能量與時(shí)間不確定關(guān)系的物理意義

何向前 喬豪學(xué)

（1.武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 湖北·武漢 430022；2.武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北·武漢 430072）

國(guó)內(nèi)無(wú)論是中學(xué)物理課、大學(xué)普通物理課、還是物理學(xué)專業(yè)的量子力學(xué)，教學(xué)中都會(huì)涉及不確定關(guān)系，其中位置和動(dòng)量之間的不確定關(guān)系理解較為一致，但對(duì)能量和時(shí)間的不確定關(guān)系還有不同的理解，有必要加以討論并澄清。首先，不確定關(guān)系是微觀系統(tǒng)不確定性的表現(xiàn)，是粒子波粒二象性的必然結(jié)果，是粒子的基本屬性，雖然需要經(jīng)過(guò)測(cè)量才能表現(xiàn)出來(lái)，但屬性本身與測(cè)量無(wú)關(guān)。二十世紀(jì)九十年代以前的不少教科書，將不確定關(guān)系稱之為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，讀者容易誤解為不確定關(guān)系并不是粒子的基本屬性，而是與測(cè)量有關(guān)的一種觀測(cè)效應(yīng)，之后的教科書大多稱不確定關(guān)系。尤其是不確定度的理解，并非單次測(cè)量精度，而是測(cè)量值分布的彌散度，用測(cè)量值對(duì)平均值的偏移來(lái)表示，數(shù)學(xué)表達(dá)即標(biāo)準(zhǔn)差，也在本文予以澄清。

1 基于高斯型波包的能量與時(shí)間不確定關(guān)系

海森堡(Heisenberg)于1927年對(duì)高斯型波包的分析[1]，得出位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系為

可以用如下簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)就可得到上述關(guān)系式，對(duì)于最小不確定度波包

基于傅里葉變換，一對(duì)共軛量的不確定度必然會(huì)出現(xiàn)類似的關(guān)系，這是純粹數(shù)學(xué)的結(jié)論，并不需要物理上做出新的約定[2]。不確定度的含義，并不是測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差，而是系統(tǒng)可觀測(cè)量可能取值對(duì)平均值的偏離，從波恩統(tǒng)計(jì)解釋出發(fā)，不確定度就是系統(tǒng)可能取值的標(biāo)準(zhǔn)差。這么引入不確定關(guān)系看似沒(méi)有任何問(wèn)題，然而坐標(biāo)和動(dòng)量都是可觀測(cè)量，可以視為一對(duì)共軛物理量；而量子力學(xué)理論框架下，能量是一個(gè)可觀測(cè)量，可以用哈密頓算符表示，但時(shí)間并不是一個(gè)可觀測(cè)量，二者并不能視為一對(duì)共軛物理量，從而在物理解釋上會(huì)帶來(lái)困難。如(3)式可以理解為粒子在任意運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定度乘積的下限是。(4)式按相似的方式，是否可以理解為時(shí)間和能量不確定度乘積的下限是？答案是否定的，由于時(shí)間不是可觀測(cè)量，時(shí)間不確定度的物理意義模糊。

