻率研究[J].人民黃河，2022，44（3）：21-25，31.

1引言

水文頻率計算是綜合運用水文學、水文統計學和概率統計學等原理，利用研究區多年實測水文數據對水文事件的規律進行統計分析，定量表征水文變量設計值與設計標準（頻率或重現期）之間的關系，是各類涉水工程規劃、設計、確定工程規模和管理決策的主要依據[1]。水文頻率計算經過一百多年的研究和發展，形成了較為完整的理論體系和方法。目前水文頻率計算通常有參數方法和非參數方法兩種：參數方法需要先假定樣本總體的分布形式，然后通過總體分布來計算待估參數，最后根據總體分布函數推求水文變量設計值;相反，非參數方法可以直接根據樣本信息估計水文變量的設計值，不必假設總體分布形式[1]。水文頻率計算也可先對樣本進行正態化轉換，根據轉換后的樣本估計指定頻率設計值，再進行反變換推求原始變量總體設計值[2-3]。Chen等[4]和徐煒等[5]在正態變換研究中指出，單變量正態變換過程中，原偏態分布到正態分布是一對一單調遞增的關系，利用正態變換方法得到的序列能較完整地保留原偏態分布的樣本信息。國內很多學者將Box-Cox變換應用于水文領域，但是基于Johnson變換的研究甚少。所以，筆者通過Box-Cox變換和Johnson變換兩種正態變換方法對瑪納斯河年徑流量序列進行正態變換，通過對比分析正態性檢驗結果和水文頻率計算結果，最終確定兩種正態變換方法的優越性和穩健性，以期為我國干旱區水資源規劃和工程規劃設計應用該方法提供參考。

2正態變換方法

2.1Box-Cox變換

Box-Cox變換是Box和Cox在1964年提出的一種可以明顯改善數據正態性的廣義冪變換方法，其函數關系式如下[6]：

2.3參數估計

常用的參數估計方法有矩法、最小二乘法、極大似然法、貝葉斯法、適線法、權函數法和概率權重矩法等。在水文頻率計算中，P-Ⅲ型分布參數采用適線法估計。Johnson變換中，待估參數計算采用Chou等[9]提出的方法。Box-Cox變換中，采用最小化待變換數據的標準差（介于-5和5之間），為了準確比較不同λ值的標準差，使用以下公式計算標準化的變換值Z[10]。

式中：G為原始數據的幾何均值;Y為待變換數據。

3水文變量非一致性檢驗及修正

在計算水文變量頻率時，要求水文資料具有一致性，即隨機變量獨立且總體分布相同。但是近些年大規模的人類活動（修建水利工程等）和顯著的氣候變化，直接或間接地改變了流域的下墊面狀況，最終導致流域水文要素失去了一致性特點。如果水文序列中有趨勢和跳躍成分，序列的一致性將會被破壞，在水文頻率計算之前，要對水文資料進行非一致性檢驗及處理。因此，需要對水文資料進行趨勢分析和變異檢測，并根據檢驗結果對非一致性成分進行剔除。

3.1非一致性檢驗方法

常用的非一致性檢驗方法有：Mann-Kendall秩次檢驗法、斯波曼（Spearman）秩次相關檢驗法、有序聚類法、秩和檢驗法、游程檢驗法、T檢驗法、F檢驗法、線性趨勢的相關系數檢驗法、小波分析法、信息熵分析法等[11-13]。本研究基于Matlab軟件選用Mann-Kendall（M-K）秩次檢驗法，并且使用趨勢分析和游程檢驗對水文序列進行非一致性檢驗。

3.2非一致性修正方法

非一致性修正方法主要有基于還原/還現、基于非一致性極值序列直接進行水文頻率分析計算等[14]。本文采用胡義明等提出的修正方法，趨勢修正即假定“在具有趨勢變化的實測序列中存在一個理想的平穩（一致性）狀態，平穩狀態的振動中心（平均值）是序列分割點前后兩個實測樣本序列平均值的線性組合”。通過綜合分割點前后兩段序列，進行序列趨勢性變異的一致性修正[15]。跳躍變異修正的假定與趨勢修正相似，最終通過綜合跳躍變異點前后序列的均值進行整體序列的修正[11]。

