讓創新之花在數學課堂精彩綻放
——基于對習題探究課的賞析有感

?江蘇省如東縣洋口鎮初級中學 袁陳佳

隨著新課程理念的深化，教師越發關注對學生創新能力的培養.當然，培養學生創新能力的方法很多，對于數學教學而言，最簡單、最直接、最有效的方法莫過于提供豐富的學習素材，讓學生解決豐富多彩的、具有創造性的數學問題.問題作為課堂教學的主要方式，對教學效果的影響直接而深遠，恰到好處的問題可以引發學生的創新靈感，培養學生的思維能力[1].下面，筆者從習題探究課的視角出發，具體闡述如何讓創新之花在數學課堂中精彩綻放.

1 以典型習題為載體，引發一題多解，收獲層出不窮的成功喜悅

一些簡單的常規題，學生在解決的過程中勢必“胸有成竹”，對學生自信心的建立效果顯著.而常規習題對培養學生的創新思維意義不大，相反會讓越來越多的學優生喪失解題興趣，對數學學習十分不利.一些具有創新色彩的典型習題，其神秘不僅體現在思路的隱蔽上，還表現在奇妙的構思上，更重要的是可以讓學生在一題多解的過程中培養學生思維的靈活性和創造性.因此，教師需要以典型習題為載體，給足學生審題和思考的時空，為學生提供一題多解的情境，使其大膽提出想法并進一步勇敢嘗試，從而在拾級而上的數學探索中收獲層出不窮的成功喜悅.

例1已知正方形ABCD中，點E落在邊BC上，且異于端點B,C，將EA繞著點E順時針旋轉90°至EF，連接CF.證明：CF為正方形ABCD的外角平分線.

師：請仔細審題，并說一說你準備怎么去解這道題.(學生陷入思考)

生1：如圖1，過點F作FH⊥CG于點H，若能得出∠FCH=45°，即可證得CF為正方形ABCD的外角平分線.

圖1

生2：由已知可得AE與EF相互垂直且相等，若是以AE，EF為邊借助旋轉構造全等三角形即可解決本題.

生3：如圖1，連接AF，易得△AEF為等腰直角三角形，若能得出△FCH與△AEF間的關系即可解決本題.

生4：我覺得可以連接BD，并證明BD∥CF，就可以完成證明了.

生5：我認為本題若是過點F作∠DCG兩邊的垂線段，并證明這兩條垂線段長度相等，那么問題就可以解決了.

師：你們都是有想法的好孩子！既然有了想法，何不來試一試呢？下面請大家選擇一種方法來解決本題.(學生在教師的引導下進行解題嘗試，由于時空充足，學生得出了以下多種多樣的精彩證法.)

證法1：利用AAS，容易證明△ABE≌△EHF，從而得出AB=EH.因為AB=BC，所以EH=BC，故BE=CH.由△ABE≌△EHF，可得BE=FH，所以CH=FH.由此可得△FCH為等腰直角三角形，所以CF為正方形ABCD的外角平分線.

證法2：因為∠BAE=∠CEF，∠BAE=∠CAF，所以∠CEF=∠CAF，據此可得A,E,C,F四點共圓.因為∠AEF為直角，所以∠ACF為直角，從而∠DCF=90°-∠ACD=45°.故CF為正方形ABCD的外角平分線.

證法4：在邊AB上取一點K，使AK=CE，不難證明△AKE≌△ECF.因為KB=BE，所以△KBE是一個等腰直角三角形，于是∠BKE=45°，則有∠AKE=∠ECF=135°，從而∠FCG=45°.故CF為正方形ABCD的外角平分線.

學生都是獨具個性的個體，看待相同的問題由于角度不同，想法也會各不相同.對于例1，學生給出的各種證法中，不管是構造全等，還是尋求相似，又或是利用平行，都是從自身的解題經驗中提取出來的.有想法就會有創新，教師基于學生的數學思考巧妙地進行“留白”，留給學生足夠的思考與探索的時空，讓學生表露自己的初步想法，引發更加深刻的思考，促進問題的正確解決.這里例1發揮了其典型效能，讓學生在一題多解的過程中復習了三角形全等、相似以及圓等相關知識，在各種知識的融合貫通中學會了解決錯綜復雜的綜合問題，很好地促進了創新思維的發展.