當(dāng)然對(duì)于不確定關(guān)系的理解，從一開始的分歧走向統(tǒng)一認(rèn)識(shí)也有個(gè)過(guò)程。在不確定關(guān)系提出之初，由于提出的過(guò)程可以完全基于數(shù)學(xué)，即與波性分布有關(guān)的任意一對(duì)共軛物理量都具有不確定關(guān)系。所以海森堡早期對(duì)不確定關(guān)系的理解是建立在測(cè)量基礎(chǔ)上的，即測(cè)量一個(gè)量必然影響另一個(gè)量，這種相互制約導(dǎo)致不確定關(guān)系的出現(xiàn)。比如一個(gè)假象實(shí)驗(yàn)，用測(cè)量一個(gè)粒子的位置涉及尺度測(cè)量的精度，最合適的辦法利用光子的散射，散射依賴于波長(zhǎng)和散射靶的尺度，從而實(shí)現(xiàn)高精度位置測(cè)量。但由于光子具有動(dòng)量，康普頓散射實(shí)驗(yàn)也證明了愛(ài)因斯坦光子動(dòng)量預(yù)言的正確性。從而散射過(guò)程的動(dòng)量交換，必然導(dǎo)致被測(cè)粒子動(dòng)量的變化。要提高測(cè)量精度，必須使用波長(zhǎng)盡量短的光子，根據(jù)德布羅意假設(shè)，波長(zhǎng)短的光子動(dòng)量必然大，光子和被測(cè)粒子之間的動(dòng)量交換會(huì)變大，導(dǎo)致電子的動(dòng)量發(fā)生更大的變化。因此從測(cè)量上來(lái)講，粒子位置的測(cè)量精度必然會(huì)影響粒子動(dòng)量的測(cè)量精度，數(shù)學(xué)形式和物理解釋并不矛盾，但這樣理解就跟量子力學(xué)沒(méi)有必然聯(lián)系。這里將一個(gè)物理量的不確定度理解為測(cè)量精度，海森堡提出的各種論據(jù)也并不把不確定度理解為單次測(cè)量精度，而是認(rèn)為單次測(cè)量值會(huì)形成一個(gè)分布，測(cè)量值對(duì)平均值的偏離為不確定度。這樣理解不確定度會(huì)與上述不確定關(guān)系的理解不能融合。這里引入量子力學(xué)的基本假設(shè)，即對(duì)物理量的測(cè)量，得到的返回結(jié)果，只可能是該力學(xué)量本征值中的一個(gè)。比如斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)就證明了這一點(diǎn)，對(duì)原子磁矩在某一方向上分量的測(cè)量結(jié)果，總是的整數(shù)倍，而不可能是其它值。因此量子力學(xué)的不確定度是表示測(cè)量結(jié)果對(duì)平均值的偏移，數(shù)學(xué)上就可以用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。如此理解不確定都，不確定關(guān)系就不能叫測(cè)不準(zhǔn)原理，因?yàn)椴淮_定關(guān)系與單詞測(cè)量精度沒(méi)有任何關(guān)系。那么不確定性關(guān)系的根源，在與粒子的波粒二象性所導(dǎo)致的力學(xué)量取值不完全確定性。不確定關(guān)系，表示的是任意兩個(gè)物理量的測(cè)量結(jié)果對(duì)平均值偏移的關(guān)系。兩個(gè)力學(xué)量不確定度之間的關(guān)系，取決于兩個(gè)力學(xué)量算符之間的對(duì)易關(guān)系。這樣不確定關(guān)系就可以由量子力學(xué)理論導(dǎo)出。不確定關(guān)系本質(zhì)上是物理量可能取值之離散程度之間的聯(lián)系。量子力學(xué)上，對(duì)一個(gè)物理量的測(cè)量會(huì)得到一個(gè)結(jié)果，這個(gè)結(jié)果可以表示為一個(gè)實(shí)數(shù)，通常將這樣的物理量叫可觀測(cè)量，跟力學(xué)量意思等同。

2 基于量子躍遷的能量與時(shí)間不確定關(guān)系

另一種引入能量與時(shí)間不確定的方法是基于量子躍遷[3]，即在時(shí)間t=0時(shí)刻加上一個(gè)微擾，則系統(tǒng)時(shí)刻躍遷到末態(tài)的能量分布寬度為，用含時(shí)微擾論可得到

若堅(jiān)持不確定關(guān)系是系統(tǒng)本身的屬性，(5)式作為能量與時(shí)間的不確定關(guān)系并不恰當(dāng)，因?yàn)椴⒉皇窍到y(tǒng)在微擾作用下的能量不確定度，只是在無(wú)微擾下系統(tǒng)本征態(tài)之間的間隔，并不真正反映微擾作用下系統(tǒng)的性質(zhì)。雖然 (5)式可以用來(lái)解釋能級(jí)寬度和能級(jí)壽命之間的關(guān)系，但其它文獻(xiàn)也認(rèn)為這不是真正的能量與時(shí)間不確定關(guān)系[4][5]。

3 基于算符對(duì)易子的能量與時(shí)間不確定關(guān)系

羅伯遜(Roberson)于1929年基于算符對(duì)易關(guān)系導(dǎo)出了不確定關(guān)系[6]，這也是現(xiàn)今教科書采用最廣泛的理論推導(dǎo)。若兩可觀測(cè)量可用算符和描述，且兩算符的對(duì)易子為，在描述的量子態(tài)下，兩可觀測(cè)量的期望值為

兩可觀測(cè)量的不確定度定義為標(biāo)準(zhǔn)差

則不確定關(guān)系為

這個(gè)表達(dá)式是基于算符理論導(dǎo)出的，推導(dǎo)在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格的，反映了兩個(gè)不對(duì)易的算符所描述的可觀測(cè)量，其不確定度之間的關(guān)系。坐標(biāo)與動(dòng)量不確定關(guān)系可作為(8)式的特例自然給出。因?yàn)?，根?jù)(8)式可以得到。仿照坐標(biāo)與動(dòng)量不確定關(guān)系，對(duì)任意狀態(tài)波函數(shù)有

