深度研究 合理整合*
——以“多邊形的內角和與外角和”為例

江蘇省南京市浦口區第三中學 邵傳經

1 引言

如何合理地使用教材，是廣大教師在教學中一直實踐和探索的課題.現如今，根據實際教學需要，進行必要地整合開發，有創造性地使用教材，已基本成為了共識.那么如何真正在教學中根據學生的實際學情，做到“創造性”地整合和使用教材，使學生在整體上把握知識結構，提升自主學習能力，發展整體思維，提高數學課堂效能，還需要我們思想意識上的深度認同和實踐研究上的及時跟進.

2 教材整合的意義

整合數學教材能幫助學生提高掌握知識的效率，也會給教師教學的發揮提供更多靈活的空間.特別是一些碎片化的知識，如果能創造性地對部分章節內容進行有效合理地整合，用一連串的、有相互關聯的問題逐步呈現，就能在不影響教學效果的前提下，把需要多節課講解的內容在有效的教學時間里完成，從而提高課堂教學的總體效能，也更能培養學生用聯系和發展的眼光學習和應用數學知識解決問題的能力.

3 教材整合的實踐

筆者在教學中，根據實際教學需求，對部分章節進行了調整，收獲了較好的教學效果.下面結合“多邊形內角和與外角和”[蘇科版七年級下冊第七章平面圖形的認識(二)7.5多邊形的內角和與外角和、人教版八年級上冊第十一章三角形11.3多邊形及其內角和]整合教學，和讀者分享一些經驗和思考.

3.1 內容分析

從教材的編排看，多邊形內角和與外角和是在三角形內角和的基礎上的拓廣和發展.知識由特殊向一般進行轉化.作為承上啟下的一節內容，為后續平面鑲嵌課題的學習做鋪墊.主要包括多邊形的定義及有關概念，多邊形的內角和與外角和公式與推導，以及正多邊形的定義和有關性質.研究多邊形的內角和與外角和公式的過程可以讓學生經歷探索、推理、歸納等過程，積累解決問題的基本經驗；通過將多邊形轉換為三角形，學生可以體驗轉換思想在幾何中的應用； 通過探索多邊形的內角和與外角和，學生可嘗試用不同的方法解決問題，提高解決問題的能力.

3.2 目標分析

基于以上分析，確定本課的教學重點為探索和證明多邊形的內角和與外角和公式的過程，故將教學目標做如下設定:

(1)通過探索多邊形的內角和與外角和，嘗試從不同角度尋找問題的解決方案；

(2)通過猜測、探索、推理、歸納等過程，發展學生的語言表達能力和合情推理能力.

3.3 教學分析

以學生已掌握的三角形內角和知識為起點，遵循教材的完整性和連續性，把四邊形的知識與三角形有機聯系，通過切去三角形的內角來提出新的問題，讓學生體驗將四邊形問題轉化為三角形問題，利用類比遷移來解決問題.引導學生用多種方法將多邊形轉換為三角形，以及把多邊形的內角之和轉變為三角形的內角和，找出他們之間的關系，從而歸納出最后結論.

3.4 教學示例

問題1已知三角形內角和是180°，探索四邊形、五邊形、六邊形的內角和.

有一個三角形紙片，如圖1這樣裁去一個角，那么剩下的圖形的內角和比三角形內角和是增大了還是減少了？猜一猜，其內角和是多少？

圖1

師生活動：學生可以量一量，算一算，得到“四邊形的內角和為360°”的感性認識.

追問1：如何利用三角形的內角和求出四邊形的內角和？

師生活動：學生通過分解圖形得到三角形.讓學生說出證明過程，教師板書.

追問2：任意一個四邊形的內角和是否都等于360°?

師生活動：學生從已有的特殊四邊形(矩形和正方形)內角之和為360°，由此推測任何四邊形的內角總和的度數不變，進而探索將四邊形的內角和問題轉化為三角形內角和問題.

追問3：類比前面的學習，如何繼續探究五邊形的內角和、 六邊形內角和？

教師提示：把三角形剪掉一個角，多了一條邊，變成了四邊形，比三角形內角和多180°，則四邊形內角和為360°，那么把三角形剪掉兩個角呢？它是幾邊形？比三角形內角和多多少度？內角和是多少？把三角形剪掉三個角呢？它是幾邊形？比三角形內角和多多少度？內角和是多少？請填寫下表：

多邊形內角和三角形內角和四邊形內角和五邊形內角和六邊形內角和

學生活動：填寫表格，根據前面探究四邊形內角和得出規律，即多邊形的邊數增加1，內角和就相應地增加180°.

追問4：你有什么發現？能證明你發現的結論嗎？

師生活動：學生類比五邊形、六邊形內角和的研究過程，特別是分解成三角形的過程，從某一個頂點引對角線的條數，可以看出分解成三角形的個數，探討過程并給出答案.

追問5：談談你對n邊形內角和公式中“n-2”的理解.