2 以錯誤為契機，因勢利導，歷練自由創新的思維

新課程理念為數學教學帶來了勃勃生機，想要讓學生能駕馭創新思維之舟，需要教師的適當引導和點撥[2].在數學課堂中，“犯錯”并非偶然，可以說具有一定的必然性，錯誤是美麗的，是動態生成的.因此，我們要允許學生犯錯，將學生的錯誤視為一種資源和契機因勢利導，促進學生歷練自由創新的思維.

圖2

師：請在思考后說一說你打算嘗試的解題思路.(學生思考，并很快有了想法.)

生1：如圖3，可以過點A沿著水平與豎直方向各作出兩條線，與BC分別交于點M和N.

圖3

生2：如圖4，可以過點A作AC的垂線，與BC相交于點H.

圖4

生3：如圖5，過點C作AB的垂線，與AB的延長線相交于點K.

圖5

師：那么在添加輔助線之后，圖中多出了哪些三角形，這些三角形對于解題有何作用？

生1：作出圖3后，原三角形被切割為等腰三角形ACM，含有30°角的Rt△MAN及△ANB.但△ANB中有已知邊長無特殊的角，Rt△MAN與等腰三角形ACM有特殊角卻無已知邊長，那么似乎這樣作輔助線并不好用.

師：你們在解題中也有類似的困惑嗎？

生2：我也有.作出圖4，Rt△CAH含有30°角，但也一樣沒有已知邊長.

生3：我也同樣有困惑.作出圖5，△CAK為等腰直角三角形，也同樣沒有已知邊長，所以題中的已知條件一樣無法靈活運用.

師：失敗乃成功之母.通過剛才的嘗試我們知道在三角形中求邊長通常可將普通三角形轉化為特殊三角形，再借助三角函數建立邊與角之間的關系來探求邊長.那么可以再深入思考一下，如何能利用轉化思想得出我們需要的三角形呢？

生4：如圖6，過點B作CA的垂線與其延長線交于點Q，構成的△AQB不僅為特殊三角形，也有一條邊可知.

圖6

師：從失敗中吸取教訓，進行深刻反思，在反思后進一步嘗試，終于得出了符合要求的三角形，也探尋到了解題的入口，非常好！從前面幾名學生添加輔助線失敗的經歷我們可以看出，正是因為都存在缺陷才導致了失敗，那么現在再細致地思考一下，這些缺陷能否彌補呢？(學生又一次陷入深思，細細思量問題.)

生5：從生2所作的圖4出發，如圖7，進一步再過點B作AH的垂線，與AH的延長線交于點Q.因為△AQB是等腰直角三角形，AB=12，所以可得又Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，則故從而

圖7

師：非常好!事實上，若是從圖3出發，如圖8，進一步過點B作AN的垂線，交AN的延長線于點P，再借助勾股定理也可以讓本題獲解.只是在整個解析的過程中運算繁瑣，一般我們不會選擇這種解法，有興趣的學生也可以在課余時間進行嘗試……

圖8

直覺與經驗是學生創新思維的基石，在拋出例題后，教師引導學生憑借自身的已有經驗和直覺水平進行嘗試.學生在一番思索之后，生成了各種各樣的想法，并循著想法進行嘗試，由于作出的三角形無益于問題的解決從而從內心深處很快被否決掉.而此時，教師并沒有一口否決學生的想法，而是循著其原生思維的脈絡，鼓勵其深度思考，從錯誤中探尋機遇，讓錯誤綻放異樣的光彩，這樣一來，極好地訓練了學生的創新思維，提高了學生的解題能力[3].

總之，問題的設計取決于教學目標，教師的引導關乎學生思維抵達的深度與廣度，影響教學效果.因此，教師需精心設計問題并付諸課堂實踐，以典型例題引發一題多解，以錯誤為契機因勢利導，培養學生創新思維，讓創新智慧之花在課堂綻放.我們有理由相信，以問題為載體，以追問為引導，必將讓學生的創新思維邁上一個新臺階.