原題拓展 等價轉(zhuǎn)化 互逆調(diào)換

文／萬廣磊

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，很多中考數(shù)學(xué)題與教材中的定理、法則、例題、習(xí)題等方面的學(xué)習(xí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)實(shí)驗室、數(shù)學(xué)活動等方面的研究內(nèi)容關(guān)系密切。教材內(nèi)容經(jīng)過適當(dāng)改編，便可成為中考試題。

一、原題拓展延伸

例1（2021·湖南邵陽）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF。連接DE、DF、BE、BF。

圖1

（1）證明：△ADE≌△CBF。

（2）若AB=4 2，AE=2，求四邊形BEDF的周長。

【分析】（1）由正方形對角線性質(zhì)可得∠DAE=∠BCF=45°，再由“SAS”可證△ADE≌△CBF。

（2）由正方形性質(zhì)及勾股定理可求得BD=AC=8，DO=BO=4。再證明四邊形BEDF為菱形。因為AE=CF=2，所以可得OE=2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE=2，進(jìn)而四邊形BEDF的周長為4DE，即可求得答案。

（1）證明：由正方形對角線平分每一組對角可知∠DAE=∠BCF=45°。

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）。

（2）解：∵

∵在正方形ABCD中，AC=BD=8，

∴DO=BO=4，OA=OC=4。

又∵AE=CF=2，

∴OA-AE=OC-CF，

即OE=OF=4-2=2，

【來源分析】第（1）問是蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第85頁習(xí)題13的原題，只是圖形上的字母標(biāo)注不同；第（2）問作了拓展延伸，利用勾股定理求菱形的邊長，進(jìn)而求出周長，屬于常規(guī)變化。

二、等價轉(zhuǎn)化條件

例2（2021·湖北十堰）如圖2，已知△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE于點(diǎn)F，連接AE、CF。

圖2

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若CF=2，∠FAC=30°，∠B=45°，求AB的長。

【分析】（1）由題意可得△AFD≌△CED（AAS），則AF=EC。根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可得四邊形AECF是平行四邊形；又因為EF垂直平分AC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AF=CF。根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可得結(jié)論。

（2）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得∠AEG=60°，AE=2，則BG=AG=

（1）證明：在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=DC。

∵AF∥BC，

∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，

∴△AFD≌△CED（AAS），

∴AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形。

又∵EF⊥AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，即EF垂直平分AC，

∴AF=FC，

∴平行四邊形AECF是菱形。

（2）解：如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G。

圖3

由（1）知四邊形AECF是菱形，

【來源分析】例2第（1）問與蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第80頁例4的圖形相近，且兩題的條件實(shí)際上是可以等價轉(zhuǎn)化的。在證明四邊形AECF是菱形時方法相同，都采用了全等三角形的判定方法。例2的第（2）問進(jìn)一步拓展，增加了線段的長度條件，并求相關(guān)線段的長。

三、調(diào)換條件結(jié)論

例3（2021·湖南長沙）如圖4，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，AB=4。

圖4

（1）求證：?ABCD是矩形；

（2）求AD的長。

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB，再由平行四邊形的性質(zhì)得OB=則BD=AC，即可得出結(jié)論。

（2）由矩形的性質(zhì)得∠BAD=90°，則∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可。

（1）證明：∵△AOB為等邊三角形，

∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BD=AC，

∴?ABCD是矩形。

（2）解：∵?ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°。

∵∠ABO=60°，

∴∠ADB=90°-60°=30°，

【來源分析】對比例3的第（1）問和蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第75頁的例1，我們可以發(fā)現(xiàn)，例3中的條件是“△OAB是等邊三角形”，要證明“?ABCD是矩形”，而教材例題中的條件是“?ABCD是矩形”，要證明“△AOB是等邊三角形”，兩道例題是將條件與結(jié)論交換。

由此可見，同學(xué)們在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，扎扎實(shí)實(shí)地理解每一個定理、法則，做好每一道例題、習(xí)題，再進(jìn)行糾錯反思，提煉總結(jié)，以不變應(yīng)萬變，自然會立于不敗之地。