矩陣—向量組—方程組三位一體教學模式探討

張繼國 魏玉華

（廣州工商學院 廣東·廣州 510850）

線性代數主要的研究對象是行列式、矩陣、向量、線性方程組、線性空間和線性變換，其獨特的代數計算方法是培養學生邏輯思維能力和抽象思維能力的主要手段。但該課程具有計算量大，以及理論知識抽象化的特點，也是學生公認比較難學的課程之一，從而導致出現學生學習線性代數的積極性不高，學習比較吃力等現象。因而老師如何教，學生如何學是很多教學工作者感興趣的研究課題，為此相關文獻大多從宏觀和微觀兩方面對此予以了較為充分的探討。

參考文獻[1]對線性代數教學核心點做出了分析，認為在實際的教學中，教學方法和教學內容略有欠缺，導致教學成效較差，需要教師明確線性代數教學的核心點，以及教學中存在的核心問題，并進行教學核心點的深入分析，以探尋問題的解決對策，進而促進大學線性代數教學的高水平發展。參考文獻[2]探索了在新工科背景下，工科線性代數課程在教育教學理念、課程體系建設、教學內容等領域所采取的一系列改革措施，以期通過改革來提高學生的理論水平、應用能力和創新能力。

在具體教學實踐中，參考文獻[3]分析了地方工科院校線性代數教學過程，在總結了學生、教師、教材、學生和教學法等存在的問題后，分別從幾何觀點、代數觀點和公理化觀點三個方面闡述了線性代數的知識結構，認為地方工科院校線性代數教學應該強化幾何化背景，為的是給學生有一個良好的幾何直觀，牢固樹立線性代數的幾何觀是非常重要的。笛卡爾坐標系的建立，在一定程度上使得代數與幾何得到統一和協調。強調教師要在幾何觀下教材處理，將行列式作為線性代數理論獨立存在，強化線性變換在線性代數的核心作用，把矩陣作為變換的附屬物。在樹立了變換的核心地位之后，向量空間的引入和介紹就越早越好。參考文獻[4]通過方程組求解問題和矩陣問題，引入了簡單易懂，有趣實用的案例教學法，突出線性代數的實用性及有趣性，從而有效的提升了學生學習線性代數的興趣，了解了線性代數的實用性。參考文獻[5]通過實際問題討論了矩陣等式與線性代數概念的對應關系，闡述了一個矩陣等式可能蘊含著多種線性代數含義，并用矩陣等式來揭示線性代數概念的本質與規律。比如用矩陣等式定義正交矩陣，定義矩陣之間的三種等價關系，用矩陣等式抽象線性代數問題，挖掘矩陣等式所蘊含的線性代數含義等。參考文獻[6]從明確教學目標、激發學習興趣、豐富教學資源、創新教學平臺、注重因材施教和優化評價模式等6個方面采取了線上線下的混合教學模式，強調只有加強教學模式的創新，使其更加符合學生的學習需求，才能提高學生的學習效率。

在國外，美國的數學教育一直處在改革之中。1990年，美國線性代數大綱研究組對線性代數的課程大綱與教學提出了四條改革建議。其要點是：（1）首先要滿足非數學專業面向應用的需要；（2）要強調以矩陣運算為基礎；（3）要從學生的水平和需求出發；（4）要采用最新的軟件工具。這四條都是為了提高課程的實用性，降低其抽象性，以利于它的“大眾化”[7]。

線性代數課程具有知識難度大、理論高度抽象的特征，課程本身定義概念多，公式定理繁雜，計算復雜，定理和推論的證明不容易被學生理解，各個章節內容相對獨立又存在內在的邏輯關系[8]。在地方院校或民辦大學中，一般主要講解前四章，主體內容為矩陣、方程組和向量組。這三個方面的內容既有相對獨立性，又有內在關聯性，實際上是相互聯系具有統一性的。如果將它們的內在邏輯性以教學模式的方式展現，必將起到事半功倍的效果。而我們在以往的教學中，尤其是年輕教師，由于教學經驗缺乏，不是特別重視或者沒能認識到這一點，只是將三部分的知識點按照教材編排順序逐一講解，無意中將它們割裂開來，導致學生的學習困難。

本文取材于同濟大學的線性代數（第六版）[9]，結合筆者長期教學經歷，著重闡述矩陣、方程組和向量組之間的相互轉換，以及這三者間的知識點內在邏輯關系，建立了“三位一體”的教學模式，力求讓學生盡快掌握這三個方面的內容。

1 矩陣—方程組—向量組相互轉換關系

矩陣、方程組和向量組之間在很大程度上是相互一一對應的。給定線性方程組（齊次或非齊次），從中可導出系數矩陣A或增廣矩陣B＝（A，b），以每個未知變量的系數構成列向量，則得到了向量組；反之，給一個矩陣，按照要求可構成齊次或非齊次線性方程組，也可按每列構成的向量得到向量組。可見矩陣—方程組—向量組之間的一一對應關系形成了一個閉循環。例如給定非齊次線性方程組①、矩陣②和向量組③如下。

