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——特殊四邊形中的折疊問題探究

文／范建兵

折疊問題是初中幾何的重要內容之一。在四邊形這塊內容里，我們時常遇到各種特殊四邊形中的折疊問題，試著動手疊一疊，發現方法，以此解決不同的問題。

一、矩形中的折疊問題

例1如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于點F，連接AE。求重疊部分△DBF的面積。

圖1

【點撥】這是一個大家比較熟悉的折疊狀態，解題時需要把握兩個關鍵點：一是確定△DBF的形狀，由“折疊+平行”可得△DBF是等腰三角形（也可以借助△ABF≌△EDF證得）；二是計算線段DF的長度，在Rt△AFB中運用勾股定理可求得BF的長，最后再計算△DBF的面積。

二、菱形中的折疊問題

例2如圖2，在菱形紙片ABCD中，AB=8，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別在邊AB、AD上，求EG的長。

圖2

【點撥】求線段的長，常用的方法有兩種：一種是借助特殊圖形直接進行計算，另一種是尋找相等線段進行轉換。本題中由折疊可得AG=GE，故要想計算EG或AG的長，最好能夠將它們放在一個特殊圖形中（如直角三角形等）。因此，可以過點E作EM⊥AD，交AD延長線于點M，構造出含有EG邊的直角三角形，再根據勾股定理計算得出相應線段的長。

三、正方形中的折疊問題

例3如圖3，M、N分別在正方形ABCD的邊AD、BC上，將正方形沿MN折疊后，點D落在邊AB上的D′處，C落在C′處，連接DD′。

圖3

（1）求證：∠AD′D=∠DMN；

（2）若AD=6，AD′=2，求折痕MN的長。

【點撥】（1）由折疊性質知MN⊥DD′，又因為∠A=90°，所以∠ADD′與∠DMN互余，∠ADD′與∠AD′D互余，所以∠DMN=∠AD′D；（2）所求折痕MN的長，其實就是線段DD′的長。過點N作NE⊥AD于點E，容易證明△ENM≌△ADD′，從而MN=DD′。而DD′的長可以在Rt△ADD′中根據勾股定理求出。

從上面的三個例題可以發現，折疊問題的融合性強，不僅考查了軸對稱的性質，還考查了特殊圖形（如矩形、菱形、正方形）的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理等。解決折疊問題，我們需要處理好以下兩個難點。

一是識圖難。結合題意看懂圖形、理解圖形是解決此類問題的關鍵要素。折疊問題中的圖形往往呈現給我們的是“疊”的結果，而沒有“折”的過程。因此，大家不妨動手試試，先在動態的折疊過程中感受折疊的變化，觀察變與不變，然后思考其中蘊含的相關性質，最后再考慮折疊結果中的問題。在動態的折疊中思考靜態的結果，尋找熟悉的、常用的解題模型，合理地理解圖形、分析圖形。

二是計算難。計算的前提是知道算什么和怎么算。因此，在解決折疊問題時常常需要思考以下問題：（1）以什么為軸進行折疊；（2）折疊前后邊或角的數量關系；（3）折疊是否產生了新的特殊圖形，如等腰三角形、直角三角形等；（4）要計算的線段或角，在哪些圖形中可以求得，怎樣求更合理。實踐中我們發現如下規律：折疊常伴等腰，這便于我們在解決問題中快速尋找相等的線段或角；折疊常用勾股，這便于我們在計算中更方便、更快捷、更合理。