4應用研究

以瑪納斯河肯斯瓦特水文站1955—2010年共56a實測年徑流量為原始數據序列，首先對年徑流量序列進行變異檢驗，然后通過上述非一致性修正方法對變異序列進行修正。使用兩種正態變換方法對年徑流量序列進行正態轉換并檢驗其正態性，最后基于兩種反變換方法并對比適線法進行水文頻率計算和綜合分析。

4.1研究區概況瑪納斯河流域位于新疆天山北麓準噶爾盆地南部，發源于天山北坡的依邊哈比爾尕山，位于東經84°47′—85°31′、北緯43°27′—45°30′之間，流域遠離海洋，位于歐亞大陸腹地，氣候干燥，屬典型的大陸性干旱氣候區[16]?？纤雇咛厮恼臼乾敿{斯河上的一個控制測站，測站斷面基本上控制了瑪納斯河全部的地表徑流。該站始建于1955年5月，控制流域面積約4637km，多年平均年徑流量約為12.21億m。

4.2非一致性檢驗及修正

4.2.1跳躍變異檢驗及修正

對年徑流量序列進行M-K檢驗，結果如圖1所示。

由于1955—2010年年徑流量序列M-K檢驗圖中UF與UB交點位置和歷史文獻資料初步確定變異點在1995年附近，經有序聚類分析法和滑動T檢驗法進一步確定跳躍變異年份為1996年。以1996年為分割點將整個年徑流量序列分為前后兩個子序列，權重系數為0.44。跳躍變異修正公式為

式中：μ=1996;t=1955;t=2010;x（t）為原實測序列。

對跳躍性變異修正前后的年徑流量序列進行游程檢驗，結果見表2和表3。由游程檢驗結果可知，跳躍變異修正前，游程數量偏少且檢驗統計量T值（為0.089）略大于0.05，表明序列隨機性較差，存在跳躍變異。經跳躍變異修正后，T值（為0.816）遠大于臨界值0.05，且游程數量適中，表明序列具有獨立性、隨機性，即跳躍性變異被有效剔除。

4.2.2趨勢變異檢驗及修正

圖2為原實測序列跳躍變異修正后年徑流量序列的趨勢分析，結果表明序列存在明顯下降趨勢。圖3為趨勢變異修正后序列的趨勢分析。年徑流量序列線性趨勢模型為經計算，序列修正公式為

式中：y（t）=0.248-0.0076t;x（t）為跳躍變異修正后年徑流量序列;y′（t）為趨勢變異修正后年徑流量序列。

趨勢變異修正后序列趨勢表明：經修正后，年徑流量序列趨勢性變異被有效剔除，線性趨勢模型為Y=13.393+0.1t。

4.3正態變換求解

4.3.1正態分布表達式

正態分布的概率密度函數為

式中：μ為位置參數（均值）;σ為尺度參數（標準差）。式（7）記作X～N（μ，σ）。

當μ=0，σ=1時，正態分布就成為標準正態分布：

4.3.2正態性檢驗

首先對變異修正后水文序列進行正態性檢驗，常用的正態性檢驗方法有圖示法、峰度檢驗法、非參數檢驗法。圖示法包括P-P圖、Q-Q圖、直方圖、箱線圖、莖葉圖等。非參數檢驗方法包括Kolmogorov-Smirnov檢驗、Lilliefor檢驗、Shapiro-Wilk（W檢驗）等。本文借助統計學常用軟件SPSS和Q-Q圖進行正態性檢驗。SPSS檢驗結果見表4，正態Q-Q圖檢驗結果如圖4所示。

