坐標(biāo)方法終有時(shí) 蝴蝶萬(wàn)態(tài)醉題中*
——從四個(gè)視角研究2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題

?四川省雙流中學(xué) 曹軍才 李莎莎 耿曉琦

解析幾何的基本研究方法就是坐標(biāo)法，即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.對(duì)一道具體題目的研究，需要思考如何用坐標(biāo)或方程表達(dá)點(diǎn)和線(xiàn)，即如何將幾何問(wèn)題代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)“從幾何中來(lái)”；也需要研究題目背后隱藏的東西，即問(wèn)題本身或解決途徑可否類(lèi)比、遷移，實(shí)現(xiàn)“到幾何中去”.賈德(Charles H.Judd)的一項(xiàng)早期實(shí)驗(yàn)表明：一切教育的目的都是在發(fā)展系統(tǒng)的思想，這種思想能從它被獲得的情境中遷移到別的情境中去[1].下面以2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題為例，從幾個(gè)視角談?wù)剰摹敖忸}”到“解決問(wèn)題”[2]的系統(tǒng)認(rèn)知.

1 問(wèn)題再現(xiàn)

(2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題)設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過(guò)F的直線(xiàn)交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B，記直線(xiàn)MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α-β取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程．

2 問(wèn)題分析

第(2)小題思維導(dǎo)圖如圖1.

圖1

思路1:以直線(xiàn)斜率為參數(shù)，由線(xiàn)及點(diǎn).

思路2：以點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，由點(diǎn)及線(xiàn).

設(shè)出點(diǎn)M,N,A,B的坐標(biāo)，由四點(diǎn)所滿(mǎn)足的直線(xiàn)方程MN,MA,NB,AB的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，通過(guò)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)尋得坐標(biāo)積的定值關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩直線(xiàn)MN,AB斜率的關(guān)系.

思路3：以角度為參數(shù)，由角及形.

已知條件中有直線(xiàn)傾斜角，因此可以寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程并代入拋物線(xiàn)方程，借助參數(shù)t表達(dá)點(diǎn)、線(xiàn).

思路4：以直線(xiàn)系方程入手，由線(xiàn)及形.

題目中有四條直線(xiàn)，其中MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)，MA,NB過(guò)定點(diǎn)(2,0)，因此可以從過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系方程入手解答，優(yōu)化思路1的多次聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程.

思路5：以動(dòng)態(tài)圖形尋定點(diǎn)，由靜制動(dòng).

拋物線(xiàn)中有四邊形ABMN且其對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為定點(diǎn)，圖形形似蝴蝶，聯(lián)想蝴蝶定理，借助幾何關(guān)系，猜證結(jié)合，輔助代數(shù)推理.

思路6：以動(dòng)態(tài)圖形尋定線(xiàn)，由形釋數(shù).

由蝴蝶圖形的對(duì)稱(chēng)性，MB,NA在x軸上下方的對(duì)稱(chēng)位置的交點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)、橫坐標(biāo)相同，猜想直線(xiàn)MB,NA的交點(diǎn)軌跡是一條垂直于x軸的定直線(xiàn).

3 問(wèn)題解決

圖2

(一)視角一：通法.

(2)通法1：如圖2，設(shè)直線(xiàn)MN:x=my+1.由(1)知，曲線(xiàn)C的方程為y2=4x.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

所以y3=2y2.同理可得y4=2y1.

又因?yàn)橹本€(xiàn)MN，AB的傾斜角分別為α,β，所以

則Δ3>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16，得n=4.

另解(求直線(xiàn)AB方程)：當(dāng)α-β最大時(shí)，

又因?yàn)閥3y4=4y1y2=-16，所以

點(diǎn)評(píng)：這是中學(xué)生熟悉的解析法——線(xiàn)參法，即含參直線(xiàn)和二次曲線(xiàn)相交，聯(lián)立方程，獲得關(guān)鍵方程，再用韋達(dá)定理獲得交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，是通法.難點(diǎn)是如何尋求直線(xiàn)AB與MN的斜率關(guān)系，只能邊算邊看.此題坐標(biāo)法運(yùn)用自然，突出解析幾何的基本分析方法，摒棄了弦長(zhǎng)、范圍等套路問(wèn)題.

通法2：設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4)，則

又因?yàn)橹本€(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)，所以y1y2=-4.

同理,直線(xiàn)MA的方程為4x-(y1+y3)y+y1y3=0，直線(xiàn)NB的方程為4x-(y2+y4)y+y2y4=0.

又因?yàn)橹本€(xiàn)MA，NB都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0)，所以

同理，直線(xiàn)AB的方程為4x-(y3+y4)y+y3y4=0.

點(diǎn)評(píng)：這也是中學(xué)生熟悉的解析法——點(diǎn)參法，即設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)就滿(mǎn)足相應(yīng)曲線(xiàn)方程，進(jìn)而注意到拋物線(xiàn)中任意弦所在的直線(xiàn)方程具有對(duì)稱(chēng)的統(tǒng)一結(jié)構(gòu).此法也是通法，較通法1更為簡(jiǎn)潔.

t2sin2α-4tcosα-4=0.