可見，方程組①、矩陣②與向量組③中任意兩個都是一一對應的，從一個可以導出另一個，這就為三者間的知識點建立聯系打下了基礎。

齊次線性方程組、矩陣和向量組之間也具有這樣的一一對應關系。

上述這種轉換關系在教材中只是一筆帶過，教學經歷缺乏的老師可能不會引起注意，這就要求教師在教學中做出解釋，并通過畫邏輯圖和實例予以示范，并適時強調使學生加深印象和理解。

2 矩陣—方程組—向量組知識點的內在邏輯性

現分別以向量b能由向量組A線性表示和向量組的線性相關性為例討論矩陣、方程組和向量組的內在邏輯性。

2.1 向量由向量組線性表示

向量b能否由向量組A=(a1,a2…,an)線性表示？即是否存在一組數k1,k2,…,kn使得下面等式成立？

該表達式較為抽象，學生開始學習時難以理解。正如表1所示，如果將向量b,a1,a2…,an,代入式(1)，就可以轉化為一個非齊次線性方程組，而方程組不僅直觀，而且學生也較為熟悉，也就容易理解式(1)的內涵。同時根據該方程組是否有解來確定向量b能否由向量組A線性表示。

表1：非齊次線性方程組與矩陣和向量組邏輯關系表

例如，在③中要判斷向量b是否能由向量組a1,a2,a3線性表示，只需將它們轉化成方程組①，再利用矩陣初等行變換求出增廣矩陣B和系數矩陣A的秩。經計算得

R(A)=R(B)=2<3（變量個數）

由表1知向量b能由向量組a1,a2,a3線性表示，且表達式不唯一。經求解非齊次線性方程組①，其表達式為

b=(-3c+2)a1+(2c-1)a2+ca3

其中c可取任意實數。

經過這樣的講解，不僅使得式(1)的抽象性轉化為具體的非齊次線性方程組，而且式(1)右端向量組A的線性組合的系數即是方程組①的解。

另外，在判斷方程組解的狀態時，將其轉化為系數矩陣A與增廣矩陣(A,b)的秩以及方程組中未知變量個數之間的相互關系。

2.2 向量組的線性相關性

眾所周知，向量組A的線性相關性更為抽象，它的表達式如下，

其中k1,k2,…,kn不全為零。正如表2所示，將向量組(a1,a2,…,an)代入式(2)后就得到一個齊次線性方程組，因此向量組相關性問題轉化為齊次線性方程組是否有非零解的問題，若有非零解，則向量組線性相關，反之，則線性無關。這樣顯得直觀的多，學生更容易接受和理解，同時也掌握了判斷向量組相關性的方法。同時，在解齊次線性方程組時，通過系數矩陣的秩與變量個數的關系，來判別方程組是否存在非零解。

表2：齊次線性方程組與矩陣和向量組邏輯關系表

例如，設有向量組

討論向量組A=(a1,a2,a3)是否線性相關。根據線性相關性表達式，該問題就是是否存在不全為零的數k1,k2,k3，使得下式成立。

在教材[9]中，根據第四章第2節的定理4，直接計算矩陣

的秩。如果R(A)<3，則向量組A線性相關，否則線性無關。

這樣按照教材的編排講解無疑不存在問題，但是如果先讓學生知道可將式(3)轉化為一個齊次線性方程組

根據表2，若該方程組存在非零解，則向量組④線性相關，如果只有零解，則線性無關。判斷齊次線性方程組解的狀況，就是求出矩陣⑤的秩。經初等變換得出其秩等于2，小于向量組④的向量的個數3，所以向量組④線性相關。

3 結語

在教學實踐中，關于向量組的線性相關性，以及一個向量由一個向量組線性表示，我們發現學生難以理解和快速接受這兩個概念，原因在于它們較為抽象。雖然教材中講到了將其分別轉化為齊次線性方程組和非齊次線性方程組，但也只是一句話而已，這就要求教師加以重視，通過實例來演示和詮釋，幫助學生盡快掌握，也為矩陣—方程組—向量組三者間的內在邏輯關聯性的建立打下基礎。

實際上，矩陣的秩、線性方程組的解以及向量組的線性相關性，教材中均對每一個有詳細的闡述，但教學實踐表明，教師要在開始講授第2章和第3章時，不斷反復地強度矩陣、方程組和向量組作為三位一體的教學模式，從而將三者的知識點統一起來，避免了把三者分割開來，使學生能做到了融會貫通，準確快速判斷方程組解的狀態和向量組的線性相關性。