特殊四邊形最值問題

文／陳新合

特殊四邊形是中考中重要的知識點，綜合性比較強，常與直角三角形、等腰三角形和勾股定理等知識搭配。最值問題是中考的常考題型，以特殊四邊形為背景的最值問題是近兩年中考考查的熱點。下面，老師結合中考題，總結歸納一些求最值的題型，供同學們學習時參考。

一、菱形中的最值問題

例1（2021·四川眉山）如圖1，在菱形ABCD中，AB=AC=10，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM=3，點P為線段BD上的一個動點，則MP+PB的最小值是______。

圖1

解：如圖2，過點P作PE⊥BC于點E。

圖2

∵四邊形ABCD是菱形，AB=AC=10，

∴AB=BC=AC=10，∠ABD=∠CBD，

二、矩形中的最值問題

例2（2021·四川內江）如圖3，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上。當點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為 。

圖3

解：如圖4，取AD的中點H，連接CH，OH。

圖4

∵在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，

∴CD=AB=1，AD=BC=2。

∵點H是AD的中點，

∴AH=DH=1，

∵∠AOD=90°，點H是AD的中點，

在△OCH中，CO＜OH+CH，當點H在OC上時，CO=OH+CH，

∴CO的最大值為OH+CH=+1。

三、正方形中的最值問題

例3（2021·山東威海）如圖5，在正方形ABCD中，AB=2，E為邊AB上一點，F為邊BC上一點。連接DE和AF交于點G，連接BG。若AE=BF，則BG的最小值為 。

圖5

解：如圖6，取AD的中點T，連接BT、GT。

圖6

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=2，∠DAE=∠ABF=90°，

在△DAE和△ABF中，