由實測序列修正后正態Q-Q圖檢驗和SPSS描述性統計量可知，水文序列不服從正態分布。樣本偏度為0.381，峰度為0.443，所以需要對序列進行正態變換。分別使用Box-Cox和Johnson變換對年徑流量進行正態變換，Box-Cox變換的參數計算結果和兩種變換后序列的正態性檢驗結果如圖5～圖7所示。

根據Box-Cox變換和Johnson變換結果可知，Box-Cox變換的參數λ=-0.5，序列均值為1.45，標準差為0.03581，95%置信區間P=0.889。Johnson變換的最佳類型為S，95%置信區間P=0.985，序列均值為0.02194，標準差為0.9422，表明Johnson變換的效果優于Box-Cox變換。S逆變換公式為[17-18]

5年徑流量頻率計算

對實測序列修正后進行水文頻率計算，水文頻率計算采用適線法[19]。實測序列修正后基于Box-Cox變換和Johnson變換進行指定頻率下年徑流量設計值計算，計算方法采用正態逆變換[20]。3種方法對應的年徑流量頻率計算結果如圖8所示。

由年徑流量序列頻率計算結果可知，基于Johnson變換推求的年徑流量設計值和經驗頻率擬合度較高，其次是基于Box-Cox變換推求的，最后是基于適線法推求的。Box-Cox逆變換推求的年徑流量設計值與原實測水文序列的高水端擬合度較高，Johnson逆變換推求的年徑流量設計值與原實測水文序列整體和低水端擬合度較高，適線法計算的年徑流量設計值與原實測水文序列的中水端擬合度較高。原因是：經過Box-Cox變換的序列通過了正態性檢驗且與Johnson變換相比較低，但是因為其變換只有一個待估參數，所以當逆變換序列發生很小的變化時，變換后的結果也會有大的波動，導致在水文序列高水端不穩定時的擬合更有優勢，從而可以較精確進行水文頻率計算。Johnson變換有多個形式和變換參數，正變換與逆變換之間的穩健性比Box-Cox變換好，水文變量發生大的波動時，逆變換的設計值依然比較穩定，和實測年徑流量序列整體擬合度較高，但與高水端擬合度稍劣于Box-Cox變換。因此當應用Box-Cox變換和Johnson變換推求指定頻率的水文變量設計值時，需要依據河流自身水文特性綜合利用兩種方法。

利用殘差平方和RSS衡量設計值和實測值的擬合程度：一組數據的殘差平方和越小，表示其擬合程度越高。殘差平方和計算結果和3種水文頻率計算方法對應不同頻率年徑流量設計值見表5。

相比于實測年徑流量序列修正后基于適線法計算結果，基于Johnson變換推求百年一遇、千年一遇的年徑流量設計值偏大，萬年一遇的年徑流量設計值偏小;基于Box-Cox變換推求的年徑流量設計值與Johnson變換相差不大。

6結語

基于正態變換和逆變換原理，采用Box-Cox變換和Johnson變換對新疆干旱區瑪納斯河進行水文頻率計算研究，通過逆變換推求指定頻率下對應的年徑流量設計值。實測序列修正后以P-Ⅲ型分布曲線為水文頻率計算線型，采用優化適線法推求不同頻率對應的年徑流量設計值。并對結果進行對比分析，主要得出了以下結論。

（1）由年徑流量序列頻率計算結果可知，基于Johnson變換推求的年徑流量設計值和經驗頻率擬合度較高，其次是基于Box-Cox變換推求的，最后是基于適線法推求的。Box-Cox逆變換推求的年徑流量設計值與原實測水文序列的高水端擬合度較高，Johnson反變換推求的年徑流量設計值與原實測水文序列整體和低水端擬合度較高，適線法計算的年徑流量設計值與原實測水文序列的中水端擬合度較高。

（2）相比于原實測修正后年徑流量序列基于適線法計算結果，基于Johnson變換推求百年一遇、千年一遇的年徑流量設計值偏高，萬年一遇的年徑流量設計值偏低，基于Box-Cox變換推求的年徑流量設計值與Johnson變換相差不大。

【責任編輯 張帥】