誤差傳遞公式的教學探索

蔡 丹 楊 濤 陳國華

（桂林電子科技大學材料科學與工程學院 廣西·桂林 541004）

0 前言

在大學物理實驗中，最終的測量目標都是間接測量量。間接測量的結果是由直接測量結果按照一定的表達式計算出來的。因此，直接測量結果的誤差（或不確定度）就必然影響到間接測量結果，這種影響的大小也可以通過相應的表達式計算出來，即誤差傳遞公式（注：誤差傳遞公式（error propagation formula）是2019年經全國科學技術名詞審定委員會審定發布的物理學名詞）。

誤差傳遞公式是誤差分析的基礎，同時也是教學過程中的重點和難點。理工類專業的學生，學習大學物理實驗課程的目標不應局限于僅僅掌握相關的實驗操作技能以及正確的測量數據方法，還應該能夠正確的進行數據處理和誤差分析，給出合理的實驗結果，明確主要誤差的來源。從而在后續的設計性實驗中進行誤差分配，正確選擇儀器。

1 學情分析

大部分國內高校開設的大學物理實驗課程在第一次授課時，都會專門安排一節緒論課，對物理實驗中的基本操作常識、儀器用法和誤差理論進行講解。由于誤差傳遞公式是誤差分析必不可少的工具，也被放到了緒論課中。但在后續進入具體實驗項目之后，教師們一般都不會再花時間對相應實驗中所用的誤差計算公式進行推導或解釋。因此，如何在上緒論課時就將這個貫穿始終的知識點講解明白，就顯得十分的重要。

然而筆者在多年教學過程中感受到，很多學生并沒有很好的理解和掌握誤差傳遞公式，即便記住了公式卻也“知其然，不知其所以然”。相應的，在學生所上交的實驗總結報告中，誤差分析部分通常總是完成得最不理想的部分。可見，如何改進教學方法，使學生學得好，教師容易教，便是迫切需要解決的問題。

本校選修大學物理實驗課程的通常都是大一下學期及大二上學期的理工科專業學生，筆者通過調查發現，在講解緒論課時大多數專業的學生正在或者剛剛學完高等數學課程中關于多變量微積分的章節。俗話說：“數理不分家”，于是筆者嘗試在講解誤差傳遞公式時，將數學知識與物理實驗更緊密的聯系起來，讓學生從多個角度去認識和理解誤差傳遞公式，從而更好的掌握這個重要的知識點。

2 教學設計

物理學中物理規律一般都可用數學形式表示，即所謂“公式”，但它又與純數學公式有所不同。數學公式不一定有物理意義，而有物理意義的定律、定理，就一定能寫出數學公式。物理規律是自然界萬事萬物遵守的規律，這個規律用公式寫出來，就成為定量科學。規律寫不出，或無法寫出一個具體的數學公式，只能語言講解時，就是定性科學。現在的物理學中，仍然有很多定性而沒有達到定量的程度。

常用的系統誤差傳遞公式及適用條件實驗中總是伴隨著誤差的存在。由于某些儀器的零點不準、不等臂，理論公式的近似，某些實驗條件的不滿足和各種儀表的接入誤差等原因，都可能產生系統誤差。在計算時，一般采用系統誤差的傳遞公式，我們不著急按照教材推導誤差傳遞公式，而是首先通過一個簡單的例子來說明，直接測量的誤差（或不確定度）是為何，以及如何傳遞到間接測量的結果上。

在高等數學中，微分代表的是變量的變化量。而在物理實驗中，某個變量在一定的范圍之內變化又可以理解為其真實值存在著一定的不確定度，或者說誤差。因此，我們將上式中的微分號d替換為代表不確定度的，即

如此，我們就建立了一種把直接測量的不確定度與間接測量的不確定度相關聯的表達式，也即誤差傳遞公式。但是，若用上式進行不確定度的計算，可能會因為右端各項之間正負抵消，導致對測量結果不確定度的估計過于樂觀。因此，很多教材中將誤差傳遞公式定義為：

可見，R和h的不確定度都會對V的測量結果產生影響，而兩者的影響力取決于各自偏導數的大小。

以上推導過程與間接測量的計算表達式無關，可以概況為三步，即：第一步，計算全微分；第二步，微分換成不確定度；第三步，改寫為“方和根”。利用同樣的思路，也可以得到計算相對不確定度的表達式。

[例2]已知x、y和z為直接測量量，W為間接測量量，且滿足。

首先對函數f兩邊取自然對數，即：

把微分號d替換為不確定號，即：

最后改寫為“方和根”，即

3 結語

數理結合的教學設計，在一定程度上降低了學生對于誤差傳遞公式的理解難度。問卷調查顯示，超過80%的學生表示理解并容易接受上述“三步走”的推導過程。對比分析后發現，采用新教法授課的學生，其實驗總結報告中誤差分析部分的正確率有了明顯的提高。當然，學生的學情、課程設置、課程要求等都是動態變化的，需要在教學過程中不斷地進行探索和創新。