師生活動：給予學生充分討論探究的時間，鼓勵學生積極參與、合作交流.教師深入小組，參與學生交流，并適當指導和引導.最后小組匯報得到的規律及探究結果：多邊形的內角和等于(n-2)×180°.教師接著提出：n表示什么？多邊形每增加一條邊，內角和怎么變化？ 學生進一步探究得出多邊形的內角和與邊數有關，當邊數每增加一邊時，內角和就增加180°，也就是說多邊形的內角和一定是180°的整數倍.

教學分析：從已有的特例出發，把三角形剪去一個角變成四邊形，讓學生體會三角形和四邊形的密切聯系，又通過連接四邊形的對角線，將四邊形分為兩個三角形，四邊形的內角和等于兩個三角形的內角和；再通過表格填寫，從具體到抽象， 合情合理地推出n邊形可以轉化為(n-2)個三角形，從而有條理地發現和概括出邊數與內角和之間的關系，滲透了轉化思想，訓練抽象概括能力.

問題2如果在四邊形ABCD中，剪去一個角，得到新的圖形，其內角和又是多少呢？

師生活動：動手畫圖，學生盡可能地研究多種圖形，分別計算出每一種圖形的內角和的度數.同時，學生在黑板上展示各種不同的圖形，指出每一個內角相鄰的外角.

追問1：剛才所得的三角形、四邊形、五邊形，你能求出這些多邊形的外角和嗎？

繼續通過問題引領探究：(1)任意一個外角與它相鄰的內角之間有什么關系？(2)每一個多邊形的外角加上與其相鄰的內角的總和是多少？(3)上述總和與多邊形的內角和、外角和有什么關系？得出以上圖形的內角和與外角和.

追問2：六邊形的外角和呢？畫圖并說明.

師生活動：六邊形的任何一個外角加上與其相鄰的內角等于180°.因此六邊形的6個外角加上與其相鄰的內角，總和等于6×180°.該總和就是六邊形的外角總和加上內角總和．因此，外角和等于內外角總和減去內角和，即外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.

追問3：你能猜想n邊形的外角和嗎？能證明嗎？

繼續通過問題引領探究：如果將書本中示例2中六邊形換為n(n是不小于3的任意整數)邊形，是否可以獲得相同的結果呢？

如果學生做這個題有困難，可先做下面的3個引題：①有一個人以左腳為軸旋轉一周，這個人轉了多少度？ ②如果這個人從圓上一點A出發，沿著圓周走，再回到A點時，那么這個人走了多少度？③如果這個人從六邊形的一個頂點A出發，沿六邊形走，再回到A點時，那么這個人又走了多少度呢？體現在哪些角上呢？

追問4：對剛才的結論，還可以怎樣理解？請再談談對n邊形內角和公式中“n-2”的理解.

師生活動：讓學生再次回顧內角和公式，加深對n的理解，展開后是n·180°-360°或者分析“n-2”的意思等. 用以前的知識為后面的知識做鋪墊，引導學生從簡單、特殊的圖形入手，利用三角形內角和，把未知轉化為已知，逐步歸納得出多邊形的外角和公式.

教學分析：通過對熟悉的多邊形(三角形、四邊形、五邊形)外角和的探究，運用類比遷移，鞏固多邊形內角和的公式，又為研究多邊形外角和穿針引線；以三角形為基本研究圖形，探究內角和，得出外角和，從特殊到一般，進一步研究一般的六邊形，經歷由感性認識到理性推導，最終水到渠成地分析出多邊形的外角和為360°，凸顯化歸思想，強調從特殊到一般的研究方法.

例如圖2所示，分別在三角形、四邊形、五邊形的廣場各角修建半徑為R的扇形草坪(圖中陰影部分).

圖2

(1)圖①中草坪(陰影部分)的面積為______；

(2)圖②中草坪(陰影部分)的面積為______；

(3)圖③中草坪(陰影部分)的面積為______；

(4)如果多邊形的邊數為n，其余條件不變，你認為草坪的面積為______.

師生活動：因為周周角是360°，可以得到多邊形內角和是整個周角的多少倍，那么陰影部分的面積就是圓的面積的多少倍．圖①中三角形內角之和是180°，因此圖①中陰影部分的面積就是圓面積的一半，其他圖形類推即可.

3.5 歸納小結

(1)通過本堂課的學習，你們有什么收獲？

①n邊形的內角和等于(n-2)×180°；

②多邊形的外角和是360°；

③可以運用多邊形的內角和與外角和解決有關問題.

(2)在學習過程中，運用了由歸納、類比、轉化等思想方法.

4 總結與反思

本課時是一節基于教材整合的探索活動課，采用問題串的方式組織課堂教學，引領學生主動探索，把碎片化的知識有效串聯，體現了知識之間的關聯，促進學生由特殊到一般，結構化、系統化地認識問題.授課流程根據學生基本學情由三角形內角和經驗類比遷移，逐步認識多邊形的內角和和外角和.從師生交流看，師生交流充分有效，學生用自己的語言清楚地表達解決問題的全過程，尤其在探索四邊形的內角與外角之和的過程中，通過教師有效引導，發展學生的分析和解決問題的能力，以及初步演繹推理能力；從授課效果看，通過動手操作探尋數學結論，激發了學生學習的興趣，滲透了轉化、化歸和分類討論等數學思想，既傳授了知識，又發展了能力.