設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則

下同通法1.

點(diǎn)評(píng)：這也是中學(xué)生熟悉的解析法——角參法，即引入角作參數(shù)，利用直線(xiàn)參數(shù)方程求解.

下同通法1.

點(diǎn)評(píng)：借助過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系，獲得點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.

(二)視角二：溯源.

圖3

蝴蝶定理如圖3,設(shè)D為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作弦MA,NB，設(shè)MN,AB分別交弦PQ所在直線(xiàn)于點(diǎn)X,Y，則D是XY的中點(diǎn).

注：① 點(diǎn)D在圓內(nèi)是不必要的，可以在圓外；

② 圓可以改為任意圓錐曲線(xiàn).

圖4

解法5：如圖4,過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)DQ垂直于x軸，交MN于點(diǎn)X，交AB于點(diǎn)Y，交拋物線(xiàn)于P,Q兩點(diǎn).因?yàn)閨PD|=|QD|，所以由蝴蝶定理可知|XD|=|YD|.

設(shè)直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)T，則

下面證明直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)T.

所以|DT|=4-2=2，從而tanα=2tanβ.

下同通法1.

點(diǎn)評(píng)：蝴蝶翩翩，形態(tài)萬(wàn)千.借助蝴蝶定理猜想直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)T，進(jìn)而需要尋求y1y2與y3y4的關(guān)系.目標(biāo)明確，思路清晰.

圖5

解法6：如圖5,設(shè)直線(xiàn)MN與AB交于點(diǎn)Q(x,y).

由通法2可知，直線(xiàn)MN的方程為

4x-(y1+y2)y+y1y2=0①

直線(xiàn)AB的方程為4x-(y3+y4)y+y3y4=0，即

4x-2(y1+y2)y+4(y1y2)=0

②

①×2-②，得4x+2y1y2-4(y1y2)=0.

所以4x=2y1y2=-8，即x=-2.

故交點(diǎn)Q的軌跡是定直線(xiàn)x=-2.

設(shè)此直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)H，要使α-β最大，即使∠FQT最大.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在定直線(xiàn)x=-2上取一點(diǎn)Q，使張角∠FQT最大.

顯然，當(dāng)HQ與△FQT的外接圓相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿(mǎn)足條件.

點(diǎn)評(píng)：此法是該題的一種幾何解釋?zhuān)D(zhuǎn)化后的問(wèn)題“張角∠FQT最大”即為米勒問(wèn)題(最大視角問(wèn)題).其實(shí)，極點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于曲線(xiàn)y2=2px的極線(xiàn)就是y0y=p(x+x0)，則極點(diǎn)D(2,0)關(guān)于曲線(xiàn)y2=4x的極線(xiàn)就是0·y=2(x+2)，即定直線(xiàn)HQ：x=-2.

(三)視角三：拓展.

反思1:此題中F,D可定位于x軸上任意點(diǎn).當(dāng)然，F(xiàn),D也可定位于形內(nèi)其他位置.

變式設(shè)M,N,A,B為拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上任意四點(diǎn)，MN,AB交x軸于F,T，MA,BN交于點(diǎn)D.設(shè)F(a,0)，D(b,0)，MN,AB的傾斜角分別為α,β，當(dāng)α-β取最大值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程.

解：設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4)，直線(xiàn)MN的方程為x=my+a.

y1+y2=2pm，y1y2=-2pa

③

所以y1y3=-2pb.同理，可得y2y4=-2pb.

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)F,D確定，直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)是蝴蝶定理蘊(yùn)含的一個(gè)結(jié)論.令p=2,a=1,b=2，即為原題及其解答.

(四)視角四：推廣.

反思2：原題可以推廣至橢圓中.當(dāng)然，也可以推廣到其他圓錐曲線(xiàn)中.

(1)求橢圓E的方程；

圖6

分析：本題第(1)問(wèn)過(guò)程略，第(2)問(wèn)有如下3種解法.

解法1:不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，且y1>0，如圖6.

(3m2+4)y2+6my-9=0.

所以

圖7

因?yàn)镸O//XF，所以

又FY//ON，所以

圖8

點(diǎn)評(píng)：此題中蝴蝶定理的運(yùn)用盡顯其優(yōu)越性，解法2，3較解法1，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，近乎秒殺！

對(duì)試題的研究，貴在遷移，形成知識(shí)鏈，進(jìn)入命題意境.從通法角度研究各種解法固然重要，此為“境”；但若能從溯源題目出處、拓展題目結(jié)論、推廣題目類(lèi)型等視角，揣測(cè)命題者想法，更能從一定高度審視題目，此為“意”.身在高考試題的“境”中，達(dá)其“蝴蝶定理”之“意”，悟數(shù)學(xué)之美妙，通數(shù)學(xué)之本真.