為解決能量時(shí)間不確定度的來(lái)源，我們約定對(duì)于一個(gè)不顯含時(shí)間的可觀測(cè)量可用算符表示，則該可觀測(cè)量期望值隨時(shí)間的變化為[7]

則可導(dǎo)出如 (4)式的能量與時(shí)間不確定關(guān)系[8]，即。這里的可以理解為系統(tǒng)可觀測(cè)量期望值演化的特征時(shí)間，它表征系統(tǒng)演化的快慢。可觀測(cè)量可以任意選擇，都能得到同樣的不確定關(guān)系。教科書采用這種推導(dǎo)，邏輯上自洽且比較好理解[5-8]。

4 能量與時(shí)間不確定關(guān)系的理解

首先需要明確，在量子力學(xué)理論框架下，時(shí)間具有特殊性，它與坐標(biāo)和動(dòng)量等經(jīng)典力學(xué)量的本質(zhì)區(qū)別，在于它不是可觀測(cè)量。時(shí)間的這種特殊性質(zhì)，來(lái)源于量子力學(xué)的基本假設(shè)，即薛定諤方程所賦予的特殊地位。薛定諤方程直接規(guī)定了時(shí)間在任何表象都是一個(gè)參量，而不能像其它可觀測(cè)量用算符表示。而不確定關(guān)系是兩個(gè)可觀測(cè)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，是波粒二象性的必然表現(xiàn)。既然時(shí)間不是可觀測(cè)量，所以并不存在嚴(yán)格意義上的能量與時(shí)間不確定關(guān)系。對(duì)于關(guān)系式中的理解，需要重新審視時(shí)間到底是什么。牛頓力學(xué)中，時(shí)間和空間都是獨(dú)立與物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的，時(shí)間是絕對(duì)的、真實(shí)的、數(shù)學(xué)的時(shí)間，與任何外界事物無(wú)關(guān)地均勻流逝，這種理解符合我們基于日常生活經(jīng)驗(yàn)的物理直覺(jué)。在狹義相對(duì)論理論基礎(chǔ)上，時(shí)間是物質(zhì)的存在形式，時(shí)空與物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)。而薛定諤方程是非相對(duì)論的，非相對(duì)論量子力學(xué)里面，薛定諤方程本身賦予了時(shí)間以特殊的地位，也決定了時(shí)間不同于位置和動(dòng)量這些可觀測(cè)量。那么如何理解對(duì)時(shí)間的測(cè)量？測(cè)量時(shí)間實(shí)際上測(cè)量的是某一可觀測(cè)量的變化；即以某個(gè)可觀測(cè)量的變化為標(biāo)準(zhǔn)，衡量其它可觀測(cè)量的變化，才產(chǎn)生了定量化的時(shí)間定義。即時(shí)間不再是一個(gè)可觀測(cè)量，它只是可觀測(cè)量變化的一種標(biāo)準(zhǔn)。所以(12)式中的，并不是真正意義上時(shí)間測(cè)量結(jié)果的不確定度；而是以期望隨時(shí)間的變化率作為時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)，給出的實(shí)際上是可觀測(cè)量不確定度的變化。由(12)式可以看出，本質(zhì)上是可觀測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的一種表現(xiàn)。因此，能量時(shí)間不確定關(guān)系，本質(zhì)上是任意與哈密頓算符不對(duì)易的可觀測(cè)量與能量之間不確定關(guān)系的等效表達(dá)式。能量時(shí)間不確定關(guān)系，只是任意可觀測(cè)量和能量不確定關(guān)系的變形，這也許才是能量與時(shí)間不確定度的準(zhǔn)確含義。

綜上所述，可以得到簡(jiǎn)單明確的結(jié)論：一、不確定關(guān)系是粒子波粒二象性的必然結(jié)果，它由可觀測(cè)量算符直接導(dǎo)出，描述兩個(gè)可觀測(cè)量之間的內(nèi)在聯(lián)系；二、時(shí)間不是可觀測(cè)量，它在任意表象下都是一個(gè)數(shù)，而不能用算符表示，所以不存在本征值譜和本征函數(shù)組，當(dāng)然就不存在嚴(yán)格意義上的能量與時(shí)間的不確定關(guān)系，不確定關(guān)系只存在于可觀測(cè)量之間；三、教科書中出現(xiàn)的能量時(shí)間不確定關(guān)系式，在數(shù)學(xué)上仍然成立，它是任意可觀測(cè)量與能量不確定關(guān)系式，即的等價(jià)表示。